1.6 因式分解-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

3.1 4.(1)-2a-2 +2+$ ##2)### a-b 5.2702 6.289 2nn 7.解:(1)n+3n} (2)(2+③): (3).a是216的立方根,b是16的平方根. '$=6,=4. +b2=6+42=($2士2)-2+ 1.6 因式分解 1.B 2.(1)(x+2)(x十4) (2)(2a-b)(4a?+2ab+b) )(3)(x-1-②)(x-1+②) (4)(2-y)(2x-y+2) 3.(1)x(x+y)(y-xy十x)(2)x”(x-y)(x2+xy+y②) (3)a(m十n-b)(n十 n)+b(m+n)+b2(4)2(x-1)(x-4x+3x{}+2x+1) 4.(1)(x-2)(x-1)(2)(x+36)(x十1) (3)(x十13)(x-2) (4)(x-9)(x十3) (5)(m-5n)(n+n) (6)(a-b+4)(a-b+7) 5.(1)ax(x-2)(x-8)(2)a”(a+3b)(a-2b) (3)(x-3)(x+1)(x?-2x+3) (4)(x-3)(x+3)(x+2)(5)(2x-3)(3x十1) (6)(m-2)(x+y)(x-y) (7)(7a+7b +2)(a+b-1)(8)(x+5)(x-1)(x+3)(x+1) 6.等边三角形 7.(x-a十1)(x十a) 1.7 等差与等比数列 1.1 2.等比 2-a十c 3.提示:由等差数列和等比数列性质可知 ,代入消去即可 E62-ac 4.n-100 $.解:(1)由a=b.-3,a=b。=12,设等差数列a。的公差为d,则a=a+3d=12,所第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.6 因式分解 1.公式法(立方和、立方差公式) 前面我们已经学习了乘法公式中的立方 和、立方差公式: (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和 公式) (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差 公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆 变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 这就是说,两个数的立方和(差),等于这 两个数的和(差)乘它们的平方和与它们积的 差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或 立方差的多项式进行因式分解. 2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分 解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于 四项以上的多项式,如ma+mb+na+nb 既 没有公式可用,也没有公因式可以提取.因 此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组 来因式分解的方法叫作分组分解法.分组分 解法的关键在于如何分组. 【例1】 用立方和或立方差公式分解下列各 多项式: (1)8+x3 (2)0.125-27b3 【分析】 (1)中,8=23;(2)中,0.125=0.53, 27b3=(3b)3. 【解】 (1)8+x3=23+x3=(2+x)(4-2x+ x2) (2)0.125-27b3=0.53-(3b)3=(0.5- 3b)[0.52+0.5×3b+(3b)2]=(0.5-3b) (0.25+1.5b+9b2) 【说明】 (1)在运用立方和(差)公式分解因式 时,经 常 要 逆 用 幂 的 运 算 法 则,如8a3b3= (2ab)3,这里逆用了法则(ab)n=anbn;(2)在 运用立方和(差)公式分解因式时,一定要看准 因式中各项的符号. 【例2】 把2ax-10ay+5by-bx 分解因式. 【分析】 把多项式的四项按前两项与后两项 分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然 后从两组分别提出公因式2a 与-b,这时另 一个因式正好都是x-5y,这样可以继续提取 公因式. 【解】 2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)- b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 【说明】 用分组分解法,一定要想想分组后能 否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方 法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为 一组,同学们不妨一试. 【例3】 把ab(c2-d2)-(a2-b2)cd 分解 因式. 【分析】 按照原先分组方式,无公因式可提, 需要把 括 号 打 开 后 重 新 分 组,然 后 再 分 解 因式. 【解】 ab(c2-d2)-(a2-b2)cd=abc2-abd2 -a2cd+b2cd=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2) =ac(bc-ad)+bd(bc-ad)=(bc-ad)(ac+ bd) 91 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 【说明】 由例2、例3可以看出,分组时运用 了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加 法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了乘 法分配律.由此可以看出运算律在因式分解 中所起的作用. 【例4】 把下列关于x 的二次多项式分解因 式:(1)x2+2x-1;(2)x2+4xy-4y2. 【解】 (1)令x2+2x-1=0,则解得x1=-1 + 2,x2=-1- 2, ∴x2+2x-1=[x-(-1+2)][x-(-1 -2)]=(x+1-2)(x+1+2). (2)令x2+4xy-4y2=0,则解得x1= (-2+22)y,x2=(-2-22)y, ∴x2+4xy-4y2=[x+2(1- 2)y][x +2(1+ 2)y]. 1.多项式2x2-xy-15y2 的一个因式为 ( ) A.2x-5y B.x-3y C.x+3y D.x-5y 2.分解因式: (1)x2+6x+8 (2)8a3-b3 (3)x2-2x-1 (4)4(x-y+1)+y(y-2x) 3.把下列各式分解因式: (1)xy3+x4 (2)xn+3-xny3 (3)a2(m+n)3-a2b3 (4)y2(x2-2x)3+y2 4.把下列各式分解因式: (1)x2-3x+2 02 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 (2)x2+37x+36 (3)x2+11x-26 (4)x2-6x-27 (5)m2-4mn-5n2 (6)(a-b)2+11(a-b)+28 5.把下列各式分解因式: (1)ax5-10ax4+16ax3 (2)an+2+an+1b-6anb2 (3)(x2-2x)2-9 (4)x4-7x2-18 (5)6x2-7x-3 (6)x2(m-2)+y2(2-m) (7)7(a+b)2-5(a+b)-2 (8)(x2+4x)2-2(x2+4x)-15 6.△ABC 三边a,b,c满足a2+b2+c2= ab+bc+ca,试判定△ABC 的形状. 7.分解因式:x2+x-(a2-a). 12