1.4 分式-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

1.4分式 1.B 2.解：由已知a2-3a十1=0知a≠0，将已知等式两边同除以a得a-3+1=0,a十】= 卫+1-1=k0 y 则3+7-1 =3② x y z ①-②X3+③×2得k=5:1+1-1=5. xy之 4.解：(1)由分母为x-1,可设2x2十3x十6=(x-1)(2.x十a)十b.因为(x-1)(2x十a)十b =2.x2+a.x-2.x-a+b=2x2+(a-2)x-a+b,所以2.x2+3.x十6=2x2+(a-2).x-a+b,因此 a-2=3 =5,所t以2x+3x+6_-x-1D2x+5)+1=2x+5+1 (a=5 有a+b=6 ,解得 b=11 x-1 x-1 -(2)由分母 为x+2,可设5.x2十9.x-3=(x+2)(5.x+a)十b,因为(x+2)(5.x+a)+b=5x2+a.x+10.x+2a 十b=5x2十(a+10)x+2a+b,所以5.x2+9x-3=5.x2+(a+10)x+2a+b,因此有 (a+10=9 a=-1 ,解得 2a+b=-3{b=-1 所以e+g3_+2》52》1-5x-1-+2所以5m x+2 x+2 11+1 n-6 1一x十2因此5m-1=5x-1,n-6=-x-2,所以m=x+2,m=一x十4，所 =5.x-1-1 以m2十n2十mn=x2一2.x+28=(x一1)2十27，因为(x一1)2≥0，所以(x一1)2十27≥27，所以 m2十n2十mn的最小值为27. 1.5二次根式 1.(1)W5-2(2)3≤x≤5(3)-8V6(4)5 2.C ·3·第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.4 分 式 1.分式的意义 形如A B 的式子,若B 中含有字母,且B≠ 0,则称 A B 为分式.当 M≠0时,分式 A B 具有下 列性质:A B= A×M B×M ;A B= A÷M B÷M . 上述性质被 称为分式的基本性质. 2.繁分式 像 a b c+d ,m+n+p 2m n+p 这样,分子或分母中又 含有分式的分式叫作繁分式. 【例 1】 若 分 式 2 2y2+3y+7 的 值 为1 4 ,则 1 4y2+6y-1 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.- 1 7 D. 1 5 【分析】 仔细观察发现,已知分式中的2y2+ 3y 与所求式中的4y2+6y 有联系,可以将所 给条件进行适当变形,就可得到4y2+6y,然 后整体代入即可求得所求式的值. 【解】 由已知 2 2y2+3y+7 = 1 4 得2y2+3y+ 7=8, 2y2+3y=1,4y2+6y=2, 所以 1 4y2+6y-1 = 1 2-1=1 ,故选A. 【说明】 本题所给条件是关于y 的二次方 程,目前我们还不会解,实际上,解出这个方程 较繁,而用整体代换则使解题过程更简捷. 【例2】 化简: x2+3x+9 x3-27 + 6x 9x-x3- x-1 6+2x. 【解 】 原 式 = x2+3x+9 (x-3)(x2+3x+9)+ 6x x(9-x2)- x-1 2(3+x) = 1 x-3- 6 (x+3)(x-3)- x-1 2(x+3) = 2(x+3)-12-(x-1)(x-3) 2(x+3)(x-3) = -(x-3)2 2(x+3)(x-3) = 3-x 2(x+3) 【说明】 (1)分式的乘除运算一般化为乘法进 行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解, 再进行约分化简;(2)分式的计算结果应是最 简分式或整式. 【例3】 设a,b,c,d 为正数,且 a b< c d. 求证: a b< a+c b+d< c d. 【分析】 我们如果用逆向思维从结论出发去 分析,把结论分成两个不等式,化简后可得已 知条件,可以得证,但有些麻烦.而已知和结 论中皆出现 a b 和 c d ,于是可以考虑设元化为整 式求解. 【证明】 设k1= a b ,k2= c d ,则由题设,得:k1 <k2,于是bk1<bk2,即bk1=a<bk2,且dk1 41 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 <dk2,即dk1<c=dk2,∴(b+d)k1<a+c <(b+d)k2,同时除以(b+d),得:k1< a+c b+d <k2,即 a b< a+c b+d< c d. 【说明】 这里引入两个参数k1,k2,将分式问 题化为整式问题,这是处理此类问题的一个重 要技巧. 【例 4】 化 简: 2a-b-c a2-ab-ac+bc + 2b-c-a b2-ab-bc+ac+ 2c-a-b c2-ac-bc+ab. 【分析】 2a-b-c a2-ab-ac+bc 的分母可以因式分 解为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a- b)+(a-c),其余两个分式可以作同样的处 理,因此可用以下方法求解. 【解 】 原 式 = (a-b)+(a-c) (a-b)(a-c) + (b-c)+(b-a) (b-c)(b-a) + (c-a)+(c-b) (c-a)(c-b) = 1 a-c + 1 a-b+ 1 b-a+ 1 b-c+ 1 c-b+ 1 c-a=0. 【说明】 此题采用的是“拆项相消”法.利用 的是 A+B AB = 1 A+ 1 B 的模式,其中因式分解的 作用是显而易见的. 1.若 2x-y x+y = 2 3 ,则x y = ( ) A.1 B. 5 4 C. 4 5 D. 6 5 2.已知a2-3a+1=0,求 a2 a4+1 的值. 3. 若 x,y,z 满 足 方 程 组 3 x+ 7 y- 1 z=3 4 x+ 10 y- 1 z=2 ì î í ï ï ï ï ïï ,求1 x+ 1 y - 1 z 的值. 4.(1)请将分式 2x2+3x+6 x-1 拆分成一个 整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的 形式. (2)若分式 5x2+9x-3 x+2 拆分成一个整式 与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为: 5m-11+ 1 n-6 ,求m2+n2+mn 的最小值. 51