精品解析：江苏省盐城市七校联考2024-2025学年高二下学期第三次阶段测试（5月）数学试题

高二年级七校第三次阶段测试 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ） A. 3 B. -3 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：B 2. 已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值， 所以， 故选：D . 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算. 【详解】根据题意，抛物线，焦点， 双曲线的渐近线为， 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 故选：D. 4. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表： 夜晚天气 日落云里走 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 临界值表 P（） 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ） A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 C. 有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D. 出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨 【答案】D 【解析】 【分析】把频率看作概率，即可判断的正误；根据独立性检验可判断的正误，即得答案. 【详解】由题意，把频率看作概率可得： 夜晚下雨的概率约为，故正确； 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，故正确； 由，根据临界值表，可得有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故正确； 故错误. 故选：. 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题. 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】由中位数和极差的关系，求出的值，再由百分位数的规则求解第60百分位数. 【详解】这组数据一共8个数，中位数是，极差为， 所以，解得， 又，则第60百分位数是第5个数据9． 故选：C． 6. 现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D，E不相邻，则不同的排法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】确定球位置，再排其它球，根据分步乘法计数原理求出不同排法的总数. 【详解】因为球要排在正中间，所以球的位置是固定的，只有种排法.  剩下、两个红球，、两个白球，在A两侧四个位置全排列， 不同排法共有种，其中包含了、相邻的情况. 当、相邻时，、看成一个整体排在A的同侧，、在另一侧， 有种排法， 那么、不相邻的排法有种.  则满足题意的不同的排法有16种. 故选：C. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 29 B. 28 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出n的最小值. 【详解】由题意得数列的前n项依次为：个个个个 当时， 当时， 所以使成立的n的最小值为29. 故选：A. 8. 已知函数有两个零点，则实数a的最小整数值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为与有两个不同交点的问题，令，可求得单调递增且存在，使得；设，利用导数可求得单调性，结合复合函数单调性的判断方法可知的单调性，由此可作出的大致图象，采用数形结合的方式可确定的范围，由此可得结果. 【详解】由题意知：定义域为， 有两个零点，有两个不等实根， 当时，恒成立，不合题意，， 有两个解，即与有两个不同交点， 令，则，在上单调递增， 且存在，使得， 设，则定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 又当时，， 由复合函数单调性可知：在，上单调递增，在上单调递减， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 时，，， 由此可得的图象如下图所示， 由图象可知：若与有两个不同交点，则， 即实数的取值范围为， 所以实数a的最小整数值是. 故选： D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某产品的销售额Y与广告费用X之间的关系如表： X（单位：万元） 0 1 2 3 4 Y（单位：万元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. m的值是20 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到A正确；D选项，计算出，代入中，求出；B选项，计算出，故B正确；C选项，代入得到，销售额预计为74万元，C错误. 【详解】A选项，回归直线方程中，可知产品销售额与广告费用成正相关，故A正确； D选项，，， 代入，得，解得，故D正确； B选项，则，则该回归直线过点，故B正确； C选项，取，得，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误． 故选：ABD 10. 已知点P是棱长为2的正方体的底面ABCD上一个动点（含边界），若F是的中点，且满足PF//平面，设FP所在的平面与正方体表面的交线围成的截面为α则（ ） A B. FP长度的最小值是6 C. FP长度最大值是2 D. 与截面多边形各顶点所围成棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知作交线得出截面为正六边形，根据线面垂直判定和性质判断A，再建立直角坐标系计算求解模长即可判断B，C.再分析正六棱锥的外接球计算即可判断D. 【详解】如图，    因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于，前后平面交线平行于，左右平面交线平行于， 所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形， 因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面，则. 同理可证，. 因为截面的各边分别与，，平行，所以截面，故选项A正确. 以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    其中，分别是的中点， 则直线的方程为 因为满足平面，则设线段上的点， 点，则， 所以当时，；当时，．故选项B，C错误． 前面知道FP所在的平面与正方体表面的交线围成的截面为正六边形，根据正方体的性质，容易知道与截面多边形各顶点所围成棱锥为正六棱锥，且可以求出六边形边长为，侧棱长. 可以独立地拿出正六棱锥单独分析外接球，如图所示： 设M为正六边形的中心，则， 因为，所以. 因为正六棱锥..的外接球球心在上，设外接球半径为， 则在中，，解得. 所以外接球的表面积为. 故选：AD. 11. 抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设，，由重心的性质可得，进而，直线方程联立抛物线方程，利用根的判别式和韦达定理可得，，结合直线的横截距为以及一次函数、反比例函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，，故A，D选项不正确； 故B，C选项正确. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式和乘法公式列式计算得解. 【详解】由，得， 而，所以 故答案为： 13. 的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项式定理求出展开式中x系数，再结合二项式系数的性质求解. 【详解】的展开式中含x的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 14. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为_________；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率_________ 【答案】 ①. ②. -2 【解析】 【分析】根据渐近线可求离心率，根据离心率及过点得到双曲线方程，设直线的方程为，，联立得到，再利用可解得直线AB的斜率. 【详解】设双曲线方程为， 根据题意一条渐近线方程为，所以，即， ，即该双曲线的离心率为， 又经过，所以， 所以双曲线方程为， 设直线的方程为， ， ，解得或， ， ， ， 若，则，即， 此时直线过点，不符合题意， 所以. 故答案为：，-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设各项均为正数的数列满足 p，q为实数，其中为数列的前n项和. （1）若，，求数列的通项公式； （2）若数列为等差数列，求p，q的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用递推关系，由求，即可得出； （2）根据等差数列前项和和通项公式建立关系式得，利用系数对应相等求解. 【小问1详解】 令，得，所以， 则， 所以，两式相减， 得， 又，所以； 【小问2详解】 若数列为等差数列，设首项为，公差为， 且， 根据题意，，即， 则， 故，故或， 故或. 16. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱BC上，且二面角为，求PC与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证； （2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案. 【详解】（1）证明：以为，为的中点，所以，且，连接. 因为，所以为等腰直角三角形，且. 由得.由得平面. （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，. 取平面的一个法向量为.设，则.设平面的法向量为. 由，得可取，所以. 又，所以，解得（舍去）或， 所以，又， 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的余弦值为. 17. 甲、乙、丙三位同学商量期末统考结束后结伴在市区旅游，甲提议去大丰中华麋鹿园，乙提议去盐城丹顶鹤湿地生态公园，丙表示随意.最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜.三人均执行胜者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为X. （1）求的概率； （2）求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑甲或乙在前次中得分且第次得分的情况；（2）分别计算取不同值时的概率；最后根据分布列计算数学期望. 【小问1详解】 表示抛掷次硬币后有一人先得分. 若甲获胜，即前次中有次正面朝上，第次正面朝上，其概率为. 若乙获胜，即前次中有次反面朝上，第次反面朝上，其概率为. 所以. 【小问2详解】 根据题意. 时，若甲获胜，概率为；若乙获胜，概率为，所以.  时，已求得.  时，若甲获胜，即前次中有次正面朝上，第次正面朝上，概率为； 若乙获胜，即前次中有次反面朝上，第次反面朝上，概率为，所以.  时，若甲获胜，即前次中有次正面朝上，第次正面朝上，概率为； 若乙获胜，即前次中有次反面朝上，第次反面朝上，概率为， 所以. 则的分布列为： X 4 5 6 7 P 根据数学期望公式可得： . 18. 已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . （1）求曲线C的方程； （2）若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②经过定点，该定点为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. （2）①求出点的纵坐标，再利用给定数量积求出轨迹方程；②设出直线方程，与椭圆方程联立，结合已知求出点的坐标进而求出直线的方程即可得解. 【小问1详解】 依题意，曲线C是以点、为左右焦点，长轴长为的椭圆， 所以曲线C的方方程为. 【小问2详解】 ①直线方程为，由，得， 由，得点的轨迹是以线段为直径的圆，而为线段的中点， 所以动点Q的轨迹方程为. ②依题意，直线斜率存在且不为，设直线，， 由消去得， 则，， 由两点为直径端点作圆，圆心恰好在直线上，得中点在直线上， 则，整理得，直线方程为， 令，则，即，因此直线，即， 所以直线恒过定点. 19. 已知函数a>0且，. （1）若函数与在处有相同的切线，求实数b的值； （2）当，时，求证：； （3）当时，记，若存在，使得是自然对数的底数.），求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出两个函数得导数，根据相同切线，则有相同得斜率和根即可求得；（2）构造函数，求导根据单调性和最值即可比较大小；（3）对进行分类讨论，构造函数求导根据最值来说明. 【小问1详解】 函数 则， 因为函数与在处有相同的切线，则在有相同的函数值， 即，，解得. 【小问2详解】 当时，， 构造函数， ，当时，，当x≥0，， 则，所以在上单调递增，且，所以； 当时，，当，，， ，所以； 【小问3详解】 当时，， 求导得：，当时，，在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，， ，， 令，则，所以在上单调递增，，即，由， 可得， 令，，对求导得，， 所以在上单调递增， 又，所以； 当时，，在上单调递增，且， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，，， ，，令，求导得，所以在上单调递减，，即，由，可得，令，，对求导得，，所以在上单调递减，又，所以，综上，实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级七校第三次阶段测试 数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ） A. 3 B. -3 C. -2 D. 2 2. 已知两个正态分布和相应分布密度曲线如图，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表： 夜晚天气 日落云里走 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 临界值表 P（） 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ） A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为 C. 有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关 D. 出现“日落云里走”，有把握认为夜晚会下雨 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 9.5 6. 现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D，E不相邻，则不同的排法有（ ） A 8种 B. 12种 C. 16种 D. 32种 7. 已知数列通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 29 B. 28 C. 27 D. 30 8. 已知函数有两个零点，则实数a的最小整数值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某产品的销售额Y与广告费用X之间的关系如表： X（单位：万元） 0 1 2 3 4 Y（单位：万元） 10 15 m 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点 C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D. m的值是20 10. 已知点P是棱长为2的正方体的底面ABCD上一个动点（含边界），若F是的中点，且满足PF//平面，设FP所在的平面与正方体表面的交线围成的截面为α则（ ） A. B. FP长度的最小值是6 C. FP长度的最大值是2 D. 与截面多边形各顶点所围成棱锥的外接球的表面积为 11. 抛物线上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，，点G为三角形ABC的重心，则直线AB横截距的取值可能是（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 13. 的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为______. 14. 1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为_________；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设各项均为正数的数列满足 p，q为实数，其中为数列的前n项和. （1）若，，求数列的通项公式； （2）若数列为等差数列，求p，q的值. 16. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱BC上，且二面角为，求PC与平面所成角的余弦值. 17. 甲、乙、丙三位同学商量期末统考结束后结伴在市区旅游，甲提议去大丰中华麋鹿园，乙提议去盐城丹顶鹤湿地生态公园，丙表示随意.最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜.三人均执行胜者的提议.若记所需抛掷硬币的次数为X. （1）求的概率； （2）求X的分布列和数学期望. 18. 已知曲线C上任一点到两点、的距离之和为 . （1）求曲线C的方程； （2）若过点N作垂直于x轴的直线交曲线C于A，B两点. ①若，求动点Q的轨迹方程； ②以曲线C上D、E两点为直径端点作圆P，点P恰好在直线AB上，再过点P作DE的垂线l，则直线l 是否经过某定点，若经过，试求此定点，如不存在，请说明理由. 19. 已知函数a>0且，. （1）若函数与在处有相同的切线，求实数b的值； （2）当，时，求证：； （3）当时，记，若存在，使得是自然对数的底数.），求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $