2.3.1 复杂的分式方程的解法-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

null第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.3 分式方程和无理方程 在初中大家已经学习了可化为一元一次 方程的分式方程的解法.本讲将要学习可化 为一元二次方程的分式方程的解法以及无理 方程的解法.并且要求掌握:(1)不超过三个 分式构成的分式方程的解法,会用“去分母”或 “换元法”求方程的根,并会验根;(2)了解无理 方程的概念,掌握可化为一元二次方程的无理 方程的解法,会用“平方法”或“换元法”求根, 并会验根. 2.3.1 复杂的分式方程的解法 1.分式方程的概念 分母里含有未知数的方程叫作分式方程. 导学:区别一个方程是分式方程还是整式 方程的关键是要看分母中是否含有字母.有 的方程中含有字母,但分母中不含未知数,所 以这样的方程不是分式方程而是整式方程. 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想———把分式方 程转化为整式方程,再利用整式方程的解法求 解.而转化的关键是去掉分式方程中的分母, 去分母一般是用分式方程中各分母的最简公 分母去乘分式方程的两边.在去分母时,有可 能产生不适合分式方程的根,这种根叫作原方 程的增根.因为解分式方程时可能产生增根, 所以解分式方程必须验根. 导学:去分母是解分式方程的第一步,也 是关键的一步,当分式方程中分式的分母是一 次式时,可直接确定最简公分母,方程两边同 乘最简公分母后实现去分母,当各分式的分母 中有二次式时,要先进行因式分解,再确定最 简公分母,然后再去分母. (2)解分式方程的步骤 ①在方程两边同乘最简公分母,化分式方 程为整式方程; ②解这个整式方程; ③检验.可代入分式方程检验,也可代入 最简公分母检验,看结果是不是为零,使最简 公分母为零的解是原方程的增根,必须舍去. (3)产生增根的原因 产生增根的原因是变形后未知数的取值 范围扩大了. 【例1】 解方程: 1 x+2+ 4x x2-4- 2 x-2=1. 【分析】 去分母,转化为整式方程. 【解】 原方程可化为: 1 x+2+ 4x (x+2)(x-2)- 2 x-2=1 方程两边各项都乘x2-4: (x-2)+4x-2(x+2)=x2-4 即3x-6=x2-4 整理得:x2-3x+2=0 解得:x=1或x=2. 检验:把x=1代入x2-4,不等于0,所 以x=1是原方程的解; 把x=2代入x2-4,等于0,所以x=2 是增根. 63 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 所以,原方程的解是x=1. 【说明】 (1)去分母解分式方程的步骤:①把 各分式的分母因式分解;②在方程两边同乘各 分式的最简公分母;③去括号,把所有项都移 到左边,合并同类项;④解一元二次方程;⑤ 验根. (2)验根的基本方法是代入原方程进行检 验,但代入原方程计算量较大.而分式方程可 能产生的增根,就是使分式方程的分母为0的 根.因此我们只要检验一元二次方程的根,是 否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分 母为0.若为0,即为增根;若不为0,即为原方 程的解. 【例2】 解方程:( x2 x-1) 2 - 3x2 x-1-4=0. 【分析】 本题若直接去分母,会得到一个四次 方程,解方程很困难.但注意到方程的结构特 点,设 x 2 x-1=y ,即得到一个关于y 的一元二 次方程.最后在已知y 的值的情况下,用去分 母的方法解方程 x2 x-1=y. 【解】 设 x2 x-1=y ,则原方程可化为:y2-3y -4=0,解得y=4或y=-1. (1)当 y=4时, x2 x-1=4 ,去 分 母,得 x2=4(x-1)⇒x2-4x+4=0⇒x=2; (2)当 y=-1时, x2 x-1=-1⇒x 2= -x+1⇒x2+x-1=0⇒x= -1± 5 2 . 检验:把各根分别代入原方程的分母,各 分母都不为0. 所以,x=2和x= -1± 5 2 都是原方程 的解. 【说明】 用换元法解分式方程常见的错误是 只求出y 的值,而没有求到原方程的解,即x 的值. 【例3】 解方程: 8(x2+2x) x2-1 + 3(x2-1) x2+2x =11. 【分析】 注意观察方程特点,可以看到分式 x2+2x x2-1 与 x2-1 x2+2x 互 为 倒 数.因 此,可 以 设 x2+2x x2-1=y ,即可将原方程化为一个较为简单 的分式方程. 【解】 设 x2+2x x2-1=y ,则x 2-1 x2+2x= 1 y 原方程可化为:8y+ 3 y =11⇒8y2-11y +3=0⇒y=1或y= 3 8. (1)当y=1时, x2+2x x2-1 =1⇒x 2+2x= x2-1⇒x=- 1 2 ; (2)当y= 3 8 时,x 2+2x x2-1= 3 8⇒8x 2+16x =3x2-3⇒5x2+16x+3=0⇒x= -3 或x=- 1 5. 检验:把各根分别代入原方程的分母,各 分母都不为0. 所以,原方程的解是x=- 1 2 ,x=-3,x= - 1 5. 【说明】 解分式方程的方法就是采取去分母、 换元等法,将分式方程转化为整式方程,体现 了化归思想. 1.张华在一次数学活动中,利用“在面积 73 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推 导出“式子x+ 1 x (x>0)的最小值是2”,其推 导方法如下:在面积是1的矩形中,设矩形的 一边长为x,则另一边的长是 1 x ,矩形的周长 是2(x+ 1 x ) ;当矩形成为正方形时,就有x= 1 x (x>0).解 得 x=1,这 时 矩 形 的 周 长 2(x+ 1 x )=4最小 ,因此x+ 1 x (x>0)的最小 值是2.模仿张华的推导,你求得式子 x2+9 x (x>0)的最小值是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.10 2.解下列方程: (1) 2x-1 (x-1)(x-2)= x-5 (x-2)(x-3) (2) x 2x2-11x-21= x+7 x2-12x+35 (3) 2 y2-4 = 1 y+2 -1(4) 15 x2-4+ 2 2-x =1 3.已知 x x-3-2= m x-3 的解为正数,求m 的取值范围. 关于这道题,有位同学作出如下解答: 解:去分母,得x-2(x-3)=m,化简,得 -x=m-6,故x=-m+6. 欲使方程的根为正数,必须-m+6>0, 得m<6. 所以,当 m<6时,方程 x x-3-2= m x-3 的解是正数. 上述解法是否有误? 若有错误,请说明错 误的原因,并写出正确解答. 4.(1)符号“ a b c d ”称为二阶行列式,规 定它的运算法则为 a b c d =ad-bc,请你根 据 上 述 规 定 求 出 下 列 等 式 中 x 的 值: 2 1 1-x 1 1 x-1 =1. 83 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 (2)先阅读下列一段文字,然后解答问题: 已知:方程x- 1 x=1 1 2 的解是x1=2,x2= - 1 2 ;方程x- 1 x=2 2 3 的解是x1=3,x2=- 1 3 ; 方程x- 1 x=3 3 4 的解是x1=4,x2=- 1 4 ,…… 问题:观察上述方程及其解,再猜想出方 程:x- 1 x=10 10 11 的解,并进行检验再推广到 一般情形. 5.用换元法解下列方程: (1) x2-5x x+1 + 24(x+1) x(x-5)+14=0 (2) 2(x2+1) x+1 + 6(x+1) x2+1 =7 (3) x4+2x2+1 x2 + x2+1 x =2 6.阅读下面材料,解答后面的问题. 解方程:x-1 x - 4x x-1=0. 解:设y= x-1 x ,则原方程化为:y- 4 y = 0,方程两边同时乘y 得:y2-4=0, 解得:y=±2, 经检验:y=±2都是方程y- 4 y =0的 解,∴当y=2时, x-1 x =2 ,解得:x=-1, 当y=-2时,解得:x= 1 3 ,经检验:x= -1或x= 1 3 都是原分式方程的解, ∴原分式方程的解为x=-1或x= 1 3. 上述这种解分式方程的方法称为换元法. 问题: (1)若 在 方 程 x-1 4x - x x-1=0 中,设 y= x-1 x ,则原方程可化为: . (2)若在方程 x-1 x+1- 4x+4 x-1=0 中,设 y= x-1 x+1 ,则原方程可化为: . (3)模仿上述换元法解方程: x-1 x+2- 3 x-1 -1=0. 93