2.4.1 一元二次不等式的解法-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

方程y}0的解，当y=1时，1，该方程无解：当y=-1时，号-1，解得： 2;经检验：x=- 原分式方程的解，“原分式方程的解为 2.3.2简单的无理方程的解法 1.1)x=-1(2)x=6(3x=5-3 2 2.(1)x=5(2)x=20 3.(1)x=9(2)x1=1,x:=-4 4.(1)x=±√2(2).x=26(3)x1=3,.x2=-1 2.4不等式 2.4.1一元二次不等式的解法 1.(1)x<一2或x>3(2)x=3(3)一切实数 k>0 2.解：显然k=0不合题意，于是： />0 (-2)-4k2<0k2-1>0k<-1或k>1 →k>1. k>0 3解：由题意得：1+3= k→k=1. -1)·3=- 2.4.2一元二次不等式、一元二次方程、 二次函数的关系 1.-1x< 8第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.4 不等式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和 一元一次不等式组的解法.高中阶段将进一 步学习一元二次不等式和分式不等式等知识. 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的 必备知识. 2.4.1 一元二次不等式的解法 形如ax2+bx+c>0(或<0)(其中a≠ 0)的不等式称为关于x 的一元二次不等式. 怎样解一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)呢? 我们可以借助于二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)的图像来解一元二次不等式ax2+ bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0时的一元二次不等式的解. 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+ c=0(a>0),设Δ=b2-4ac,它的解的情形按 照Δ>0,Δ=0,Δ<0分 别 为 下 列 三 种 情 况———有两个不相等的实数解、有两个相等的 实数解和没有实数解,相应地,抛物线y=ax2 +bx+c(a>0)与x 轴分别有两个公共点、一 个公共点和没有公共点(如图所示),因此,我 们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次 不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c <0(a>0)的解. (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2, 0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实 数根x1和x2(x1<x2),由图①可知: 不等式ax2+bx+c>0的解为x<x1, 或x>x2;不等式ax2+bx+c<0的解为 x1<x<x2. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x 轴有且仅有一个公共点,方程ax2 +bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2= - b 2a ,由图②可知: 不等 式ax2+bx+c>0的 解 为 x≠ - b 2a ;不等式ax2+bx+c<0无解. (3)如果Δ<0,抛物线y=ax2+bx+c (a>0)与x 轴没有公共点,方程ax2+bx+c =0没有实数根,由图③可知: 不等式ax2+bx+c>0的解为一切实 数;不等式ax2+bx+c<0无解. 今后,我们在解一元二次不等式时,如果 二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接 求解;如果二次项系数小于零,则可以先在不 等式两边同乘-1,将不等式变成二次项系数 大于零的形式,再 利 用 上 面 的 结 论 去 解 不 等式. 【例1】 解不等式:x2+x-6>0. 24 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 【分析】 不等式左边可以因式分解,根据“符 号法则———正正(负负)得正、正负得负”的原 则,将其转化为一元一次不等式组. 【解】 原不等式可以化为:(x+3)(x-2)>0, 则 x+3<0 x-2<0{ 或 x+3>0 x-2>0{ ⇒ x<-3 x<2{ 或 x>-3 x>2{ ⇒x<-3或x>2. 所以,原不等式的解是x<-3或x>2. 【说明】 当把一元二次不等式化为ax2+bx +c>0(或<0)的形式后,只要左边可以分解 为两个一次因式,即可运用本题的解法. 【例2】 解下列不等式: (1)(x+2)(x-3)<6 (2)(x-1)(x+2)≥(x-2)(2x+1) 【分析】 要先将不等式化为ax2+bx+c>0 (或<0)的形式,通常使二次项系数为正数. 【解】 (1)原不等式可化为:x2-x-12<0, 即(x+3)(x-4)<0, 则 x+3>0 x-4<0{ 或 x+3<0 x-4>0{ ⇒-3<x<4. 所以原不等式的解是-3<x<4. (2)原不等式可化为:-x2+4x≥0,即 x2-4x≤0⇒x(x-4)≤0 则 x≥0 x-4≤0{ 或 x≤0 x-4≥0{ ⇒0≤x≤4 所以原不等式的解是0≤x≤4. 【例3】 已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0) 的解是x<2或x>3,求不等式bx2+ax+c >0的解. 【解】 由不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解 为x<2或x>3,可知a<0,且方程ax2+bx +c=0的两根分别为2和3, ∴- b a=5 ,c a=6 ,即b a=-5 ,c a=6. 由于a<0,所以不等式bx2+ax+c>0 可变为 b ax 2+x+ c a<0 ,即-5x2+x+6<0, 整理,得5x2-x-6>0,所以,不等式bx2+ ax+c>0的解是x<-1或x> 6 5. 【说明】 本例利用了方程与不等式之间的相 互关系来解决问题. 1.解不等式: (1)x-x2+6<0 (2)x2-6x+9≤0 (3)-4+x-x2<0 2.已知对于任意实数x,kx2-2x+k 恒 为正数,求实数k的取值范围. 3.已知关于x的不等式kx2-(k2+1)x-3 <0的解为-1<x<3,求k的值. 34