1.3 十字相乘法-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.3 十字相乘法 对于首项系数是1的二次三项式的十字 相乘法,重点是运用公式x2+(a+b)x+ab =(x+a)(x+b)进行因式分解.掌握这种方 法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数 项分解成两个 数 的 积,且 其 和 等 于 一 次 项 系数. 对于二次三项式ax2+bx+c(a,b,c 都 是整数,且a≠0)来说,如果存在四个整数a1, c1,a2,c2 满足a1a2=a,c1c2=c,并且a1c2+ a2c1=b,那么二次三项式ax2+bx+c 即 a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2 可以分解为 (a1x+c1)(a2x+c2).这里要确定四个常数 a1,c1,a2,c2,分析和尝试都要比首项系数是1 的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的 办法来确定. 我们发现,二次项系数a 分解成a1a2,常 数项c 分 解 成c1c2,把 a1,a2,c1,c2 写 成 a1 a2× c1 c2 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得 到a1c2+a2c1,如果它正好等于ax2+bx+c 的一次项系数b,那么ax2+bx+c 就可以分 解成(a1x+c1)(a2x+c2),其中a1,c1 位于上 一行,a2,c2 位于下一行. 这种借助画十字交叉线分解系数,从而将 二次三项式分 解 因 式 的 方 法,叫 作 十 字 相 乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种 可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例1】 分解因式:(1)x2-3x+2;(2)x2+ 4x-12;(3)x2-(a+b)xy+aby2;(4)xy-1 +x-y. 【解】 (1)如图1,将二次项x2分解成图中的 两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和 为-3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以, 有x2-3x+2=(x-1)(x-2). (2)由图3,得x2+4x-12=(x-2)(x+ 6). (3)由图4,得x2-(a+b)xy+aby2= (x-ay)(x-by). (4)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1= (x-1)(y+1)(如图5所示). x -1 x -2 图1 1 -1 1 -2 图2 x -2 x 6 图3 x -ay x -by 图4 x -1 y 1 图5 【说明】 今后在分解与本例类似的二次三项式 时,可以直接将图1中的两个x 用1来表示(如 图2所示). 【例2】 把下列各式因式分解: (1)x2+5x-24 (2)x2-2x-15 【解】 (1)∵-24=(-3)×8,(-3)+8=5 ∴x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)= (x-3)(x+8) 11 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 (2)∵-15=(-5)×3,(-5)+3=-2 ∴x2-2x-15=[x+(-5)](x+3)= (x-5)(x+3) 【说明】 由此例可以看出,常数项为负数时, 应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的 因数与一次项系数的符号相同. 【例3】 把下列各式因式分解: (1)x2+xy-6y2 (2)(x2+x)2-8(x2+x)+12 【分析】 (1)把x2+xy-6y2 看成x 的二次 三项式,这时常数项是-6y2,一次项系数是 y,把-6y2 分解成3y 与-2y 的积,而3y+ (-2y)=y,正好是一次项系数. (2)由换元思想,只要把x2+x 整体看作 一个字母a,可不必写出,只当作分解二次三 项式a2-8a+12. 【解】 (1)x2+xy-6y2=x2+yx-6y2= (x+3y)(x-2y) (2)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x -6)(x2+x-2)=(x+3)(x-2)(x+2)(x -1) 【例4】 把下列各式因式分解: (1)12x2-5x-2 (2)5x2+6xy-8y2 【解】 (1)12x2-5x-2=(3x-2)(4x+1) 3 -2 4 1 (2)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y) 1 2y 5 -4y 【说明】 用十字相乘法分解二次三项式很重 要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解 时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相 乘后,若原常数为负数,用减法“凑”,看是否符 合一次项系数,否则用加法“凑”,先“凑”绝对 值,然后调整,添加正、负号. 【例5】 已知x2-11x+24>0,求x 的取值 范围. 【分析】 本题为二次不等式,可以应用因式分 解化二次为一次,即可求解. 【解】 ∵x2-11x+24>0 ∴(x-3)(x-8)>0 ∴ x-3>0 x-8>0{ 或 x-3<0 x-8<0{ ∴x>8或x<3 【例6】 如果x4-x3+mx2-2mx-2能分 解成两个整数系数的二次因式的积,试求 m 的值,并把这个多项式分解因式. 【分析】 应当把x4 分成x2·x2,而对于常数 项-2,可能分解成(-1)×2,或者分解成 (-2)×1,由此分为两种情况进行讨论. 【解】 (1)设原式分解为(x2+ax-1)(x2+ bx+2),其中a,b为整数,去括号,得:x4+(a +b)x3+(ab+1)x2+(2a-b)x-2 将它与 原 式 的 各 项 系 数 进 行 对 比,得: a+b=-1,m=ab+1,2a-b=-2m 解得:a=-1,b=0,m=1 此时,原式=(x2+2)(x2-x-1) (2)设原式分解为(x2+cx-2)(x2+dx +1),其中c,d 为整数,去括号,得:x4+(c+ d)x3+(cd-1)x2+(c-2d)x-2 将它与原式的各项系数进行对比,得: c+d=-1,m=cd-1,c-2d=-2m 解得:c=0,d=-1,m=-1 此时,原式=(x2-2)(x2-x+1) 1.在多项式(1)x2+7x+6,(2)x2+4x +3,(3)x2+6x+8,(4)x2+7x+10,(5)x2 +15x+44中,有相同因式的是 ( ) 21 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 A.只有(1)(2) B.只有(3)(4) C.只有(3)(5) D.(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5) 2.分解因式a2+8ab-33b2 得 ( ) A.(a+11)(a-3) B.(a+11b)(a-3b) C.(a-11b)(a-3b) D.(a-11b)(a+3b) 3.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得 ( ) A.(a+b+10)(a+b-2) B.(a+b+5)(a+b-4) C.(a+b+2)(a+b-10) D.(a+b+4)(a+b-5) 4.若多项式x2-3x+a 可分解为(x- 5)(x-b),则a,b的值是 ( ) A.a=10,b=2 B.a=10,b=-2 C.a=-10,b=-2 D.a=-10,b=2 5.若x2+mx-10=(x+a)(x+b),其 中a,b为整数,则m 的值为 ( ) A.3或9 B.±3 C.9 D.±3或±9 6.在多项式x+1,x+2,x+3,x2+2x -3,x2+2x-1,x2+2x+3中,哪些是多项 式(x2+2x)4-10(x2+2x)2+9的因式? 7.已知多项式2x3-x2-13x+k有一个 因式2x+1,求k的值,并把原式分解因式. 8.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y -4. 9.阅读下列材料: 材料1 将一个形如x2+px+q 的二次 三项式因式分解时,如果能满足q=mn 且 p=m+n,则可以把x2+px+q 因式分解成 (x+m)(x+n). (1)x2+4x+3=(x+1)(x+3) (2)x2-4x-12=(x-6)(x+2) 材料2 因式分解:(x+y)2+2(x+y) +1. 解:将“x+y”看成一个整体,令x+y= A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2 再将“A”还原,得:原式=(x+y+1)2 上述解题过程用到“整体思想”,整体思想 是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答 下列问题: (1)根据材料1,把x2-6x+8分解因式. (2)结合材料1和材料2,完成下面题目: ①分解因式:(x-y)2+4(x-y)+3; ②分解因式:m(m+2)(m2+2m-2) -3. 31 或{-1=0$ *=2 以可能有的结果是 ,解得 或 -1-0- -1=0 -1-士1 =1*× =1× -1 =1 /(2-1 ,所以x十y-1或2或3. (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为:(1十a)(1十b)=1十a十b十ab (1)·(1+)-1十+(a)+(“):(1十)(1+)-1^+a十△a△;,(“)-一 5.(1)(x②+2y+2xy)(x*+2y?-2xy) (2)(x十b)(x-2a-b) 1.3 十字相乘法 1. D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.解;.(*+2x)-10(x+2x)+9=[(+2)}-9][(+2x)2-1]=(+2+ 3)(x*+2x-3)(x*+2x+1)(x}+2x-1)=(x*+2x+3)(x+3)(x-1)(x+1)(x*+2 1). '其中x+1,x+3,x}+2x+3,x+2x-1是多项式(x}+2x)-10(x+2x)}+9 因式. 7.解:设2x-x2-13x+k-(2x+1)(x*}+ax+b),则2x-x2-13x+k=2x+(2a+$ [2a十1--1 a--1 1)x+(a+2b)x+b,.a+2b=-13,解得:b=-6,'k--6,且2x3-r2-13x-6=(2x+ - --6 1)(r-x-6)-(2x十1)(x-3)(x+2). 8.解:设3x2+5.xy-2y+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x{}+5.xy-2y+(m+ [n十3n-1 (7-4 3n)x十(2m一n)y十mn.比较同类项系数,得:2n一n-9,解得: ..3x2+5.xy-2y2+x --1 77--4 +9y-4-(3x-y+4)(x十2y-1). 9.解:(1)x2-6x+8-(x-2)(x-4); (2)①令A=x-y,则原式-A+4A+3=(A十1)(A+3),所以(x-y)2十4(x-y)+3= ($-y+1)(x-y+3);②令B-m*}+2m,则原式=B(B-2)-3-B-2B-3-(B+1)(B$ 3).所以原式=(m+2m+1)(m{2+2n-3)=(n+1)}(m-1)(m+3)