2.2.1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.2 二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一 元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握了 用消元法解二元一次方程组.高中学习圆锥 曲线时,需要用到二元二次方程组的解法.因 此,本讲介绍简单的二元二次方程组的解法. 含有两个未知数,且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,叫作二元二次方程. 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组 成的方程组,或由两个二元二次方程组成的方 程组,叫作二元二次方程组. 2.2.1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 方程x2+2xy+y2+x+y+6=0是一 个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,这样的方程叫作二元 二次方程.其中x2,2xy,y2 叫作这个方程的 二次项,x,y 叫作一次项,6叫作常数项. 我们看下面的两个方程组: x2-4y2+x+3y-1=0 2x-y-1=0{ x2+y2=20 x2-5xy+6y2=0{ 第一个方程组是由一个二元二次方程和 一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由 两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫 作二元二次方程组. 一个二元一次方程和一个二元二次方程 组成的方程组一般都可以用代入法求解.其 中蕴含着转化思想:将二元一次方程化为熟悉 的一元二次方程求解. 说明: (1)解由一个二元一次方程和一个二元二 次方程组成的方程组的步骤: ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的 方程,或用y 表示x 的方程; ②把变形后的方程代入二元二次方程,得 到一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二 元一次方程,求相应的未知数的值; ⑤写出答案. (2)消x 还是消y,应由二元一次方程的 系数来决定.若系数均为整数,那么最好消去 系数绝对值较小的,如方程x-2y+1=0,可 以消去x,变形得x=2y-1,再代入消元. (3)消元后,求出一元二次方程的根,应代 入二元一次方程求另一未知数的值,不能代入 二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可 能产生增根,这一点切记. 【例1】 解方程组: x2-6x-2y+11=0 ① 2x-y+1=0 ②{ 【分析】 方程组是由一个二元二次方程和一 个二元一次方程组成的二元二次方程组,简称 二一型.这类二元二次方程组通常用代入消元 法把二元二次方程转化成一元二次方程,先求 03 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 出一个未知数的值,再求出原方程组的解. 【解】 由②,得:y=2x+1 ③ 把③代入①,整理得:x2-10x+9=0.解 得x1=1,x2=9.把x1=1代入③得y1=3.把 x2=9代入③得y2=19.所以原方程组的解是 x1=1 y1=3{ , x2=9 y2=19{ . 【说明】 (1)解由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的方程组的步骤:①由二元 一次方程变形为用x 表示y 的方程,或用y 表示x 的方程(*);②把方程(*)代入二元 二次方程,得一个一元二次方程;③解消元后 得到的一元二次方程;④把一元二次方程的 根,代入变形后的二元一次方程(*),求相应 的未知数的值;⑤写出答案.(2)消x,还是消 y,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均 为整数,那么最好消去系数绝对值较小的,如 方程x-2y+1=0,可以消去x,变形得x= 2y-1,再代入消元.(3)消元后,求出一元二次 方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数 的值,不能代入二元二次方程求另一未知数的 值,因为这样可能产生增根. 【例2】 解方程组: 4x2-9y2=5 ① 2x+3y=5 ②{ 【分析】 观察这个方程组,发现它有一个特 点:两个方程的左边有公因式,右边是不为0 的常数,我们可以相除降次. 【解】 ①÷②得:2x-3y=1 ③ 将②,③组成方程组: 2x-3y=1 2x+3y=5{ . 解 这 个 方 程 组,得 原 方 程 组 的 解 是 x= 3 2 y= 2 3 ì î í ï ï ï ï ïï . 【说明】 对于特殊的方程,可用特殊的方法来 解,不必拘泥于常规的解法,应以简便为宜! 【例3】 解方程组: x2+y2=10 ① x+y=4 ②{ 【解】 ②式平方后减①,得:xy=3 ③ 由②,③知x,y 是方程z2-4z+3=0的 根.解这个方程得z1=1,z2=3.所以原方程 组的解是 x1=1 y1=3{ , x2=3 y2=1{ . 【说明】 方程中x,y 互换位置,方程不变,这 类方程叫对称式方程.由两个对称式方程组成 的方程组叫对称式方程组.它具有如下特点: 如 果 x=m y=n{ 是 对 称 式 方 程 组 的 解,那 么 x=n y=m{ 也是它的解. 【例 4】 当 k 为 何 值 时,方 程 组 x2-12y=0 ① x-3y=k ②{ :(1)有两组相等的实数解? (2)有两组不相等的实数解? (3)没有实数解? 【分析】 在一元二次方程中我们讨论过解的 情况,为此我们也试图用代入消元法把二元二 次方程组转化成一元二次方程来讨论. 【解】 由②,得x=3y+k ③ 把③代入①,得(3y+k)2-12y=0 整理得,9y2+(6k-12)y+k2=0 ④ Δ=(6k-12)2-4×9k2=36[(k-2)2- k2]=36(4-4k)=144(1-k) (1)当Δ=0,即144(1-k)=0,k=1时, 方程④有两个相等的实数根,此时原方程组有 两组相等的实数解; (2)当Δ>0,即144(1-k)>0,k<1时, 方程④有两个不相等的实数根,此时原方程组 也有两组不相等的实数解; (3)当Δ<0,即144(1-k)<0,k>1时, 13 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 方程④没有实数根,此时原方程组也没有实 数解. 【说明】 由一个二元二次方程和一个二元一 次方程组成的二元二次方程组,一般情况下有 两组不同的解,也有可能有两组相同的解(此 时可看作有唯一的解)或没有实数解.从数的 角度考虑,把二元一次方程代入二元二次方 程,消去一个元后,得到一个一元二次方程,由 根的判别式可知,解的情况可能是有两个不相 等的实数解、两个相等的实数解或无实数解. 这样二元二次方程组也就相应地有三种情况. 从形的角度来看,一般的二元二次方程对应着 坐标平面内的一条二次曲线,它和二元一次方 程所对应的一条直线存在着相交、相切、相离 这样三种位置关系,即有两个公共点、一个公 共点和没有公共点.这也可以看出由一个二元 二次方程和一个二元一次方程组成的方程组 的解的个数有上述三种情况. 1.解方程组: 2x-y=0 ① x2-y2+3=0 ②{ 2.解方程组: (1) x2+y2=13 x+y=5{ (2) x2-4y2+x+3y-1=0 2x-y-1=0{ (3) x2-6x-2y+14=0 x-y+1=0{ (4) x+y=11 xy=28{ 3.从方程组 x2+y2=8① x+y=m②{ 中消去y,得 到关于x 的二次方程.当m=3时,这个关于 x 的方程有几个实数解? 当 m=4时呢? 当 m=5时呢? 23 2.1.2一元二次方程根与系数的关系 1.72.1934D5.B6D7.B8A9.C10.D1.D12.k=-1 1△=(-2m)2-4m(m-2)≥0 13.解：(1) ,∴.m>0; m≠0 2x+x,=2,若x>则-1，x-多，m=8,若<2，则x2- 1 六x=2心m=8心m=8. 14.解：根据题意得△=k十1)-4（宁十1）≥0，解得长≥号十x:=k十1， 6+1.(1:1:=5∴+1=5，解得6=士4：k≥k的值为4：(2：= x12=xg2,.(x十x2)(x1一x2)=0,∴.x1十x2=0或x1-x2=0,∴.k十1=0或△=0，.k =-1或女=号∴k的值为2 2.2二元二次方程组 2.2.1由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的方程组 1. x1=1x2=-1 y1=2y2=-2 8 2.(1)/=2 /x2=3 x115 x2=1 x1=6x2=2 (2) (3) 41=42=7 y1=3y2=2 1y:=1 y1=7y=3y1=7y2=4 y=15 3.由②得，y=m-x③，把③代入①，得x2十(m一x)2=8,整理，得2.x2-2mx十m2一8 0,当m=3时，2x2一6x十1=0，.△=28>0，∴.当m=3时，这个关于x的方程有两个不相等 的实数解.当m=4时，2.x2一8.x十8=0，即x2一4x十4=0，，△=0，∴.当m=4时，这个关于x 的方程有两个相等的实数解.当m=5时，2x2一10.x+17=0,△=一36<0，.当m=5时， 这个关于x的方程没有实数解. ·6·