2.3.2 简单的无理方程的解法-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.3.2 简单的无理方程的解法 根号 下 含 有 未 知 数 的 方 程,叫 作 无 理 方程. 【例1】 解方程:x+7-x=1. 【分析】 移项、平方,转化为有理方程求解. 【解】 移项得:x+7=x+1 两边平方得:x+7=x2+2x+1 移项,合并同类项得:x2+x-6=0 解得:x=-3或x=2 检验:把x=-3代入原方程,左边≠右 边,所以x=-3是增根. 把x=2代入原方程,左边=右边,所以 x=2是原方程的根.所以,原方程的解是x=2. 【说明】 解含未知数的二次根式恰有一个的 无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留含未知数的 二次根式,其余各项均移到方程的右边;②两 边同时平方,得到一个整式方程;③解整式方 程;④验根. 【例2】 解方程:3x-2+ x+3=3. 【分析】 直接平方将很困难.可以把一个根 式移到右边再平方,这样就可以转化为上例的 模式,再用例1的方法解方程. 【解】 原方程可化为:3x-2=3- x+3 两边平方得:3x-2=9-6x+3+x+3 整理 得:6 x+3=14-2x⇒3 x+3 =7-x 两边平方得:9(x+3)=49-14x+x2 整理得:x2-23x+22=0 解得:x=1或x=22. 检验:把x=1代入原方程,左边=右边, 所以x=1是原方程的根. 把x=22代入原方程,左边≠右边,所以 x=22是增根.所以,原方程的解是x=1. 【说明】 解含未知数的二次根式恰有两个的 无理方程的一般步骤: ①移项,使方程的左边只保留一个含未知 数的二次根式;②两边平方,得到含未知数的 二次根式恰有一个的无理方程;③以下步骤同 例1的说明. 【例3】 解方程:3x2+15x+2x2+5x+1=2. 【分析】 本题若直接平方,会得到一个一元四次 方程,难度较大.注意观察方程中含未知数的二 次根式与其余有理式的关系,可以发现:3x2+ 15x+3=3(x2 +5x+1).因 此,可 以 设 x2+5x+1=y,这样就可将原方程先转化为关 于y的一元二次方程处理. 【解】 设 x2+5x+1=y,则x2+5x+1= y2⇒3x2+15x=3(y2-1). 原方程可化为:3(y2-1)+2y=2,即3y2 +2y-5=0,解得:y=1或y=- 5 3. (1)当y=1时,x2+5x+1=1⇒x2+ 5x=0⇒x=-5或x=0; (2)当y=- 5 3 时,因为 x2+5x+1= y≥0,所以方程无解. 检验:把x=-5,x=0分别代入原方程, 都适合.所以,原方程的解是x=-5,x=0. 【说明】 解根式方程的方法就是采取平方、换 04 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 元等方法,将根式方程转化为有理方程,体现 了化归思想. 1.解下列方程: (1)x+2=-x (2)x-5+x=7 (3)x+3-2=x 2.解下列方程: (1)3x+1= x+4+1 (2)2x-4- x+5=1 3.用换元法解下列方程: (1)x-12+ x=0 (2)x2+3x+ x2+3x=6 4.解下列方程: (1)x2+ x2-1=3 (2)x+10- 6 x+10 =5 (3)2x2-4x+3x2-2x+6=15 14 --1,解得:一 .+2 十2 1 是原分式方程的解,·原分式方程的解为c三一 2. 2.3.2 简单的无理方程的解法 5-3 1.(1)x--1 (2)x-6 (3)x- 2 2.(1)x-5 (2)x-20 3.(1)x-9 (2)x-1,x=-4 4.(1)=+② (2)x=26 (3)x-3,=-1 2.4 不等式 2.4.1 一元二次不等式的解法 1.(1)x<-2或x>3 (2)x=3 (3)一切实数 />0 >0 → (0 2. 解:显然友一0不合题意,于是: → ((-2)②-4^?<0 -1>0 -1或>1 →>1. >0 #2十1 -1十3-- 3.解:由题意得: →-1. 1(-1)·3-- 2.4.2 一元二次不等式、一元二次方程。 二次函数的关系 1.-1# .8.