1.1 绝对值-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

暑假大串联初升高衔接教材数学 参芳答案 第二部分数学基础知识 第1章数与式 1.1绝对值 1.(1)士5士4(2)士4-1或3 2.C 3当5<<时：原式=-18当≥时，原式=8- 4.解：由绝对值的几何意义知，a一2011|十a一2012表示数轴上的一点到表示数2011 和2012两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2011~2012之间（包括这两个端点）取值， 故a一2011+|a一2012的最小值为1. 5.解：(1)6 (2)当x-4=0或x十2=0时，x=4或x=一2；当x<-2时，一(x-4)一(x十2)=6， -x十4-x-2=6,x=一2（不符合题意）；当-2<x<4时，-(x-4)+(x十2)=6，-x十4十 x+2=6,6=6,∴x=-1,0,1,2,3;当x>4时，(x-4)十(x+2)=6,x-4+x+2=6,2.x= 8,故x=4(不符合题意).综上所述，符合条件的整数x有：一2，一1,0,1,2,3,4. (3)由(2)的探索猜想，对于任何有理数x,|x一3十x一6有最小值，为3. 6.(1)35(2)2或-4(3)82(4)6 1.2 乘法公式 1.(2号 (3)4ab-2ac-4bc 2.(1)D(2)A(3)B 3.解：(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(7+1)(78+1)+1=76 (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x8-x(x-1)2=-x=-1.345 4解：1油已知得（红一1+(-）=0，得x=1y=号，所以原式-号 (2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1，且x,y为整数，(x-1)≥0，(y-1)≥0，所第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 第二部分 数学基础知识 第1章 数与式 在初中,我们已学习了实数,知道字母可 以表示数,用代数式也可以表示数,我们把实 数和代数式简称为数与式.代数式中有整式 (多项式、单项式)、分式、根式.它们具有实数 的属性,可以进行运算.在多项式的乘法运算 中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全 平方公式),并且知道乘法公式可以使多项式 的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更 复杂的多项式乘法运算,因此本章将拓展乘法 公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、 立方和、立方差公式.在根式的运算中,我们 已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的 情形,但在初中却没有涉及,因此本章中要补 充.基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有 关内容. 1.1 绝对值 1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是 它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的 绝对 值 仍 是 零.即|a|= a,a>0 0,a=0 -a,a<0 ì î í ï ï ï ï 或|a| = a(a≥0) -a(a<0){ . 2.绝对值的基本性质 ①非负性:|a|≥0;②|ab|=|a|·|b|; ③ ab = |a| |b| (b≠0);④|a|2=|a2|=a2; ⑤|a+b|≤|a|+|b|;⑥||a|-|b||≤|a- b|≤|a|+|b|. 3.绝对值的几何意义:一个数的绝对值, 是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数差的绝对值的几何意义:|a-b| 表示在数轴上,数a 和数b之间的距离. 【例1】 已知|a-1|+|b+2|=0,求a,b 的值. 【分析】 由绝对值的非负性知,|a-1|≥0, |b+2|≥0,所以只有当|a-1|和|b+2|都等 于0时,它们之和才等于零,否则,它们之和大 于零. 【解】 ∵|a-1|≥0,|b+2|≥0,又∵|a-1| +|b+2|=0, ∴|a-1|=0,|b+2|=0,∴a-1=0, b+2=0,∴a=1,b=-2. 【说明】 本题是对绝对值的非负性的考查,任 何数的绝对值都不可能是负数. 【例2】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的 两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数 轴上表示这两数的点位于原点同侧呢? 【分析】 从题目中寻找关键的解题信息,“数 5 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着 甲、乙两数符号相反,即一正一负.那么究竟谁 是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学 思想解决这一问题. 【解】 设甲数为x,乙数为y. 由题意得:|x|=3|y|, (1)数 轴 上 表 示 这 两 数 的 点 位 于 原 点 两侧: 若x 在 原 点 左 侧,y 在 原 点 右 侧,即 x<0,y>0,则4y=8,所以y=2,x=-6; 若x 在 原 点 右 侧,y 在 原 点 左 侧,即 x>0,y<0,则 -4y=8,所以y=-2,x=6. (2)数 轴 上 表 示 这 两 数 的 点 位 于 原 点 同侧: 若x,y 在原点左侧,即 x<0,y<0,则 -2y=8,所以y=-4,x=-12; 若x,y 在原点右侧,即 x>0,y>0,则 2y=8,所以y=4,x=12. 【例3】 已知|ab-2|与|a-1|互为相反数, 试求下式的值. 1 ab+ 1 (a+1)(b+1)+ 1 (a+2)(b+2)+ … + 1 (a+2007)(b+2007) 【解】 利用绝对值的非负性,我们可以得到: |ab-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2. 于是 1 ab+ 1 (a+1)(b+1)+ 1 (a+2)(b+2)+ …+ 1 (a+2007)(b+2007) = 1 2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 1 2008×2009 = 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 1 2008- 1 2009 =1- 1 2009 = 2008 2009 【说明】 在上述分数连加求和的过程中,我们采 用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学 们可以再深入思考,如果题目变成求 1 2×4+ 1 4×6 + 1 6×8+ …+ 1 2010×2012 的值,你有办法求解 吗? 有兴趣的同学可以在课后继续探究. 【例4】 a,b,c 三数在数轴上的位置如图所 示,化简式子:a a + b b + c c . 【分析】 观察数轴上a,b,c的位置知:a>0, b>0,c<0. 因此|a|=a,|b|=b,|c|=-c. 【解】 a a + b b + c c = a a+ b b+ -c c =1+1 -1=1 【说明】 本题考查数形结合的思想,根据图形 先得出a,b,c的正负性,从而得出与|a|,|b|, |c|的关系. 【例5】 你知道吗? 正式比赛用的排球是有 严格规定的.现在选出了五个球,超重的克数 记为正数,不足的克数记为负数,结果如下(单 位:g): +10 -15 +20 -20 -40 你能从中挑出一个质量最好的球吗? 【分析】 本题应该用绝对值的性质来解:|+10| =10,|+20|=20,|-15|=15,|-20|=20, |-40|=40.显然,只有表中克数为+10的球 最接近标准. 【解】 选第一只球,因为它最接近标准重量. 【说明】 把标准重量规定为0,超过标准重量 的数量记为正数,不足的数量记为负数.由有 理数的绝对值意义知,哪个数的绝对值越大, 6 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 说明那个数距原点(即标准重量)就越远;反 之,哪个数的绝对值越小,说明那个数距原点 (即标准重量)就越近. 1.填空: (1)若|x|=5,则x= ;若|x|= |-4|,则x= . (2)如果|a|+|b|=5,且a=-1,则b= ;若|1-c|=2,则c= . 2.已知数轴上A,B 两点分别表示有理 数-3,-6,若在数轴上找一点C,使得A 与 C 的距离为4;找一点D,使得B 与D 的距离 为1,则C 与D 的距离不可能为 ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 3.化简:|x-5|-|2x-13|(x>5). 4.已知a 是有理数,求|a-2011|+|a- 2012|的最小值. 5.同学们都知道,|4-(-2)|表示4与 -2的差的绝对值,实际上也可理解为4与-2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离;同理 |x-3|也可理解为x 与3两数在数轴上所对 应的两点之间的距离.试探索: (1)|4-(-2)|= . (2)找出所有符合条件的整数x,使|x-4| +|x+2|=6成立. (3)由以上探索猜想,对于任何有理数x, |x-3|+|x-6|是否有最小值? 如果有,写出最 小值;如果没有,说明理由. 6.结合数轴与绝对值的知识回答下列 问题: (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离 是 ;表示-3和2两点之间的距离是 .一般地,数轴上表示数m 和数n 两 点之间的距离等于|m-n|. (2)如果|x+1|=3,那么x= . (3)若|a-3|=2,|b+2|=1,且数a,b 在数轴上表示的数分别是点A,B,则A,B 两 点间的最大距离是 ,最小距离是 . (4)若数轴上表示数a 的点位于-4与2 之间,则|a+4|+|a-2|= . 7