1.2 乘法公式-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 1.2 乘法公式 我们在初中已经学习过了下面一些乘法 公式: (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 我们还可以通过证明得到下面一些乘法 公式: (1)立方和公式 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (2)立方差公式 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (3)三数和平方公式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ ac) (4)两数和立方公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (5)两数差立方公式 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可 以自己去证明. 【例1】 已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求 a2+b2+c2 的值. 【解】 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc +ac)=8. 【例2】 计算:(x2- 2x+ 1 3) 2 . 【解】 原式= x2+(- 2x)+ 1 3 é ë ê ê ù û ú ú 2 =(x2)2+(-2x)2+ ( 1 3) 2 +2x2(-2x) +2x2× 1 3+2× 1 3× (-2x) =x4-22x3+ 8 3x 2- 22 3x+ 1 9 【说明】 多项式乘法的结果一般是按某个字 母的降幂或升幂排列. 【例3】 计算: (1)(4+m)(16-4m+m2) (2)( 1 5m- 1 2n) ( 1 25m 2+ 1 10mn+ 1 4n 2 ) (3)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16) (4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2 【解】 (1)原式=43+m3=64+m3 (2)原式= ( 1 5m ) 3 - ( 1 2n ) 3 = 1 125m 3- 1 8n 3 (3)原 式=(a2-4)(a4+4a2+42)= (a2)3-43=a6-64 (4)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2= [(x+y)(x2-xy+y2)]2=(x3+y3)2= x6+2x3y3+y6 【说明】 (1)在进行代数式的乘法、除法运算 时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的 结构. (2)为了更好地使用乘法公式,记住1,2, 3,4,…,20的平方数和1,2,3,4,…,10的立 方数是非常有好处的. 【例4】 已知x2-3x+1=0,求x3+ 1 x3 的值. 【解】 ∵x2-3x+1=0,x≠0, 8 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 ∴x+ 1 x=3. ∴x3+ 1 x3= (x+ 1 x ) (x 2-1+ 1 x2 ) = (x+ 1 x ) (x+ 1 x ) 2 -3 é ë ê ê ù û ú ú=3×(3 2-3)=18. 【说明】 本题若先从方程x2-3x+1=0中 解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较 繁琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用 整体代换的方法计算,简化了计算,请注意整 体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的 解题策略,根据“题求”利用“题知”,是明智 之举. 【例5】 已知a+b+c=0,求a ( 1 b+ 1 c )+ b( 1 c+ 1 a )+c( 1 a+ 1 b ) 的值. 【解】 ∵a+b+c=0, ∴a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b, ∴原式=a· b+c bc +b ·a+c ac +c ·a+b ab = a(-a) bc + b(-b) ac + c(-c) ab =- a3+b3+c3 abc ① ∵a3+b3=(a+b)[(a+b)2-3ab]= -c(c2-3ab)=-c3+3abc, ∴a3+b3+c3=3abc②, 把②代入①得原式=- 3abc abc=-3. 【说明】 注意字母整体代换技巧的应用. 1.填空: (1) 1 9a 2- 1 4b 2= ( 1 2b+ 1 3a) ( ); (2)(4m+ )2=16m2+4m+( ); (3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+( ). 2.选择题: (1)若x2+ 1 2mx+k 是一个完全平方式, 则k等于 ( ) A.m2 B. 1 4m 2 C. 1 3m 2 D. 1 16m 2 (2)不论a,b为何实数,a2+b2-2a-4b+8 的值 ( ) A.总是正数 B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数 (3)若x 是不为0的有理数,已知 M= (x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+ 1)(x2-x+1),则 M 与N 的大小关系是 ( ) A.M >N B.M<N C.M=N D.无法确定 3.计算: (1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 (2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345 ×0.3452 9 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 4.(1)已知x,y 满足x2+y2+ 5 4=2x+ y,求代数式 xy x+y 的值. (2)整数x,y 满足不等式x2+y2+1≤ 2x+2y,求x+y 的值. (3)同一价格的一种商品在三个商场都进 行了两次价格调整. 甲商场:第一次提价的百分率为a,第二 次提价的百分率为b(a≠b); 乙商场:两次提价的百分率都是a+b 2 (a >0,b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二 次提价的百分率为a. 哪个商场提价最多? 说明理由. 5.请看下面的问题:把x4+4分解因式. 分析:这个二项式既无公因式可提,也不 能直接利用公式,怎么办呢? 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了 该式只有两项,而且属于平方和[(x2)2+22] 的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即 将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4 -4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2 =(x2+2x+2)(x2-2x+2) 人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法, 就把它叫作“热门定理”,请你依照苏菲·热门 的做法,将下列各式因式分解. (1)x4+4y4. (2)x2-2ax-b2-2ab. 01 null