2.4.2 一元二次不等式、一元二次方程，二次函数的关系-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.4.2 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系 一般地,一元二次不等式可以结合相应的二 次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1)将二次项系数先化为正数; (2)观察相应的二次函数图像. ①如果图像与x轴有两个交点(x1,0),(x2, 0),此时对应的一元二次方程有两个不相等的实 数根x1,x2(也可由根的判别式Δ>0来判断). 那么(图1): ax2+bx+c>0(a>0)⇔x<x1 或x>x2 ax2+bx+c<0(a>0)⇔x1<x<x2 图1 ②如 果 图 像 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 (- b 2a ,0),此时对应的一元二次方程有两个相等 的实数根x1=x2=- b 2a (也可由根的判别式 Δ=0来判断). 那么(图2): ax2+bx+c>0(a>0)⇔x≠- b 2a ax2+bx+c<0(a>0)⇔无解 图2 ③如果图像与x 轴没有交点,此时对应 的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别 式Δ<0来判断). 那么(图3): ax2+bx+c>0(a>0)⇔x 取一切实数 ax2+bx+c<0(a>0)⇔无解 图3 如果单纯地解一个一元二次不等式的话, 可以按照以下步骤处理: (1)化二次项系数为正. (2)若二次三项式能分解成两个一次因式 的积,则求出两根x1,x2.那么“>0”型的解为 x<x1 或x>x2(俗称两根之外);“<0”型的 解为x1<x<x2(俗称两根之间). (3)否则,对二次三项式进行配方,变成 ax2+bx+c=a (x+ b 2a ) 2 + 4ac-b2 4a ,结合完 全平方式为非负数的性质求解. 【例1】 解关于x 的一元二次不等式x2+ax +1>0(a 为实数). 【分析】 对于一元二次不等式,按其一般解题 步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题 已满足这一要求.欲求一元二次不等式的解, 要讨论根的判别式Δ的符号,而这里的Δ是 关于未知系数的代数式,Δ的符号取决于未知 系数的取值范围,因此,再根据解题的需要,对 44 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 Δ的符号进行分类讨论. 【解】 Δ=a2-4, ①当Δ>0,即a<-2或a>2时,方程 x2+ax+1=0的解是x1= -a- a2-4 2 , x2= -a+ a2-4 2 . 所以,原不等式的解集为 x< -a- a2-4 2 或x> -a+ a2-4 2 ; ②当Δ=0,即a=±2时,原不等式的解 为x≠- a 2 ; ③当Δ<0,即-2<a<2时,原不等式的 解为一切实数. 综上,当a≤-2或a≥2时,原不等式的解 是x< -a- a2-4 2 或x> -a+ a2-4 2 ; 当-2<a<2时,原不等式的解为一切 实数. 【例2】 函数y=x2-2ax+1(a 为常数)在 -2≤x≤1上的最小值为n,试将n 用a 表示 出来. 【分析】 由该函数的图像可知,该函数的最小 值与抛物线的对称轴的位置有关,于是需要对 对称轴的位置进行分类讨论. 【解】 ∵y=(x-a)2+1-a2,∴抛物线y= x2-2ax+1的对称轴方程是x=a. (1)若-2≤a≤1,由图①可知,当x=a 时,该函数取最小值n=1-a2; ① (2)若a<-2时,由图②可知,当x=-2 时,该函数取最小值n=4a+5; ② (3)若a>1时,由图③可知,当x=1时, 该函数取最小值n=-2a+2. ③ 综上,函数的最小值为: n= 4a+5,a<-2, 1-a2,-2≤a≤1, -2a+2,a>1. ì î í ï ï ï ï 【例3】 解不等式:x2- 1 2x- 3 2<0. 【分析】 本题是一个一元二次不等式,不等式 左边是一个二次函数,由此我们可以利用图像 来解决问题. 由x2- 1 2x- 3 2<0 ,得x2< 1 2x+ 3 2 ,所 以可通过画函数y1=x2 和y2= 1 2x+ 3 2 ,通 过图像比较得出x 的取值范围. 【解】 画函数y1=x2 和y2= 1 2x+ 3 2 的图 像,交于A,B 两点,可以求得点A,B 的横坐 标分别 是-1和 3 2 ,当-1<x< 3 2 时,函 数 y1=x2的值小于函数y2= 1 2x+ 3 2 的值,即 x2< 1 2x+ 3 2 ,也就是x2- 1 2x- 3 2<0 ,所以 54 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 当-1<x< 3 2 时,x2- 1 2x- 3 2<0. 【说明】 将不等式化为函数,借助我们熟悉的 函数来解决问题,是一种典型的数形结合方法 解决问题. 1.已知不等式ax2+bx+2>0的解为 -1<x<2,求不等式2x2+bx+a<0的解. 2.若α,β 是方程x2-kx+8=0的两个 不同的实数根,求|α+β|的取值范围. 3.解关于x 的不等式x2-(a+1)x+a <0. 4.已知关于x 的方程x2+2(m-2)x+ m2+4=0有实数根. (1)若两根的平方和比两根之积大21,求 实数m 的值. (2)若两根均大于1,求实数 m 的取值 范围. 64 null