2.2.2 由两个二元二次方程组成的方程组-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.2.2 由两个二元二次方程组成的方程组 由两个二元二次方程组成的二元二次方 程组,简称二二型.这类方程组,大多数情况下 较难消元或降次,有时虽然可以消元,但可能 得到一个很难解的一元三次或一元四次方程. 因此,对于这类方程组,我们要仔细观察其特 征,不同的方程采用不同的解法. 【例1】 解方程组: x2-y2=5(x+y) ① x2+xy+y2=43 ②{ 【分析】 注意到方程x2-y2=5(x+y)可分 解成(x+y)(x-y-5)=0,即得x+y=0或 x-y-5=0,则可得到两个二元二次方程组, 且每个方程组中均有一个方程为二元一次 方程. 【解】 由①得: x2-y2-5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y) -5(x+y)=0⇒(x+y)(x-y-5)=0 ∴x+y=0或x-y-5=0 ∴ 原方程组可化为两个方程组: x-y-5=0 x2+xy+y2=43{ 或 x+y=0 x2+xy+y2=43{ . 用代入法解这两个方程组,得原方程组的 解是: x1=-1 y1=-6{ , x2=6 y2=1{ , x3= 43 y3=- 43 ì î í ïï ï , x4=- 43 y4= 43 ì î í ïï ï . 【说明】 由两个二元二次方程组成的方程组 中,有一个方程可以通过因式分解,化为两个 二元一次方程,则原方程组转化为解两个方程 组,其中每一个方程组均有一个方程是二元一 次方程. 【例2】 解方程组: x2+xy=12 ① xy+y2=4 ②{ 【分析】 本题的特点是方程组中的两个方程 均缺一次项,我们可以消去常数项,可得到一 个二次三项式的方程.对其因式分解,就可以 转化为例1的类型. 【解】 ①-②×3得:x2+xy-3(xy+y2) =0 即x2-2xy-3y2=0⇒(x-3y)(x+y) =0 ∴x-3y=0或x+y=0 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程 组: x-3y=0 xy+y2=4{ , x+y=0 xy+y2=4{ . 用代入法解这两个方程组,得原方程组的 解是: x1=3 y1=1{ , x2=-3 y2=-1{ . 【说明】 若方程组的两个方程均缺一次项,则 消去常数项,得到一个二元二次方程.此方程 与原方程组中的任一个方程联立,得到一个可 因式分解型的二元二次方程组. 【例3】 解方程组 x2+y2=26 ① xy=5 ②{ 【解】 ①+②×2得:x2+y2+2xy=36⇒ (x+y)2=36⇒x+y=6或x+y=-6,①- ②×2得:x2+y2-2xy=16⇒(x-y)2=16 ⇒x-y=4或x-y=-4.可得到四个方程 33 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 组: x+y=6 x-y=4{ , x+y=6 x-y=-4{ , x+y=-6 x-y=4{ , x+y=-6 x-y=-4{ , 解此四个方程组,得原方程组的解是: x1=5 y1=1{ , x2=1 y2=5{ , x3=-1 y3=-5{ , x4=-5 y4=-1{ . 【例4】 解方程组: x2+2xy+y2=9 ① (x-y)2-3(x-y)-10=0 ②{ 【分析】 观察这个方程组,它的特点是两个方 程都能通过因式分解转化成两个二元一次方 程,然后先将①中分解的第一个方程分别与② 中分解的两个一次方程进行组合,得到两个二 元一次方程组,接着再将①中分解的第二个方 程分别与②中分解的两个一次方程进行组合, 得到两个二元一次方程组,这样一共得到四个 二元一次方程组,解这四个二元一次方程组, 就可得原方程组的所有解.解题的关键仍然是 将方程分解. 【解】 由①得:(x+y)2=9,即x+y=3或 x+y=-3 由②得:(x-y-5)(x-y+2)=0,即 x-y-5=0或x-y+2=0 因此原方程组可化为四个方程组: x+y=3 x-y-5=0{ , x+y=3 x-y+2=0{ , x+y=-3 x-y-5=0{ , x+y=-3 x-y+2=0{ . 解这四个方程组,得原方程组的解是: x1=4 y1=-1{ , x2= 1 2 y2= 5 2 ì î í ï ï ï ï ïï , x3=1 y3=-4{ , x4=- 5 2 y4=- 1 2 ì î í ï ï ï ï ïï . 【例5】 解方程组: 3x2-y2=8 ① x2+xy-y2=4 ②{ 【分析】 观察这个方程组,它的特点是每个方 程都没有一次项,每个方程都不能化成两个二 元一次方程,不能用分解降次的方法求解.如 果消去常数项(加减法),就得到形如ax2+ bxy+cy2=0的方程,再用分解降次法就可以 解这个方程组了. 【解】 ①-②×2得:x2-2xy+y2=0,即 (x-y)2=0,x-y=0 因此原方程组可化为: 3x2-y2=8 x-y=0{ 解这个方程组,得原方程组的解是: x1=2 y1=2{ , x2=-2 y2=-2{ . 1.解方程组: (1) x2+y2=20 x2-5xy+6y2=0{ (2) x2-5x-y2-5y=0 x2+xy+y2=49{ 43 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.若方程组 x2+y2=m x-y=2{ 只有一个解(即 有两组相同的解). (1)求m 的值. (2)求方程组的解. 3.若方程组 y2-6x=2a-1 y-x=a{ 有实数解, 求a 的取值范围. 4.已知 x=1 y= 3 2 3 ì î í ï ï ï ï 和 x= 2 3 5 y=-2 ì î í ï ï ï ï 是方程 x2 a2+ y2 b2=1 的两个解,求正数a 和b的值. 5.若方程组 2x2+mym2-2m-1=2 5x2-3xy=4{ 是二元 二次方程组,求m 的值. 53 2.2.2由两个二元二次方程组成的方程组 1.(1) 1=4:=-4xg=32x:=-32 y1=2by=-2by=2by,=-2 5+/57 5-√57 x1=-71x2=7 C3= 2 (2) y:=7by2=-7 -5+√/57 y3= 2 ,=5-57 2 .1Dm=2(2)=, 3a≤24/=2 b=3 5.解：根据题意，m2-2m-1=0或m2一2m-1=1或m2-2m一1=2，解m2-2m-1= 0,得：m=1士√2，解m2-2m-1=1,得：=1士√3，解m2-2m一1=2，得：m=3或-1.综上， m的值为1士√2,1士3,3或-1. 23分式方程和无理方程 2.3.1复杂的分式方程的解法 1.C 2.(1)x=-1(2)x1=-1,x2=-21(3)y1=0,y2=1(4)x1=3,x2=-5 3.有错误.没有考虑x一3≠0，即一m十6一3≠0.正确的结果是m<6且m≠3. 41x=4(（②x=1x:=一元一般情形：方程x-=m+, x 'n+1 的解为x1=n+1, 1 T2=- n十1' 5.(1)x,-=1x:=2,=-3x4=-4(2)x=1士2，x=3±7 (3)x=-1 4 6解：1片寸=02y一兰0《3)原方程化为号 x+2x-1 =0,设y=一 +2则 原方程化为：y-1=0,方程两边同时乘y得：y一1=0，解得y=士1，经检验y=士1都是 y ·7