1.7 等差与等比数列-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.7 等差与等比数列 1.等差数列是常见数列的一种,如果一 个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差 等于同一个常数,这个数列就叫作等差数列, 而这个常数叫作等差数列的公差,公差常用字 母d 表示. 例如:1,3,5,7,9,…,1+2(n-1). 通项公式为:an=a1+(n-1)×d.首项 a1=1,公差d=2. 前n 项和公式为:Sn=[a1×n+n×(a1 +(n-1)×d)]/2或Sn=[n×(a1+an)]/2. 注意:以上n 均属于正整数. 2.等比数列 等比数列是说如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数, 这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字 母q表示(q≠0),等比数列中a1≠0.注:q=1 时,an为常数列. 【例1】 已知一个等差数列1,3,5,7,9,…,求 前20项的和. 【解】 a1=1,d=2,故a20=1+19×2=39 ∴S20= 20 2 (a1+a20)=400 【例2】 已知一个等差数列共99项,所有项 之和为99,求第50项的值. 【解】 a50= S99 99=1 【例3】 数列:1,2,4,8,…,2n-1,… (1)这是一个什么数列? (2)求这个数列的前n 项和. 【解】 (1)等比数列 (2)2n-1 【例4】 如果一个数列各项都相等,那么该数 列一定是等差数列吗? 一定是等比数列吗? 为什么? 【解】 一定是等差数列,因为后一项减前一项 为0,不一定是等比数列,因为各项有可能都 为0. 【例5】 已知a,b,c构成等比数列,a,c,b构 成等差数列,若公差与公比恰好相等,求a,b, c的值. 【解】 设公比为q,则c=a+q=aq2,b=a+2q =aq.∴ q=a(q2-1) 2q=a(q-1){ ,相除得:q+1= 1 2 ,∴q= - 1 2.∴a= 2 3 ,b=- 1 3 ,c= 1 6. 【例6】 如图,在第1个△A1BC 中,∠B= 30°,A1B=CB;在边A1B 上任取一点D,延 长CA1到 A2,使 A1A2=A1D,得到第2个 △A1A2D;在边 A2D 上任取一点E,延长 A1A2到 A3,使 A2A3=A2E,得到第3个 △A2A3E,……按此作法继续下去,则第n 个 三角形中以An为顶点的内角度数是 ( ) A.( 1 2) n·75° B.( 1 2) n-1·65° C.( 1 2) n-1·75° D.( 1 2) n·85° 【分析】 先 由 条 件 分 别 求 出 ∠A1A2D, ∠A2A3E,∠A3A4F,并从中归纳出一般规 律,进而猜想得到第n 个三角形中以An为顶 22 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 点的内角度数. 【解】 ∵A1B=CB,∠B=30°,∴∠C= ∠BA1C= 1 2 (180°-∠B)=75°,又∵A1A2= A1D,∴∠A1A2D=∠A1DA2= 1 2∠DA1C = 1 2×75° (三角形外角等于不相邻两内角之 和)= 1 22-1 ×75°= ( 1 2) 2-1 ×75°;同 样, ∵A2A3=A2E,∴∠A2A3E=∠A2EA3= 1 2∠DA2A1= 1 2× 1 2×75°= 1 4×75°= 1 23-1× 75°= ( 1 2) 3-1 ×75°;同 理,∠A3A4F = ∠A3FA4= 1 2∠EA3A2= ( 1 2) 4-1 ×75°;…… 第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是 ( 1 2) n-1 ×75°,故应选C. 【说明】 求解规律探究问题时,一般要先从特 殊情况入手,归纳出一般情形,进而再猜想验 证,得出结果. 1.《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰, 日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木 棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如 图所示. 由图得:1 2+ 1 22+ 1 23+ …+ 1 2n= . 2.数列1,-1,1,-1,1,-1,…是 数列,前n 项和为 . 3.已知a,b,c 既成等比数列,又成等差 数列,求证:a=b=c. 4.数列1,2,3,…,m,…前 m 项之和为 5050,求m 的值. 5.已知等差数列{an},等比数列{bn}满 足:a1=b1=3,a4=b2=12. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)求数列{an+bn}的前n 项和Sn. 32 3.1 4.(1)-2a-2ab+2Wb+1(2 2Ja a-b 5.2702 6.289 7.解：(1)m2+3n22mn (2)(2+√)2(3)：a是216的立方根，b是16的平方根， a=6,b=士4，Wa+b2=√6士42=√(2士√2)2=2士√2. 1.6因式分解 1.B 2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a-b)(4a+2ab+b2)(3)(x-1-√2)(x-1+2) (4)(2-y)(2.x-y+2) 3.(1)x(x+y)(y2-xy+x2)(2).x"(x-y)(x2+.xy+y2)(3)a2(m+n-b)[(m+ n)2+b(m+n)+b2](4)y2(x-1)2(.x4-4x3+3.x2+2.x+1) 4.(1)(x-2)(x-1)(2)(.x+36)(x+1)(3)(x+13)(x-2)(4)(.x-9)(x+3) (5)(m-5n)(m+n)(6)(a-b+4)(a-b+7) 5.(1)a.x3(x-2)(x-8)(2)a"(a+3b)(a-2b)(3)(x-3)(x+1)(x2-2.x+3) (4)(x-3)(x+3)(x2+2)(5)(2x-3)(3x+1)(6)(m-2)(x+y)(x-y)(7)(7a+7b +2)(u+b-1)(8)(x+5)(x-1)(x+3)(x+1) 6.等边三角形 7.(x-a+1)(x+a) 1.7等差与等比数列 2"-1 1.2 2.等比21-(-1)门 2b=a+c 3.提示：由等差数列和等比数列性质可知 ,代入消去b即可. b*=ac 4.m=100 5.解：(1)由a1=b1=3,a,=b2=12,设等差数列{a.}的公差为d,则a,=a1十3d=12,所 4 以d=3,所以am=3十3(n一1)=3n;设等比数列{bm}的公比为g,由题b2=b1q=12,所以g= 4,所以bn=3×4-1;(2)am十bm=3n十3×4"-1，所以{a。十bm}的前n项和为S.=(a1十a2十 …+a.)+(h,+b+…+6.)=(3+6+…+3m)+31+4+16+…+4-)=3+3m)m+3× 2 (1-4")3 1-4=2n(n+1)+4"-1. 第2章 方程、不等式与函数 2.1一元二次方程 2.1.1一元二次方程根的判别式 1.(1)① (2)士2√2 (8k≤号 (4)10(5)k<1 2.(1)C(2)A 3.分两种情况讨论：①)当m=0时x=号：(2)当m≠0时，△=m十>0，所以方程必有 实根. 4.(1)证明：，a=m,b=-(m+2),c=2,.△=b2-4ac=(m+2)2-8m=m2+4m+4 一8m=m2一4m十4=(m一2)2≥0，∴.方程总有两个实数根. (2)解：方法1（公式法）：x=-b±V6-4e_m十2士/(m-2)_m+2士(m-2) 2a 2m 2m 六x1-m十2十m=2-1,-m十2m十2_2：方程的两个实数根都是整数.：二是整数。 21m 2m .m=士1或m=士2，又，m是正整数，∴.m=1或m=2. 方法2（因式分解法）：，mx2一(m十2)x十2=0，∴.(x一1)(m.x一2)=0，.x一1=0或 mx一2=0，=1，，=2：方程的两个实数根都是整数， .2是整数m=士1或m=士2.又：m是正整数，m=1或m=2. 5.解：(1)，关于x的方程x2一2mx十m2十m一2=0有两个不相等的实数根，∴.△= (一2m)2一4(m2十m一2)>0.解得m<2:(2)由(1)知，m<2.又m为正整数，.m=1,将m= 1代入原方程，得x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2. 5