1.5 二次根式-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.5 二次根式 一般地,形如 a(a≥0)的代数式叫作二 次根式.根号下含有字母且不能够开得尽方 的式子称为无理式.例如3a+ a2+b+2b, a2+b2等是无理式,而 2x2+ 2 2x+1 ,x2+ 2xy+y2,a2等是有理式. 1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫作分母(子) 有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入 有理化因式的概念.两个含有二次根式的代 数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我 们就说这两个代数式互为有理化因式,例如 2与 2,3a与a,3+ 6与 3- 6,23- 32与2 3+3 2等.一般地,a x 与 x, a x+by与a x-by,a x+b与a x-b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘分 母的有理化因式,化去分母中的根号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘分子的有 理化因式,化去分子中的根号的过程. 在二次根式的化简与运算过程中,二次根 式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运 用公式 a· b= ab(a≥0,b≥0);而对于 二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然 后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减 法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上 去括号与合并同类二次根式. 2.二次根式 a2的意义 a2=|a|= a,a≥0 -a,a<0{ . 【例1】 化简下列各式: (1)(3-2)2+ (3-1)2 (2)(1-x)2+ (2-x)2(x≥1) 【解】 (1)原式=|3-2|+|3-1|=2- 3 + 3-1=1 (2)原式=|x-1|+|x-2|= (x-1)+(x-2)=2x-3(x>2) (x-1)-(x-2)=1(1≤x≤2){ 【说明】 请注意性质 a2=|a|的使用:当化 去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母 的取值分类讨论. 【例2】 计算(没有特殊说明,本节中出现的 字母均为正数): (1) 3 2+ 3 ;(2) 1 a+ 1 b ;(3)2 x 2- x 3 + 8x. 【解】 (1)原 式 = 3(2- 3) (2+ 3)(2- 3) = 3(2- 3) 22-3 =6-33 (2)原式= a+b ab = a2b+ab2 ab (3)原 式 =2 2x 2×2 - x ·x2 + 2×22x= 2x -x x +2 2x =3 2x - x x 61 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 【说明】 (1)二次根式的化简结果应满足: ①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被 开方数不含能开得尽方的因数或因式. (2)二次根式的化简常见类型有下列两 种:①被开方数是整数或整式.化简时,先将 它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或 因式开出来;②分母中有根式 ( 如 3 2+ 3 ) 或被 开方数有分母 ( 如 x 2 ) .这时可将其化为 a b 形式 ( 如 x 2 可化为 x 2 ),转化为“分母中有根 式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为 有理式,采取分子、分母同乘一个根式进行化 简 ( 如 3 2+3 化为 3(2-3) (2+3)(2-3) ,其中2+ 3 与2-3叫作互为有理化因式 ) . 【例3】 计算:3÷(3- 3). 【解 法 一】 3 ÷ (3- 3)= 3 3- 3 = 3·(3+ 3) (3- 3)(3+ 3) = 33+3 9-3 = 3(3+1) 6 = 3+1 2 【解 法 二】 3 ÷ (3- 3)= 3 3- 3 = 3 3(3-1) = 1 3-1 = 3+1 (3-1)(3+1) = 3+1 2 【例4】 试比较下列各组数的大小: (1)12- 11和 11- 10 (2) 2 6+4 和22- 6 【解】 (1)∵ 12- 11 = 12- 11 1 = (12- 11)(12+ 11) 12+ 11 = 1 12+ 11 , 11- 10 = 11- 10 1 = (11- 10)(11+ 10) 11+ 10 = 1 11+ 10 , 又 12+ 11> 11+ 10, ∴ 12- 11< 11- 10. (2)∵22- 6 = 22- 6 1 = (22- 6)(22+ 6) 22+ 6 = 2 22+ 6 , 又4>22, ∴ 6+4> 6+22, ∴ 2 6+4 <22- 6. 1.填空: (1) 1- 3 1+ 3 = ; (2) (5-x)(x-3)2=(x-3)5-x, 71 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 则x 的取值范围是 ; (3)4 24-6 54+3 96-2 150= ; (4)若 x = 5 2 ,则 x+1- x-1 x+1+ x-1 + x+1+ x-1 x+1- x-1 = . 2.等式 x x-2= x x-2 成立的条件是 ( ) A.x≠2 B.x>0 C.x>2 D.0<x<2 3.若 b= a2-1+ 1-a2 a+1 ,求 a+b 的值. 4.计算: (1)(a+ b+1)(1- a+ b)-(a+ b)2 (2) a a- ab + a a+ ab 5.设x= 2+ 3 2- 3 ,y= 2- 3 2+ 3 ,求x3+y3 的值. 6.已知x= 3- 2 3+ 2 ,y= 3+ 2 3- 2 ,求3x2 -5xy+3y2 的值. 7.阅读材料:小明在学习二次根式后,发 现一些含根号的式子可以写成另一个式子的 平方,如:3+22=(1+ 2)2,善于思考的小 明进行了以下探索: 设a+b 2=(m+n 2)2(其中a,b,m, n 均为整数),则有a+b 2=m2+2n2+ 2mn 2. ∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找 到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式 的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列 问题: (1)当a,b,m,n 均为正整数时,若a+ b 3=(m+n 3)2,用含m,n 的式子分别表 示a,b,得a= ,b= . (2)试着把7+43化成一个完全平方式. (3)若a 是216的立方根,b是16的平方 根,试计算:a+b 2. 81 1.4分式 1.B 2.解：由已知a2-3a十1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a得a-3+1=0,a十】= 卫+1-1=k0 y 则3+7-1 =3② x y z ①-②X3+③×2得k=5:1+1-1=5. xy之 4.解：(1)由分母为x-1,可设2x2十3x十6=(x-1)(2.x十a)十b.因为(x-1)(2x十a)十b =2.x2+a.x-2.x-a+b=2x2+(a-2)x-a+b,所以2.x2+3.x十6=2x2+(a-2).x-a+b,因此 a-2=3 =5,所t以2x+3x+6_-x-1D2x+5)+1=2x+5+1 (a=5 有a+b=6 ,解得 b=11 x-1 x-1 -(2)由分母 为x+2,可设5.x2十9.x-3=(x+2)(5.x+a)十b,因为(x+2)(5.x+a)+b=5x2+a.x+10.x+2a 十b=5x2十(a+10)x+2a+b,所以5.x2+9x-3=5.x2+(a+10)x+2a+b,因此有 (a+10=9 a=-1 ,解得 2a+b=-3{b=-1 所以e+g3_+2》52》1-5x-1-+2所以5m x+2 x+2 11+1 n-6 1一x十2因此5m-1=5x-1,n-6=-x-2,所以m=x+2,m=一x十4，所 =5.x-1-1 以m2十n2十mn=x2一2.x+28=(x一1)2十27，因为(x一1)2≥0，所以(x一1)2十27≥27，所以 m2十n2十mn的最小值为27. 1.5二次根式 1.(1)W5-2(2)3≤x≤5(3)-8V6(4)5 2.C ·3· 3.1 4.(1)-2a-2ab+2Wb+1(2 2Ja a-b 5.2702 6.289 7.解：(1)m2+3n22mn (2)(2+√)2(3)：a是216的立方根，b是16的平方根， a=6,b=士4，Wa+b2=√6士42=√(2士√2)2=2士√2. 1.6因式分解 1.B 2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a-b)(4a+2ab+b2)(3)(x-1-√2)(x-1+2) (4)(2-y)(2.x-y+2) 3.(1)x(x+y)(y2-xy+x2)(2).x"(x-y)(x2+.xy+y2)(3)a2(m+n-b)[(m+ n)2+b(m+n)+b2](4)y2(x-1)2(.x4-4x3+3.x2+2.x+1) 4.(1)(x-2)(x-1)(2)(.x+36)(x+1)(3)(x+13)(x-2)(4)(.x-9)(x+3) (5)(m-5n)(m+n)(6)(a-b+4)(a-b+7) 5.(1)a.x3(x-2)(x-8)(2)a"(a+3b)(a-2b)(3)(x-3)(x+1)(x2-2.x+3) (4)(x-3)(x+3)(x2+2)(5)(2x-3)(3x+1)(6)(m-2)(x+y)(x-y)(7)(7a+7b +2)(u+b-1)(8)(x+5)(x-1)(x+3)(x+1) 6.等边三角形 7.(x-a+1)(x+a) 1.7等差与等比数列 2"-1 1.2 2.等比21-(-1)门 2b=a+c 3.提示：由等差数列和等比数列性质可知 ,代入消去b即可. b*=ac 4.m=100 5.解：(1)由a1=b1=3,a,=b2=12,设等差数列{a.}的公差为d,则a,=a1十3d=12,所 4