（预习篇）第十一讲 有理数的混合运算（6个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第十一讲 有理数的混合运算 （6个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数的加减法 2 知识点02：有理数的乘法 3 知识点03：有理数的除法 3 知识点04：有理数的混合运算顺序 3 知识点05：有理数混合运算的应用 3 知识点06：高频易错知识点 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：程序流程图与有理数计算 4 考点讲练01：算”24”点 7 考点讲练03：含乘方的有理数混合运算 10 考点讲练04：计算器计算有理数的运算 14 优选题培优训练 16 基础夯实 巩固基础 16 培优提升 能力强化 22 知识目标 熟练掌握有理数的运算法则和运算律，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。 深入了解有理数的混合运算顺序，能够按照先乘除后加减、括号优先的原则进行运算。 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算，并能够合理运用运算律简化运算过程。 能力目标 培养学生的运算能力和思维逻辑能力，使学生能够准确、迅速地进行有理数的混合运算。 提升学生的解决实际问题的能力，使学生能够运用有理数的混合运算知识解决日常生活中的实际问题。 培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作解题等方式，提高学生的协作能力和沟通能力。 小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？ （1）6÷3×2；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （2）6÷；本题含有 种运算，还含有 ，应先算 ，再算 ； 比较（1）（2）的运算顺序，你能得到什么结论？ ________________________________________________________________________________ （3）17－8÷＋4×；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （4）32－50÷22×＋1；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； 然后再算 。 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？ 小学里，我们学过哪些运算律？ 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、 乘法结合律，乘法分配律． 这些运算律在有理数范围内依然成立 知识点01：有理数的加减法 同号数相加：绝对值相加，取相同的符号。 异号数相加：绝对值相减，取绝对值较大的数的符号。 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点02：有理数的乘法 乘法计算：两数相乘，绝对值相乘，符号根据两数符号的乘积决定。 乘法运算律：包括乘法交换律、乘法结合律。 知识点03：有理数的除法 除法计算：两数相除，绝对值相除，符号根据两数符号的相除决定。 分数除法可以转化为乘法：即分数的除法等于乘以除数的倒数。 知识点04：有理数的混合运算顺序 先乘除后加减：当有理数的混合运算包含加减乘除时，先进行乘除运算，再进行加减运算。 括号优先：如果有括号，先进行括号内的运算。 知识点05：有理数混合运算的应用 分数的混合运算：在分数的混合运算中，常常需要进行分数化简、约分等操作。 运算律的应用：合理地利用加法和乘法的运算律可以简化计算过程，如分配律和分配律的逆向使用。 知识点06：高频易错知识点 易错点01：运算顺序错误 乘除与加减混淆：学生容易在运算过程中混淆乘除和加减的优先级。正确的运算顺序是先乘除后加减，但在实际计算时，学生可能会先计算加减再计算乘除，导致结果错误。 括号使用不当：在有括号的混合运算中，学生可能会忽略括号内的运算优先级，或者在去括号时出错，导致整个计算过程出错。 易错点02：符号处理不当 负号处理错误：有理数运算中涉及到负数的加减乘除，学生在处理负号时容易出现错误。例如，在减去一个数时，学生可能会忘记变号，或者将负数与正数混淆。 乘方符号处理错误：对于负数的乘方运算，学生可能会忘记负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一规则，导致计算错误。 易错点03：概念理解不全面 倒数与相反数混淆：学生可能会将倒数和相反数的概念混淆，导致在运算过程中出现错误。例如，将互为倒数的两个数相乘得到的结果误认为是它们的相反数。 乘方与乘法混淆：学生可能会将乘方运算和乘法运算混淆，尤其是在处理含有乘方和乘法的混合运算时，容易出现错误。 易错点04：乱用运算律 滥用加法交换律和结合律：虽然加法交换律和结合律在有理数运算中适用，但学生在使用时可能会过度简化或错误地应用这些运算律，导致计算错误。 错误使用乘法分配律：乘法分配律是有理数运算中的一个重要定律，但学生在使用时可能会错误地将它应用于不满足条件的情况，如将分配律应用于除法运算等。 易错点05：错用乘方意义 乘方与乘法混淆：乘方表示的是几个相同的数相乘，而学生可能会错误地将乘方理解为乘法，导致计算错误。 底数与指数混淆：在乘方运算中，底数和指数的位置和意义是不同的。学生可能会将底数和指数混淆，导致计算错误。 考点讲练01：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【完整解答】解：， 故答案为：． 【训练1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【完整解答】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 【训练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【完整解答】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 【训练3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【完整解答】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14， 则 ， 即符合条件的数为． 考点讲练01：算”24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【完整解答】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【训练1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【完整解答】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【训练2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)在数轴上表示各数见解析， (2)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查绝对值的化简与有理数的运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键， （1）先把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可； （2）根据有理数混合运算，列式计算即可． 【完整解答】（1）解：， 如图， 由图可知，； （2）解：由题可得： ． 【训练3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 【答案】(1)35 (2) (3)，（算式不唯一） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的最值和写出所求的式子． （1）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字的乘积最大值； （2）根据题意和题目中的数字，可以得到2张卡片上数字相除的商的最小值； （3）本题方法不限，算对即可，注意必须是相同四个数字的不同算式得到结果是24． 【完整解答】（1）解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大， 则乘积的最大值是：． 故答案为：35； （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小， 则商的最小值是：． 故答案为：； （3）解：由题意可得：或． 考点讲练03：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【训练1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减即可； （2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加减即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照加减法运算法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，计算括号内的值，再算乘法，最后算加减即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【训练3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和法则是关键． （1）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可； （2）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可． 【完整解答】（1）解： （2） 考点讲练04：计算器计算有理数的运算 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数字变化规律，根据题意分别计算出第1，2，3，4，5，6步显示结果，从而得出数字的循环规律，再求解可得答案 【完整解答】解：由题意知第1步结果为， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为， 第5步结果为， 第6步计算结果为10， 运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环， ， 第2019步之后显示的结果为0.1，即． 故选：C． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序： 对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【完整解答】解：对应的算式是， 故选：D． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为则输出结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查计算器的基础知识，含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握分数的按键和乘方的按键，并依据其功能列出算式；根据计算器的顺序列出算式计算即可． 【完整解答】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为： ； 故选：D． 【训练3】（2024七年级上·浙江·专题练习）用计算器计算： （1） （精确到百分位）； （2） ； （3） （精确到0.1）． 【答案】 471.01 190.5 【思路引导】本题主要考查计算器的使用，解题的关键掌握不同科学计算器的使用方法及近似数的概念． （1）利用科学计算器计算即可得； （2）利用科学计算器计算即可得； （3）利用科学计算器计算即可得 【完整解答】解：（1）， 故答案为：471.01； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：190.5． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并列式计算是解题的关键．利用程序图中的程序列式计算即可． 【完整解答】解：输入x的值为1，则， 重新输入x的值为，则， ∴输出的y的值为11． 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列计算不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．根据有理数的运算法则，各式分别计算得出结果，即可作出判断． 【完整解答】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的混合运算．根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【完整解答】解： ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数字规律探究和有理数的混合运算的应用，理清题意，正确列出算式是解题关键．根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可． 【完整解答】解：有表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次， 由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的70次的基础上可得， ， 即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为． 故选：A 5．（24-25七年级上·广西河池·期末）将十进制数10转换为二进制数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了十进制数和二进制数的转换，一个二进制数（n个数字）从右边第二个数字起分别乘以，再求和后加上右边起第一位数字即可转换为对应的十进制数，据此求解即可． 【完整解答】解：∵， ∴将十进制数10转换为二进制数是， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算：，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【完整解答】解：∵， ∴， 故答案为：12． 7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【完整解答】解：二进制“”转换成十进制数表示的数为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【思路引导】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【完整解答】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 9．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82 (2)存在，2或6或 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①直接根据新定义进行运算即可；②直接根据新定义进行运算即可； （2）现根据新定义列式得出，再进行分类讨论求出m、n的值，进而计算即可． 【完整解答】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 11．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【完整解答】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 12．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【完整解答】解：（天）； 故选A． 13．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解． 本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【完整解答】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果，即，，，，，，，故③正确． 故选：D． 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据程序列式，然后进行计算即可． 【完整解答】解： ； 15．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ．（只填计算结果） 【答案】100 【思路引导】本题考查有理数的混合运算的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【完整解答】解： ， 即七进制数202转换为十进制数是100， 故答案为：100． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【完整解答】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 17．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数加减法从左到右依次计算即可． （2）把除法转化成乘法，然后约分计算即可． （3）先计算乘方运算，再计算乘除法，最后再计算加减法即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： （3）解： 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 【答案】（1）（2）；；（3） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用引例即可求解； （3）利用（2）中给定的解法解答即可； 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：； ， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得， ． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【思路引导】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【完整解答】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 20．（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【完整解答】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 21．（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4)； 【思路引导】本题考查新运算及有理数的混合运算， （1）根据二进制新定义直接列式计算即可得到答案； （2）根据八进制新定义直接列式计算即可得到答案； （3）根据二进制新定义满2进1计算即可得到答案； （4）根据新定义直接列式计算即可得到答案； 【完整解答】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：； （3）解：由题意可得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （4）解：由题意可得， ． 22．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 【答案】（1）1，；（2）C；（3）；（4）；（5） 【思路引导】本题考查的是新定义运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数的混合运算； （1）根据新定义的运算法则列式计算即可； （2）根据新定义的运算法则逐一分析每个选项即可； （3）按照新定义可得； （4）分别计算，，根据运算结果可得答案； （5）根据新定义的运算法则先转化为乘方运算，再按照有理数的运算法则与运算顺序计算即可. 【完整解答】解：（1）， ； （2）A.当时，，不符合题意， B.当时，，不符合题意； C.正数的n次商结果是正数是正确的，负数的偶次商结果一定是正数， ∴负数的n次商结果不一定是负数，符合题意； D.n次商等于它本身的数是1，正确，不符合题意； 故选：C （3）归纳：把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为： ， （4） ， ∴； （5） ． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲 有理数的混合运算 （6个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数的加减法 2 知识点02：有理数的乘法 3 知识点03：有理数的除法 3 知识点04：有理数的混合运算顺序 3 知识点05：有理数混合运算的应用 3 知识点06：高频易错知识点 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：程序流程图与有理数计算 4 考点讲练01：算”24”点 5 考点讲练03：含乘方的有理数混合运算 7 考点讲练04：计算器计算有理数的运算 8 优选题培优训练 9 基础夯实 巩固基础 9 培优提升 能力强化 12 知识目标 熟练掌握有理数的运算法则和运算律，包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等。 深入了解有理数的混合运算顺序，能够按照先乘除后加减、括号优先的原则进行运算。 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方等混合运算，并能够合理运用运算律简化运算过程。 能力目标 培养学生的运算能力和思维逻辑能力，使学生能够准确、迅速地进行有理数的混合运算。 提升学生的解决实际问题的能力，使学生能够运用有理数的混合运算知识解决日常生活中的实际问题。 培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、合作解题等方式，提高学生的协作能力和沟通能力。 小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？ （1）6÷3×2；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （2）6÷；本题含有 种运算，还含有 ，应先算 ，再算 ； 比较（1）（2）的运算顺序，你能得到什么结论？ ________________________________________________________________________________ （3）17－8÷＋4×；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； （4）32－50÷22×＋1；本题含有 种运算，应先算 ，再算 ； 然后再算 。 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？ 小学里，我们学过哪些运算律？ 先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算． 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、 乘法结合律，乘法分配律． 这些运算律在有理数范围内依然成立 知识点01：有理数的加减法 同号数相加：绝对值相加，取相同的符号。 异号数相加：绝对值相减，取绝对值较大的数的符号。 减法转化为加法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点02：有理数的乘法 乘法计算：两数相乘，绝对值相乘，符号根据两数符号的乘积决定。 乘法运算律：包括乘法交换律、乘法结合律。 知识点03：有理数的除法 除法计算：两数相除，绝对值相除，符号根据两数符号的相除决定。 分数除法可以转化为乘法：即分数的除法等于乘以除数的倒数。 知识点04：有理数的混合运算顺序 先乘除后加减：当有理数的混合运算包含加减乘除时，先进行乘除运算，再进行加减运算。 括号优先：如果有括号，先进行括号内的运算。 知识点05：有理数混合运算的应用 分数的混合运算：在分数的混合运算中，常常需要进行分数化简、约分等操作。 运算律的应用：合理地利用加法和乘法的运算律可以简化计算过程，如分配律和分配律的逆向使用。 知识点06：高频易错知识点 易错点01：运算顺序错误 乘除与加减混淆：学生容易在运算过程中混淆乘除和加减的优先级。正确的运算顺序是先乘除后加减，但在实际计算时，学生可能会先计算加减再计算乘除，导致结果错误。 括号使用不当：在有括号的混合运算中，学生可能会忽略括号内的运算优先级，或者在去括号时出错，导致整个计算过程出错。 易错点02：符号处理不当 负号处理错误：有理数运算中涉及到负数的加减乘除，学生在处理负号时容易出现错误。例如，在减去一个数时，学生可能会忘记变号，或者将负数与正数混淆。 乘方符号处理错误：对于负数的乘方运算，学生可能会忘记负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一规则，导致计算错误。 易错点03：概念理解不全面 倒数与相反数混淆：学生可能会将倒数和相反数的概念混淆，导致在运算过程中出现错误。例如，将互为倒数的两个数相乘得到的结果误认为是它们的相反数。 乘方与乘法混淆：学生可能会将乘方运算和乘法运算混淆，尤其是在处理含有乘方和乘法的混合运算时，容易出现错误。 易错点04：乱用运算律 滥用加法交换律和结合律：虽然加法交换律和结合律在有理数运算中适用，但学生在使用时可能会过度简化或错误地应用这些运算律，导致计算错误。 错误使用乘法分配律：乘法分配律是有理数运算中的一个重要定律，但学生在使用时可能会错误地将它应用于不满足条件的情况，如将分配律应用于除法运算等。 易错点05：错用乘方意义 乘方与乘法混淆：乘方表示的是几个相同的数相乘，而学生可能会错误地将乘方理解为乘法，导致计算错误。 底数与指数混淆：在乘方运算中，底数和指数的位置和意义是不同的。学生可能会将底数和指数混淆，导致计算错误。 考点讲练01：程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【训练1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【训练2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【训练3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 考点讲练01：算”24”点 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【训练1】（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【训练2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的混合运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【训练3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是______． (2)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是______． (3)若从中取出，，，1四张卡片，请写出两个不同的运算式，使它们的计算结果为24． 考点讲练03：含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【训练1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 【训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【训练3】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 考点讲练04：计算器计算有理数的运算 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序： 对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为则输出结果为（　　） A． B． C． D． 【训练3】（2024七年级上·浙江·专题练习）用计算器计算： （1） （精确到百分位）； （2） ； （3） （精确到0.1）． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列计算不正确的是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（℃） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广西河池·期末）将十进制数10转换为二进制数是 ． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算：，则 ． 7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 8．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 11．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 13．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法： ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是； ②不存在任何“加括号操作”的运算结果是； ③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）按照如图所示的计算程序图操作，当输入6时，输出的结果是 ． 15．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ．（只填计算结果） 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 17．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 初步探究 （1）直接写出结果：_________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： _________；_________； （3）计算：． 19．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 20．（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 21．（24-25七年级上·吉林·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统． 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说∶“ 逢几进一” 就是几进制，几进制的基数为几． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制是用这十个数来表示数，满十进一， 例∶， 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进． 例∶二进制转换为十进制数， 古代人在研究历法时，也曾经采用七进制、十二进制计数法，至今，我们仍然使用一星期7天，一年个月的方法． 例∶七进制是用 两个数来表示数，满七进一，七进制转换为十进制数． 其他进制也有类似的算法…，根据以上信息，解答下列问题． (1)求二进制转换为十进制数． (2)八进制转换为十进制数是 ． (3)若，则 ． (4)远古美索不达米亚人创造了一套进制为主的楔形文记数系统，对于大于的数，美索不达米亚人采用六十进制的位置记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如∶“ ”左边的Y表示；中间的YY表示；右边的表示3个单位，用十进制写出来是，则楔形文记数“ ”表示十进制的数为多少？（直接写出答案） 22．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）概念学习 规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的3次商”，写作，读作“的4次商”，一般地，把写作，读作“a的n次商”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：__________，__________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（    ）（只有一个正确答案） A．当时， B．当时， C．正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数 D．n次商等于它本身的数是1 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式 （3）归纳：请把有理数a的n次商，写成乘方（幂）的形式为：__________； （4）比较：__________；（填“＞”“＜”或“＝”） （5）计算：． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$