专题2.7 有理数的混合运算（6题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内）及运算律应用，承接有理数加、减、乘、除、乘方基础运算，为后续代数综合运算搭建从单一到复杂的学习支架。 该资料亮点在于题型设计多元，包含错题复原、程序流程图、算“24”点及新定义运算等，通过典例与变式训练强化运算顺序执行与符号处理，培养运算能力与推理意识。课中助力教师分层教学，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升数感与应用意识。

专题2.7 有理数的混合运算 教学目标 1. 掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的）。 2. 能正确、熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算。 3. 在运算中合理运用运算律简化计算，发展数感与运算能力。 教学重难点 重点： 1. 有理数混合运算的运算顺序的掌握与执行。 2. 在混合运算中正确运用运算律进行简便计算。 教学难点： 1. 在含有括号、乘方及多种运算的算式中，准确判断运算顺序并逐层计算。 2. 在运算过程中正确处理符号问题，特别是去括号与负号的变化。 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【即学即练】 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．先计算乘方，然后把除法转化成乘法计算，最后再计算加减法即可求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 3．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 题型01 有理数四则混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法； 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中括号里的加法，最后算乘法即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）先算乘除，再算加减，据此计算求解即可； （2）先计算乘方运算，然后计算小括号内的运算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【典例2】计算： 【答案】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可求解 【详解】解：原式 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，再算乘法，最后算加减，如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解：． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键； （1）原式先计算乘方和括号内的，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和乘法运算，最后计算加减法即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： 【变式3】计算 (1)； (2)； (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)29 (3)41 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，运算律，倒数的应用，是解题的关键 （1）先算算乘除法，再计算加减； （2）先算乘方，再算除法化为乘法，再乘法，最后计算加法； （3）先算乘方，再算括号内的，再乘法，最后计算加法； （4）先计算式的倒数，除法化为乘法后，利用乘法分配律展开计算，最后即得； （5）先算乘方与绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （6）先算乘方，再算括号内的乘法，再用乘法分配律展开，最后计算减法． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：∵ ， ∴． （5）解：． （6）解： ． 题型03 有理数混合运算错题复原问题 【典例3】小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】此题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是关键． （1）根据有理数的运算法则进行判断即可； （2）先计算乘法和括号内的减法，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律； 故答案为：一 （2）解: 【变式1】（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程： ① ② ③ ①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程． （2）计算：． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则运算法则进行判断即可；根据有理数四则混合运算法则，写出正确的计算工程即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）第①步中运算顺序错误； ②原式 ． （2）解：原式 =-1+（-）××(2-9)． 【变式2】在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解： 【变式3】在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号． 故答案为：二； （2）解：原式 ． 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例4】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 【变式1】如图是一个数值转换机，当输入的数字时，按照图中的程序计算，输出的答案为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意： 故答案为： 【变式2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 题型05 算“24”点 【典例5】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】生活情境·24点游戏  有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或．将下面的四张扑克牌凑成，结果是 ．（注：A表示1，K表示13） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．根据题意和题目中的数据，可以写出一个使得结果为的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 题型06 新定义型有理数混合运算 【典例6】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算方式运算求解即可； （2）根据新定义的运算方式运算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：． 【变式1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：．试分别计算出和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、新定义运算等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算法则成为解题的关键。 分别根据新定义运算将所求式子化成有理数混合运算的形式，然后再计算即可。 【详解】解：． ． 【变式2】对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)76 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，知， 所以的值为8． （2）解：由题意，知， 所以， 所以的值为76． 【变式3】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （）根据有理数的新定义运算计算先求出的值，进而求出的值即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 【详解】解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算的计算．将对应数值代入给定的新运算公式，依据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴把，代入公式得： ， 故选：C． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 4．（25-26七年级上·广东中山·期末）生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为（    ） A．34 B．194 C．1234 D．6154 【答案】B 【分析】本题主要考查了进位制和有理数的混合运算，解题的关键是会将五进制转化成十进制． 本题考查，结合已知条件列式，五进制数为化为十进制数即可． 【详解】解：依题意，， （天）， 即孩子已经出生的天数为194天， 故选：B． 二、填空题 5．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，m是最大的负整数，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知倒数，相反数的定义是解题的关键．根据倒数，相反数的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为a、b互为倒数，c、d互为相反数，m是最大的负整数， 所以，，， 所以原式． 故答案为：4． 7．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 【答案】 14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 三、解答题 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 11．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 12．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 一、单选题 1．（25-26七年级上·重庆永川·阶段检测）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；按照运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，注意负数的运算规则，进而问题可求解． 【详解】解：， 故选D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； 根据有理数的运算法则逐项计算验证即可． 【详解】解：∵ 选项A： ， ∴ 此选项错误； ∵ 选项B： ， ∴ 此选项错误； ∵ 选项C： ， ∴此选项正确； ∵ 选项D： ， ∴ 此选项错误； 故答案选：C． 3．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）定义一种新运算：，如，则的结果为（    ） A．5 B．6 C．7 D．－5 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，根据新运算的定义，列式计算即可． 【详解】解：由题意，； 故选：C． 4．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先输入：，根据流程，对结果判断是否大于0，大于0则输出，否则将结果作为输入值，再进入流程计算． 【详解】解：第一次代入：， 计算：， 再除以：， 判断：， 所以，将作为新的x，重新代入运算， 第二次代入：， 计算：， 再除以：， 判断：，输出结果为， 故选：C． 5．（25-26七年级上·贵州黔东南·阶段检测）远古时期，人们在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”． 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满五进一的方式，记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是，，那么图2所表示孩子出生后的天数是（    ） A．50 B．159 C．210 D．214 【答案】D 【分析】此题考查了用数字表示事件，以及有理数的乘方，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据图1的计算方法，表示出图2中的天数，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据有理数运算顺序，先计算乘方，再计算减法． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等式：，，，…，（a，b均为正整数），则______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的规律问题． 观察给定等式的规律，对于每个正整数n，等式为，进而将代入，求出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， 当时，方程为， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【详解】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 10．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，（规定），如图2，第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班的学生．图3中表示学生所在班级序号是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，图3中第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，据此根据题意计算出对应的序号即可得到答案． 【详解】解：如图3，第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，即表示该生为9班的学生， 故答案为：9． 三、解答题 11．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2026·河北衡水·模拟预测）计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得： ． 13．（25-26七年级上·广东惠州·期末）方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 14．（25-26七年级上·福建福州·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，，其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致． 例如：． (1)求和的值； (2)请判断运算“”是否具有交换律（即是否成立），并说明理由． 【答案】(1)9，9 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键， （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）解：， ， ∵ ∴，即 ∴运算“”具有交换律． 15．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算． （提示：八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为） (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为______，______，______； (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为，依此类推），然后相加． 例如：.（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为______（提示：类似于十进制的计算方法，逢二进一进行计算） ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出的结果． 【答案】(1)；，； (2)；12； (3)204； 【分析】本题主要通过二进制、五进制、八进制与十进制的转换考查乘方的运算，关键是不同进制数的位权展开法，以及二进制数的加法运算． （1）根据阳爻对应1、阴爻对应0的规则，结合二进制数的高位到低位顺序，分析卦象的爻组合得到二进制数； （2）①直接对两个二进制数进行加法运算； ②利用位权展开法，将二进制数的每一位乘以2的对应次方后相加，转换为十进制数． （3）分别将五进制和八进制数通过位权展开法转换为十进制数，再进行加法运算得到最终结果． 【详解】（1）解：左起第二个卦象为上阳爻、中阳爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第三个卦象为上阳爻、中阴爻、下阴爻，对应二进制数的三位为，即， 左起第四个卦象为上阳爻、中阴爻、下阳爻，对应二进制数的三位为，即， 故答案为：；，； （2）解：①， 故答案为：； ②； （3）解：先将三进制数转十进制： ， 再将四进制数转十进制： ， 最后相加：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.7有理数的混合运算 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01有理数的混合运算 2.知识清单 题型01有理数四则混合运算 题型02含乘方的有理数混合运算 有理数的混合运算 题型03有理数混合运算错题复原问题 3.题型精讲 题型04程序流程图与有理数计算 题型05算"24"点 题型06新定义型有理数混合运算 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号 内的)。 教学目标 2.能正确、熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算。 3.在运算中合理运用运算律简化计算，发展数感与运算能力。 重点： 1.有理数混合运算的运算顺序的掌握与执行。 2.在混合运算中正确运用运算律进行简便计算。 教学重难点 教学难点： 1.在含有括号、乘方及多种运算的算式中，准确判断运算顺序并逐层计算。 2.在运算过程中正确处理符号问题，特别是去括号与负号的变化。 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01有理数的混合运算 (1)先乘方，再乘除，最后加减。 (2)同级运算，从左到右的顺序进行。 (3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步 走：先确定符号，再求值。 【即学即练】 1.下列计算中正确的是() A. -6-2+3=-1 B.-1÷x3=-1 3 c(引-= D.-24+2÷20=-1 2.计算：×8*(2 3.在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步.请根据板演内容 解答下面的问题： --[2-(3]月 =1-3x[-2+]+ (1)小明第一步板演中共出现 次错误： (2)请完整的写出此题正确的运算过程、 题型精讲 题型01有理数四则混合运算 【典例1计第：[石85-35合》 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度式1计：(6)日+ 【度式】计，18品16+0- 【变式3】计算： w25+(2列 p-2×-2) 题型02含乘方的有理数混合运算 【典例2】计算：（←+（←3×华÷(-2沙 【变式】计算：2*[-2-2习 【变式2】计算： 1)-2+[18-(-3)×2] a(+4-2 【变式3】计算 (1)2+(6)÷2 2 2)5x22-3÷(←3： 创+(-9x（-2+到 0眉08到 5-2}-(-52)×(-1)°+87÷(-3)×1-2 到+4品 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03有理数混合运算错题复原问题 (11 【典例3】小明在计算题目：24×4+2+32时，步骤如下： 4 解：原式=6+2÷32÷2…第一步 1 1 3 =6+6-4…第二步 =8…第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第 步； (2)写出该题正确的解题过程 【变式1】(1)下面是亮亮同学计算一道题的过程： 1s+53-6层 =15(←15-62+6号@ 2 =-1-9+4…② =-6…③ ①亮亮计算过程从第： 步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程， (2)计算： 【变式2】在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步.请根据板 演内容解答下面的问题： --[2-(3]月 1-2+1+号 (1)小明第一步板演中共出现 _次错误： (2)请完整的写出此题正确的运算过程， 【度式】布计(2+4 ×30时，小博的解题过程如下： 解：原武=(84-目引30第-步 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(-2)-×30-号×30+x30第二步 =（-2)-10-24+25 第三步 =-11第四步 (1)上面解题过程从第步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程. 题型04程序流程图与有理数计算 【典例4】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为一2时，则输出的值为 输入 ÷(-2) +3 输出人 是 【变式1】如图是一个数值转换机，当输入的数字n=-3时，按照图中的程序计算，输出的答案为 输入n +(-3)}2 ÷(-2) 输出答案 【变式2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 输入 -6 +(-2)2→÷(-2) 是，输出 否 题型05算“24”点 【典例5】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数3,4,57组成算式（每个数必须 用一次且只能用一次)，使运算结果为24，你列出的算式是一·（写出一种即可) 【变式1】生活情境24点游戏有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将 这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或-24.将下面的四张扑 克牌凑成-24，结果是 =-24.(注：A表示1，K表示13) 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 【变式2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、 减、乘、除和乘方)，每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或-24，其中 黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A,J,Q,K 分别代表1,11,12,13.比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了： 7×[3-(-3)÷7]=24.如果抽到的是黑桃A,红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为一 题型06 新定义型有理数混合运算 【典例6】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：a田b=ab-3. 4(一 2球15@((3)的值。 【变式1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a*b=ab2-2ab+d. 例如：1*3=1×32-2x1×3+1=4·试分别计算出(-2)*3和3*3的值. 【变式2】对于有理数m,,定义新运算“★”，规定：m★n=m“+mn.例如：2★3=2+2×3=14， (1)求-2)★4的值： (2)求4*[(-3)★2]的值. 【变式3】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣.借助有理数的运算，定义了一种新运 算“田”，规则如下：a⊕b=a2-2ab. (1)求3⊕6的值： (2)求(23)©(-3)的值. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 12526七年级上山东青品期未)计算5×引 2 1-4() A.-14 B.14 C.-6 D.6 2.(25-26七年级上陕西咸阳期末)对于任意有理数a、b,定义新运算⑧：a⑧b=2a-b.例如 1⑧2=2×1-22=-2.则4⑧(-3)的值为() A.-13 B.17 C.-1 D.1 3.(25-26七年级下·江西景德镇·期末)沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设 计了如图所示的运算程序，若开始输入的值为3，则最后输出的结果y是() 否 是 输入n 平方 减1 大于9 输出y A.63 B.3 C.64 D.8 4.(25-26七年级上广东中山期末)生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例 如：212=2×102+1×10+2.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数 量，即“结绳计数”.如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同 绳子上打结，满五进一，根据图示，孩子已经出生的天数为() A.34 B.194 C.1234 D.6154 二、填空题 5.(2026黑龙江绥化三模)计算：-1-0.5+×[1+(2门- 4 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 6.(25-26七年级上江苏徐州阶段检测)已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，m是最大的负整数，则 5ab+c+d-m204; m 的值为 7.(25-26六年级上·上海静安·期末)如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、 乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出 一个符合要求的等式为， 3-6可2 8.(2425七年级上宁夏吴忠阶段检测)定义一种运算符号“*”：a*b=a2-ab,如： （23=(2-(23=10那么：[(4)(] 三、解答题 9.(26-27七年级江苏小升初衔接)计算： or-号6 2--（3司x-29-(←31 10.(26-27七年级全国·小升初衔接)计算： 0-+(-2÷（》-(3 (2)(-48)÷6-(-5)×(-4)+(-2)° o(-2×-3或-(r(号 11.(2026:河北沧州模拟预测)下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程。 计算：（-4)×5-(-2)°÷4 嘉嘉： 琪琪： 解：原式=-16×5-(8)÷4第一步 解：原式=16×5-(8)÷4第一步 =-80-(（-2）)第二步 =80-(-8)÷4第二步 =-80+2第三步 =88÷4第三步 =-78第四步 =22第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步： 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解答过程】 12.(25-26九年级下河北邯郸期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进 行卡片上的运算，如按“4→A→B”进行运算，则所列算式为“(4-3)×(4)”. A B C -3 ×(-4) 平方 2 ()若按“-石→B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果： 6 (②)若琪琪同学按“2→D→C→B→A进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果。 能力提升 一、单选题 1,(25-26七年级上重庆永川阶段检测)计算-2×32”-（-2×3)的值是() A.-18 B.-30 C.+42 D.-12 2.(2025七年级上·全国专题练习)下列计算正确的是() A.-8-2×6=-4 B.2+4×3=2 34 C.(-1)2025+(-1)2024=-1+1=0 D.-（-22)=-4 3.(25-26七年级上河北唐山阶段检测)定义一种新运算：a*b=a2-3b,如2*1=22-3×1=1，则 （-1)*(-2)的结果为() A.5 B.6 C.7 D.-5 4.(25-26七年级上湖南邵阳·阶段检测)如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5，则输 出的结果为() 输入-1y]÷-2习0 输出 A.3.5 B.-2 C1.5 D.-1.5 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上贵州黔东南阶段检测)远古时期，人们在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”· 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满五进一的方式，记录孩子自出生后的天数.如图1， 孩子出生后的天数是1x52+4×5+2×5°=47，(5°=)，那么图2所表示孩子出生后的天数是() 图1 图2 A.50 B.159 C.210 D.214 二、填空题 6.(25-26七年级上河北唐山期末)计算：-12-1= 7.(25-26六年级上·上海长宁·期末)“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为 24(每个数字用且只能用一次，可添加括号)，现有-3,5，-4,8四个数字，请写出一个符合条件的算 式 82526年级上黑哈尔滨期末E知等式：222行，333，计卡×4 3 8 15…, ×6(a,b均为正整数)，则b-a2=一 9.(25-26七年级上~四川达州期中)定义一种对正整数n的“F'运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1: ②当n为偶数时， F(n)=2 (其中k是使F()为奇数的正整数)·，两种运算交替重复进行，例如，取 F② F① F② 24则： 24 3 10 5 第1次 第2次 第3次 若n=13，,则第2025次“F运算的结果是 10.(25-26七年级上内蒙古鄂尔多斯·期末)利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份 识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到 右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×2+b×2+C×2'+d×2°，（规 定2°=1)，如图2，第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，序号为0×2+1×2+0×2+1×2°=5，表示 该生为5班的学生.图3中表示学生所在班级序号是 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 三、解答题 11.(25-26七年级下·辽宁盘锦开学考试)计算 (10(-1)°×3-(（1-3)÷4 a(-3+[2-(7]+6x3- 12.(2026河北衡水·模拟预测)计算及列式计算： (0计算：-5-8*4×-2， (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和， 13.(25-26七年级上广东惠州期末)方方和圆圆两位同学计算4+16÷(-2)'× 8的过程如下： 方方： 4+16=2×周 圆圆： +16(2y×母 =16+16÷(-8x80 =-16+16=(-8r(8可 =16+(2x82 1 =-16+16÷1② 264 =0③ ()以上计算过程中，方方开始出错的是第 步，圆圆开始出错的是第 步（填序号）； (2)写出你的计算过程. 14.(25-26七年级上福建福州期末)用“⑧”定义一种新运算：对于任意有理数a和b, a⑧b=a2-2ab+b2,其中等号右边的运算律与运算法则和有理数的运算律与运算法则一致. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：3⑧4=32-2×3×4+42=9-24+16=1. (1)求(-1)⑧2和2⑧(-)的值： (2)请判断运算“⑧”是否具有交换律（即a⑧b=b⑧a是否成立），并说明理由. 15.(25-26七年级上广东揭阳期末)综合与实践： 国际数学教育大会是全球数学教有界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，1CME-14于2021年 在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素， 以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文 化的博大精深其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，并进行相关计算. (提示：八卦中 称为阳爻，对应数字1；■ ■称为阴爻，对应数字0，这 是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为(01)2) cmE-14 三三玉三 图1 图2 (1)【观察发现】 左起第二、三、四个符号表示的二进制数分别为 (2)【解决问题】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为 2°，2,22,2，依此类推)，然后相加。 例如：(011)，=0×2+1×2+1×2°=0+2+1=3.（任何不等于零的数的零次幂都等于1，即2°=1） ①计算八卦符号中左起第二个符号和第四个符号对应的二进制数的和为一（提示：类似于十进制的计 算方法，逢二进一进行计算) ②将①中的和转换成十进制数（写出转换的过程） (3)【类比迁移】 请用十进制求出(2024)，+(2024)4的结果。 12112