第08讲 三角形中边的关系（2知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪科版

第08讲 三角形中边的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 了解三角形的概念，掌握分类思想； 2. 理解三角形的三边关系，经历探索三角形中的三条边之间的关系感受几何学中基本图形的内涵；会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题. 知识点 1 三角形的基础 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 2. 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若三个内角的比为2：5：3，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 5．（2024八年级上·全国·专题练习）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（   ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 知识点 2 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. . 1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知中，，，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25八年级上·吉林·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 考点一： 辨别三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期中）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 3．（2021七年级下·全国·专题练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 4．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 考点二： 三角形的分类 1．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．按边分类，这个三角形是 三角形． 50．（2025·上海普陀·三模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．斜边与直角边比为 6．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 考点三： 三角形的个数 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 4．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 5．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 考点四： 构成三角形的条件 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是 的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 5．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 考点五： 确定三角形第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知A是直线l上一点，点O在直线l的上方，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线l于另一点B．若，则的长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·上海·期中）小洪有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，罗列长度如下的几根木条，他应该选择长度为（    ）的木条 A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，经测量：，为了固定木架再钉一根木条，木条两端点恰好在点A和点C，则的长度可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 6．（24-25八年级上·广东汕头·期中）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒，如果第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？ 考点六： 确定三角形第三边的值 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（   ） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知的三边分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 考点七： 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是 ． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 3．（24-25八年级上·北京·期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 考点八： 由三角形的三边关系化简绝对值 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知分别是三边的长，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 考点九： 由三角形的三边关系进行证明 1．（17-18八年级下·福建·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 2．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 3．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 考点十：三角形的三边关系的应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是(   ) A． B． C．6或9 D．或 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，则池塘两岸间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（23-24八年级上·浙江舟山·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A．B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 11．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 13．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 14．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果a，b，c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 16．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 17．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 18．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 19．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形中边的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 了解三角形的概念，掌握分类思想； 2. 理解三角形的三边关系，经历探索三角形中的三条边之间的关系感受几何学中基本图形的内涵；会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题. 知识点 1 三角形的基础 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 【解读】 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示.在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； 2. 三角形的分类 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 3．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若三个内角的比为2：5：3，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】设三角形的三个内角分别是，，，根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形叫直角三角形． 【详解】解：设三角形的三个内角分别是，，， 根据三角形的内角和定理，得， 解得． ∴最大的内角为． ∴该三角形是直角三角形． 故选：C． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（   ） A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C．一个等边三角形一定是等腰三角形 D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，根据直角三角形、等腰三角形、等边三角形、钝角三角形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、直角三角形不一定是等腰三角形，等腰直角三角形一定是等腰三角形，故不符合题意； 、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是钝角三角形，故不符合题意； 、一个等边三角形一定是等腰三角形，故符合题意； 、一个等腰三角形一定不是钝角三角形，也可能是锐角三角形，故不符合题意； 故选C． 知识点 2 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c； a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c； |a-c|＜b；|b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据，也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. . 1．（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； B、由题意，设，则， ∵， ∴不能构成三角形，则此项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意； D、∵，， ∴， ∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）已知中，，，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：，， ，即， 故选：B． 4．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知三条线段的长分别是3，6，，若它们能构成三角形，则奇数的最大值是(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系得出，再从中找出最大的奇数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 为奇数， 奇数的最大值是， 故选：B． 5．（24-25八年级上·吉林·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和10，则该三角形的第三边的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时；当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为10时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为10，底边长为3时， ， 能组成三角形； 综上所述：第三边长是10， 故答案为：10． 考点一： 辨别三角形的相关概念 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期中）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确； ②三角形的两边之差小于第三边，故②错误； ③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误 ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确 ∴上述说法中正确的有2个. 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 3．（2021七年级下·全国·专题练习）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形． 【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 4．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）在中，边的对角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：如图， 在中，边的对角是， 故选：A． 5．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 6 / 【分析】本题考查了三角形的认识，涉及三角形的个数问题，三角形外角的定义及性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】图中三角形的个数为6个，分别是； 以为外角的三角形是； 在中，边的对角是； 在中，的对边是； 故答案为：6；；；． 考点二： 三角形的分类 1．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 4．（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．按边分类，这个三角形是 三角形． 【答案】 5 等腰 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握三角形的三边关系定理． 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题， 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ， 第三边长为奇数， ∴， ∴这个三角形是等腰三角形． 故答案为：5，等腰． 50．（2025·上海普陀·三模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．斜边与直角边比为 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是锐角三角形，也可是直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．斜边与直角边比为的是等腰直角三角形 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：三角形的另一个角的度数为， ∴这个三角形是等腰三角形， 故选：D． 考点三： 三角形的个数 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解． 【详解】解：以为边的三角形有， 所以有3个， 故选：C． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 4．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直线l外一点，连接，则共有 个三角形． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键．根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：图中有共10个三角形， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 考点四： 构成三角形的条件 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列长度的三条线段能首尾相接能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A、，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故选项此不符合题意； C、，能组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据题意先得出在4条线段中取3条共有四种情况，然后结合三角形的三边关系即可作出判断. 【详解】解：以长度分别为3，5，8，11的四条线段，取3条共有以下四种情况： 3，5，8；3，5，11；3，8，11；5，8，11； 其中能够组成三角形的只有5，8，11这一种情况； 所以可以组成三角形的组数是1； 故选：D. 3．（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解；如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选；C． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是 的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系，根据平行四边形的对角线互相平分，以及构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：当作为对角线时，，不符合题意； 当作为对角线时，，不符合题意； 当作为对角线时，，符合题意； 故选择长度是的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形． 故答案为：8． 5．（22-23八年级上·浙江金华·开学考试）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 个形状不同的三角形． 【答案】12 【分析】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 可把三角形的周长看作24，再根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边， 只能有12种答案，即① 2、11、11；② 3、10、11；③ 4、9、11；④ 4、10、10；⑤ 5、8、11；⑥ 5、9、10；⑦ 6、7、11；⑧ 6、8、10；⑨ 6、9、9；⑩ 7、7、10；⑪ 7、8、9；⑫ 8、8、8． 故答案为：12． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1)不能，理由见详解 (2)不能，理由见详解 (3)能，理由见详解 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （2）解：不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； （3）解：能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 考点五： 确定三角形第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知A是直线l上一点，点O在直线l的上方，以点O为圆心，长为半径画弧，交直线l于另一点B．若，则的长不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，连接，根据三角形的三边关系，得到，进行判断即可． 【详解】连接，由作图可知：， ∵， ∴， ∴的长不可能是8； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）小洪有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，罗列长度如下的几根木条，他应该选择长度为（    ）的木条 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出选择的木条的长度的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得选择的木条长度， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，经测量：，为了固定木架再钉一根木条，木条两端点恰好在点A和点C，则的长度可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形三边关系，根据三角形两边长确定第三边的范围即可做出判断． 【详解】解：由题意得：在中，， ，即， 在中，， ，即， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）已知三角形三边的长均为整数，且，如果，则符合条件的三角形共有 个． 【答案】21 【分析】本题考查三角形三边关系，要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算．根据题意，可取的值为1、2、3、…7，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数即可得答案． 【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…7， 根据三角形的三边关系，有， 当时，有，则值不存在， 当时，有，则，有1种情况， 当时，有，则，有2种情况， 当时，有，则，有3种情况， … 当时，有，则，有6种情况， 则符合条件的三角形共有． 故答案为：21． 6．（24-25八年级上·广东汕头·期中）小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为和的木棒，如果第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？ 【答案】小颖有5种选法．第三根木棒的长度可以是，，，， 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，再利用三角形的三边关系定理解决实际问题．已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；再结合偶数这一条件进行分析． 【详解】解：设第三根的长是． 根据三角形的三边关系，则． 因为是偶数，因而第三根的长度是大于且小于的所有偶数，共有5个数． 答：小颖有5种法．第三根木棒的长度可以是，，，，． 考点六： 确定三角形第三边的值 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，设三角形的第三边长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边得出，结合题意即可得解． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∵三角形两边长分别是3和5， ∴，即， ∵第三边长是偶数， ∴最短是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）已知一个三角形的两边长分别为3和9，若第三边长为偶数，则第三边长为（   ） A．7或9 B．9或11 C．6或8 D．8或10 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】解：设第三边为x， 则， 即， ∵第三边长为偶数， ∴第三边长是8或10． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）已知的三边分别为整数a，b，c，且满足，则的最大周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，非负数的性质，先由非负性的性质得到，则，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边确定c的取值范围，再根据c为整数求出c的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴c的最大值为4， ∴的最大周长为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， ∵x为偶数， ∴或， 当时，这个三角形的周长是：； 当时，这个三角形的周长是：； 综上，这个三角形的周长为或． 5．（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边．且，． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； （2）解：第三边为奇数，且， ， ， 是等腰三角形． 考点七： 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是 ． 【答案】29 【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①因为等腰三角形，当腰为12时，，，所以能构成三角形，周长是：． ②当腰为5时，，所以不能构成三角形；不满足三边关系，舍掉． 故答案为：29． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是 . 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为，底边长为时；当等腰三角形的腰长为，底边长为时，最后综上，即可解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 综上所述，等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、一元一次方程的应用，分三种情况，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若两腰长分别为和，则，解得， 腰长为， ∵等腰三角形的周长为13， 故此时不符合题意，舍去； ②若腰长为，底边长为，则，解得， ，，此时三角形三条边为，，，不满足三角形三边关系，故不符合题意，舍去； ③若底边长为，腰长为，则，解得， ，，此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为， 故答案为：． 考点八： 由三角形的三边关系化简绝对值 1．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的化简和三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三边关系得到的取值范围，再化简． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知分别是三边的长，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的化简，三角形三边数量关系的运用，理解三角形三边数量关系，掌握绝对值的化简是解题的关键．根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，，，结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵分别是三边的长， ，，， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知的三边长是，，。 (1)若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，，， ，即， 三角形的周长是小于16的偶数， 即， ； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． （3）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 考点九： 由三角形的三边关系进行证明 1．（17-18八年级下·福建·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的基本性质得出与平行且相等，再根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：由平移的性质知，与平行且相等，， ∵， ∴， 当B、D、E不共线时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 根据三角形的三边关系知， 即． 当D、B、E共线时，， 综上，． 2．（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 3．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 考点十：三角形的三边关系的应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是(   ) A． B． C．6或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案． 【详解】解：如果等腰三角形的腰长是， 等腰三角形的底边长， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是； 如果等腰三角形的底边长是， 等腰三角形的腰长， ，满足三角形三边关系， 等腰三角形的底边长是． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西抚州·期中）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，则池塘两岸间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设， ∵， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴，所以间的距离可能是， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山东德州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为，另外两边的长为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①若的边为底边，②若的边为腰．分别求出另外两边长，再根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形进行取舍． 【详解】解：①若的边为底边，则腰长为：， ， ∴此时能构成三角形， ∴另两边的长度分别是，； ②若的边为腰，则另一腰也为，则底边长为：， ，不满足三角形三边之间的关系，因此的边不能为腰． 综上，另两边的长度分别是，． 故答案为：，． 5．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 【详解】解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江舟山·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是直角，因此是直角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 4．（24-25八年级上·吉林·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 由三角形三边之间的关系可得，即，再结合各选项数据即可得出答案． 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得： ， 即：， ，之间的距离不可能是， 故选：． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 故选D． 8．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 10．（2024八年级上·全国·专题练习）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 11．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 13．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、 是三角形的三边长， ，， ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如果a，b，c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，首先根据三角形的三边关系判断点P的纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可． 【详解】解：∵a，b，c为一个三角形的三边， ∴，， ∴，， 则点在第二象限， 故答案为：二． 15．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，分两种情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去， 当腰长为时，则， 解得：， 此时三边长为，能构成三角形， 综上，， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F． (1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形． (2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角． (3)以线段AB为边的三角形有哪些？ (4)以为内角的三角形有哪些？ 【答案】(1)8； (2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是 (3)以线段为边的三角形有 (4)以为内角的三角形有 【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可； （2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可； （3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可； （4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可． 【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是： ． （2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是． （3）解：以线段为边的三角形有． （4）解：以为内角的三角形有． 17．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 18．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围． 【答案】(1)，或； (2)， 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）因为边长小于边长，所以取，； 当时，以a，m，n为三角形的三边长， 则边长a取值范围为． ∴． 19．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$