2.1.2 一元二次方程根与系数的关系-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.1.2 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两 个 实 数 根 x1= -b+ b2-4ac 2a ,x2= -b- b2-4ac 2a , 则 有 x1 + x2 = -b+ b2-4ac 2a + -b- b2-4ac 2a = -2b 2a = - b a ; x1x2 = -b+ b2-4ac 2a · -b- b2-4ac 2a = b2-(b2-4ac) 4a2 = 4ac 4a2= c a. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在 下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别 是x1,x2,那么x1+x2=- b a ,x1·x2= c a. 这一关系也被称为韦达定理. 特别地,对于二次项系数为1的一元二次 方程x2+px+q=0,若x1,x2 是其两根,由 韦达定理可知x1+x2=-p,x1·x2=q,即 p=-(x1+x2),q=x1·x2,所以,方程x2+ px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·x2=0. 由于x1,x2 是一元二次方程x2+px+q=0的 两根,所以x1,x2 也是一元二次方程x2-(x1+ x2)x+x1·x2=0的两根.因此有以两个数x1, x2 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0. 【例1】 已知关于x 的一元二次方程x2+(m -1)x-2m2+m=0(m 为实数)有两个实数 根x1,x2. (1)求当m 为何值时,x1≠x2; (2)若x21+x22=2,求m 的值. 【分析】 (1)方程的两个根不相等时,其判别 式大于0;(2)由方程根与系数的关系,求出m 的值. 【解法一】 (1)Δ=(m-1)2-4(-2m2+m)= m2-2m+1+8m2-4m=9m2-6m+1=(3m -1)2, 要使x1≠x2,则Δ>0,即Δ=(3m-1)2 >0,∴m≠ 1 3. (2)∵x1=m,x2=1-2m,x21+x22=2.∴ m2+(1-2m)2=2.解得m1=- 1 5 ,m2=1. 【解法二】 (1)由x2+(m-1)x-2m2+m= 0得x1=m,x2=1-2m.要使x1≠x2,即m≠ 1-2m,∴m≠ 1 3. (2)∵x1+x2=-(m-1),x1·x2= -2m2+m,x21+x22=2.∴(x1+x2)2-2x1x2 =(m-1)2-2(-2m2+m)=2,即5m2-4m -1=0,∴m1=- 1 5 ,m2=1. 【说明】 (1)已知一元二次方程有实数根,在 满足Δ≥0的同时,还要考虑隐含条件二次项 系数不为零; (2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0),当b2-4ac≥0时,方程有实数根,设这两个 实数根为x1,x2,这两个根与系数的关系:x1 +x2=- b a ,x1·x2= c a. 【例2】 若x1,x2 是方程x2+2x-2007=0 72 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 的两个根,试求下列各式的值: (1)x21+x22;(2) 1 x1+ 1 x2 ;(3)(x1-5)(x2 -5);(4)|x1-x2|. 【分析】 本题若直接用求根公式求出方程的 两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这 里,可以利用韦达定理来解答. 【解】 由题意,根据根与系数的关系得:x1+x2 =-2,x1x2=-2007 (1)x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2= (-2)2-2×(-2007)=4018 (2) 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1x2 = -2 -2007= 2 2007 (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2) +25=-2007-5×(-2)+25=-1972 (4)|x1 - x2 | = (x1-x2)2 = (x1+x2)2-4x1x2 = (-2)2-4(-2007) =4502 【说明】 利用根与系数的关系求值,要熟练掌 握以下等式变形: x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 1 x1+ 1 x2= x1+x2 x1x2 , (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, |x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2, x1x22+x21x2=x1x2(x1+x2), x31+x32=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2). 韦达定理体现了整体思想. 【例3】 已知关于x 的一元二次方程x2-2x -a=0. (1)如果此方程有两个不相等的实数根, 求a 的取值范围; (2)如果此方程的两个实数根为x1,x2, 且满足1 x1+ 1 x2=- 2 3 ,求a 的值. 【解】 (1)Δ= (-2)2-4×1× (-a) =4+4a. ∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,即a>-1. (2)由题意得:x1+x2=2,x1·x2=-a. ∵ 1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1x2 = 2 -a ,1 x1 + 1 x2 =- 2 3. ∴ 2 -a=- 2 3 ,∴a=3. 1.如果x1,x2 是方程x2-7x+2=0的 两个根,那么x1+x2= . 2.已知一元二次方程x2-3x-5=0的两 根分别为x1,x2,那么x21+x22 的值是 . 3.若方程x2-2x+k=0的两根的倒数 和是8 3 ,则k= . 4.下列方程中,两实数根之和等于2的方 程是 ( ) A.x2+2x-3=0 B.x2-2x+3=0 C.2x2-2x-3=0 D.3x2-6x+1=0 5.如果一元二次方程x2+3x-2=0的 两个根为x1,x2,那么x1+x2 与x1x2 的值 分别为 ( ) A.3,2 B.-3,-2 C.3,-2 D.-3,2 6.如果方程2x2-6x+3=0的两个实数 根分别为x1,x2,那么x1x2 的值是 ( ) A.3 B.-3 C.- 3 2 D. 3 2 82 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 7.如果x1,x2 是方程x2-3x+1=0的 两个根,那么1 x1+ 1 x2 的值等于 ( ) A.-3 B.3 C. 1 3 D.- 1 3 8.已知关于x 的方程x2-(k+2)x+6 -k=0有两个相等的正实数根,则k的值是 ( ) A.2 B.-10 C.2或-10 D.25 9.若方程x2-8x+m=0的两实数根的 平方差为16,则m 的值等于 ( ) A.3 B.5 C.15 D.-15 10.如果x1,x2 是两个不相等的实数,且 满足x21-2x1=1,x22-2x2=1,那么x1x2 等于 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 11.对于任意实数m,关于x 的方程(m2 +1)x2-2mx+(m2+4)=0一定 ( ) A.有两个正的实数根 B.有两个负的实数根 C.有一个正实数根、一个负实数根 D.没有实数根 12.已知关于x 的方程x2-(k-1)x+k +1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数 k的值. 13.已知一元二次方程mx2-2mx+m- 2=0. (1)若方程有两实数根,求m 的范围. (2)设 方 程 两 实 根 为 x1,x2,且 x1-x2 =1,求m 的值. 14.已知关于x 的方程x2-(k+1)x+ 1 4k 2+1=0,根据下列条件,分别求出k的值. (1)方程两实根的积为5. (2)方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2. 92 2.1.2 一元二次方程根与系数的关系 1.7 2.19 3. 4. D 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. D 12. =-$1 , (△-(-2m)*-4m(m-2)>0 13.解:(1)( ..m>0; lm70 2 3 3 2 ..的值为4;(2).x-x. 4 '=x}.'(x+x(-x)=0,'+x=或x-x=0,'+1-0或△=0,'$ 2.2 二元二次方程组 2.2.1 由一个二元一次方程和一个 二元二次方程组成的方程组 /2)=1 1(7--1 1. y-2 y。--2 (x-3 (2-2 (X1-2 17-6 (-4 11.-7 2.(1){ (2) (③)/ (4)/ #-7:-3 ,-3-2 y-7v2-4 3.由②得,v=n-x③,把③代入①,得x}十(m-x)?}=8,整理,得2x-2mx+m{}-8= 0.当n=3时,2x-6x+1=0,.△=28>0,..当n=3时,这个关于x的方程有两个不相等$ 的实数解,当n-4时,2x-8x+8-0,即x}-4x十4-0,△-0.当n-4时,这个关于 的方程有两个相等的实数解,当n=5时,2x-10x+17=0,.△=-36 0,.当n=5时 这个关于2的方程没有实数解 .6.