2.1.1 一元二次方程根的判别式-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

以d=3,所以am=3十3(n一1)=3n;设等比数列{bm}的公比为g,由题b2=b1q=12,所以g= 4,所以bn=3×4-1;(2)am十bm=3n十3×4"-1，所以{a。十bm}的前n项和为S.=(a1十a2十 …+a.)+(h,+b+…+6.)=(3+6+…+3m)+31+4+16+…+4-)=3+3m)m+3× 2 (1-4")3 1-4=2n(n+1)+4"-1. 第2章 方程、不等式与函数 2.1一元二次方程 2.1.1一元二次方程根的判别式 1.(1)① (2)士2√2 (8k≤号 (4)10(5)k<1 2.(1)C(2)A 3.分两种情况讨论：①)当m=0时x=号：(2)当m≠0时，△=m十>0，所以方程必有 实根. 4.(1)证明：，a=m,b=-(m+2),c=2,.△=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4 一8m=m2一4m十4=(m一2)2≥0，∴.方程总有两个实数根. (2)解：方法1（公式法）：x=-b±V6-4e_m十2士/(m-2)_m+2士(m-2) 2a 2m 2m 六x1-m十2十m=2-1,-m十2m十2_2：方程的两个实数根都是整数.：二是整数。 21m 2m .m=士1或m=士2，又，m是正整数，∴.m=1或m=2. 方法2（因式分解法）：，mx2一(m十2)x十2=0，∴.(x一1)(m.x一2)=0，.x一1=0或 mx一2=0，=1，，=2：方程的两个实数根都是整数， .2是整数m=士1或m=士2.又：m是正整数，m=1或m=2. 5.解：(1)，关于x的方程x2一2mx十m2十m一2=0有两个不相等的实数根，∴.△= (一2m)2一4(m2十m一2)>0.解得m<2:(2)由(1)知，m<2.又m为正整数，.m=1,将m= 1代入原方程，得x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2. 5第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 第2章 方程、不等式与函数 2.1 一元二次方程 现行初中数学教材主要要求学生掌握一 元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次 方程的根的判别式及根与系数的关系,在高中 教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节 有着许多应用. 2.1.1 一元二次方程根的判别式 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为 (x+ b 2a) 2 = b2-4ac 4a2 ①. 因为a≠0,所以4a2>0.于是: (1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一 个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2= -b± b2-4ac 2a ; (2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为 零,因此,原方程有两个相等的实数根x1=x2 =- b 2a ; (3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一 个负数,而方程①的左边 (x+ b 2a ) 2 一定大于 或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我 们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来 表示. 综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+ c=0(a≠0),有: (1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实 数根x1,2= -b± b2-4ac 2a ; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数 根x1=x2=- b 2a ; (3)当Δ<0时,方程没有实数根. 【例1】 判定下列关于x 的方程的根的情况 (其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方 程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3)x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 【解】 (1)∵Δ=(-3)2-4×1×3=-3<0, ∴方程没有实数根. (2)该方程根的判别式Δ=a2-4×1× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的 实数根,x1= a+ a2+4 2 ,x2= a- a2+4 2 . 42 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 (3)由于该方程根的判别式为Δ=a2-4 ×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,所以: ①当a=2时,Δ=0,方程有两个相等的 实数根x1=x2=1; ②当a≠2时,Δ>0,方程有两个不相等 的实数根x1=1,x2=a-1. (4)由于该方程根的判别式为Δ=(-2)2 -4×1×a=4-4a=4(1-a),所以: ①当Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1时, 方程有两个不相等的实数根x1=1+ 1-a, x2=1- 1-a; ②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等 的实数根x1=x2=1; ③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根. 【说明】 在第(3),(4)小题中,方程的根的判 别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于 是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行 讨论,这一方法叫作分类讨论. 分类讨论这一思想方法是高中数学中一 个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地 运用这一方法来解决问题. 【例2】 已知关于x 的一元二次方程x2+2(m +1)x+m2-1=0. (1)若方程有实数根,求实数 m 的取值 范围; (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满 足(x1-x2)2=16-x1x2,求实数m 的值. 【解】 (1)根据题意可知:Δ=[2(m+1)]2- 4(m2-1)≥0,解得:m≥-1,∴实数 m 的取 值范围是:m≥-1; (2)根据根与系数的关系可知x1+x2= -2(m+1),x1·x2=m2-1.∵(x1-x2)2= 16-x1x2,∴(x1+x2)2-4x1x2=16- x1x2,即(x1+x2)2=16+3x1x2,∴[-2(m +1)]2=16+3(m2-1),解得m=1或-9,又 ∵m≥-1,∴m=-9不合题意舍去,∴m=1. 【说明】 (1)解答方程有实数根类问题时,利 用b2-4ac>0有两个不等实根,b2-4ac=0 有两个相等实根,b2-4ac<0没有实根,解答 时要注意二次项系数有分母时,方程是否是一 元二次方程;(2)对于方程两实数根问题,通常 利用根与系数关系找出x1+x2,x1x2的值,再 结合完全平方公式求解. 【例3】 已知关于x 的方程x2+ax+a-2 =0. (1)若该方程的一个根为1,求a 的值及 该方程的另一根; (2)求证:不论a 取何实数,该方程都有 两个不相等的实数根. 【解】 (1)已知1为原方程的一个根,则1+a +a-2=0. ∴a= 1 2 ,代回方程得:x2+ 1 2x- 3 2=0 (x-1)(x+ 3 2)=0 ∴x1=1,x2=- 3 2 (2)在x2+ax+a-2=0中,A=1,B= a,C=a-2, Δ=B2-4AC =a2-4(a-2) =a2-4a+8 =(a-2)2+4>0 ∴不论a 取何实数,该方程都有两个不 相等的实数根. 【说明】 一元二次方程的问题除了会解方程, 更要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式Δ=b2-4ac:当Δ>0时,方程有 两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个 相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根. 52 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.填空题: (1)下列方程:①x2+1=0;②x2+x=0;③ x2+x-1=0;④x2-x=0,其中无实根的方 程是 . (2)已知关于x 的方程x2-mx+2=0有 两个相等的实数根,那么m 的值是 . (3)如果二次三项式3x2-4x+2k 在实 数范围内总能分解成两个一次因式的积,则k 的取值范围是 . (4)在一元二次方程x2+bx+c=0(b≠ c)中,若系数b,c可在1,2,3,4,5中取值,则 其中有实数解的方程的个数是 . (5)如果关于x 的方程x2-2x+k=0(k 为常数)有两个不相等的实数根,那么k 的取 值范围是 . 2.选择题: (1)下列方程中,无实数根的是 ( ) A.x-1+ 1-x=0 B.2y+ 6 y =7 C.x+1+2=0 D.x2-3x+2=0 (2)在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若 a 与c异号,则方程根的情况是 ( ) A.有两个不等实根 B.有两个相等实根 C.没有实根 D.无法确定 3.试证:关于x 的方程mx2-(m+2)x =-1必有实根. 4.已知关于x 的方程mx2-(m+2)x+ 2=0(m≠0). (1)求证:方程总有两个实数根. (2)若方程的两个实数根都是整数,求正 整数m 的值. 5.已知关于x 的方程x2-2mx+m2+m -2=0有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围. (2)当m 为正整数时,求方程的根. 62