（预习篇）第九讲 有理数的除法（5个知识点+8个考点讲练+难度分层训练 共45题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第九讲 有理数的除法 （5个知识点+8个考点讲练+难度分层训练 共45题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数除法的定义 3 知识点02：有理数除法的运算法则 3 知识点03：有理数除法的运算顺序 3 知识点04：应用实例 4 知识点05：高频常考易错点 4 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：有理数的除法运算 4 考点讲练02：有理数除法的应用 5 考点讲练03：有理数乘除混合运算 7 考点讲练04：有理数乘除中的简便运算 8 考点讲练05：有理数四则混合运算 10 考点讲练06：有理数四则混合运算的实际应用 12 考点讲练07：根据点在数轴的位置判断式子的正负 13 考点讲练08：数轴上的翻折 14 优选题培优训练 15 基础夯实 巩固知识 15 培优提升 能力强化 18 知识技能目标 掌握有理数除法的概念：学生应明确有理数除法的定义，理解除法运算中除数不能为0的规则。 熟练掌握有理数除法的法则：学生应能够熟练运用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的除法法则进行有理数的除法运算。 理解有理数除法的符号法则：学生应掌握“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的符号法则，确保在运算过程中能够正确判断结果的符号。 熟练进行有理数的混合运算：学生应能够将有理数的除法运算与加、减、乘等运算结合，进行有理数的混合运算，并能够灵活运用运算律简化运算过程 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数除法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题，培养抽象思维能力。 培养逻辑推理能力：在有理数除法的学习中，学生需要理解并掌握除法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数除法的法则熟练地进行有理数的除法运算，提高运算速度和准确性。 某周每天上午8时的气温记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃ -2℃ -3℃ 0℃ -2℃ -1℃ -3℃ 这周每天上午8时的平均气温为多少？ 即 （-14）÷7 你怎样计算上述结果？有几种方法？ 对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2 除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数 请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？ 有理数除法法则： 　除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 有理数的除法有与乘法类似的法则： 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点01：有理数除法的定义 有理数除法定义为求一个数被另一个数（不为零）除的商。例如，对于有理数a和b（b≠0），a除以b的商表示为a÷b或。 知识点02：有理数除法的运算法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a÷b = a × （其中b≠0）。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如，如果a和b同号（同为正或同为负），则a÷b的结果为正；如果a和b异号（一个为正，一个为负），则a÷b的结果为负。在运算过程中，我们只关注绝对值的大小，然后确定结果的符号。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。即0÷b = 0（其中b≠0）。 知识点03：有理数除法的运算顺序 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 在有理数的加减乘除混合运算中，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 知识点04：应用实例 通过实际问题和例子，学生可以更好地理解有理数除法的应用。例如，在解决速度、时间和距离的关系时，常常需要用到有理数除法。 知识点05：高频常考易错点 易错点01：对除法法则的理解不清 混淆乘除运算：部分学生可能会将除法和乘法混淆，忘记“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的法则。例如，在计算-2除以-3时，可能会错误地将其视为乘法运算，得到结果6，而不是正确的结果2/3。 忽视符号法则：在有理数除法中，符号的处理非常重要。学生可能会忽视“两数相除，同号得正，异号得负”的法则，导致结果符号判断错误。 易错点02：运算顺序的误解 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，忽视“先乘除后加减”的运算顺序。例如，在计算-2+3÷(-1)时，他们可能会先计算-2+3得到1，然后再除以-1，得到-1，而正确的答案应该是-5。 忽视括号的作用：在包含括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在计算(-2)÷(-3)×4时，他们可能会先计算-2÷-3得到0.667，然后再乘以4得到2.667，而正确的答案应该是。 易错点03：其他易错点 对0的除法特性理解不足：学生可能会忘记任何数（除0外）除以0都是无意义的，这可能导致在解题过程中出现错误。 计算过程中的粗心大意：在进行除法运算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如抄错数字、忘记进位或借位等。 考点讲练01：有理数的除法运算 【典例精讲】（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24七年级上·广西河池·期末）【阅读思考】中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．一节数学课上，老师布置了下列作业． (1)请你计算： ① ； ② ； ③ ． (2)在计算以上3道题之后，某同学回顾了自己的算法和算理．然后他再根据老师的提示写出了计算①的思考过程，并得到了老师的肯定，过程如下：a．判断出是两个有理数相加的问题；b．观察两个加数的符号，发现是异号两数相加；c．应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”；d．确定的符号：计算出加数和的绝对值，分别是2和4，通过比较它们的绝对值发现，加数的绝对值较大，写出和的符号为“﹣”；e．确定绝对值的差： ；f．写出计算结果．请你帮助他完成以上空格． (3)【模仿应用】计算，并用简短语言解释你的依据． 考点讲练02：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【训练2】（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 考点讲练03：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【训练1】（24-25七年级上·河南周口·期中）跑步是有效的有氧运动，小马同学在手机上下载了一款跑步软件，某天他在一条南北走向的马路上锻炼，他从家出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正，单位：）： (1)后停下来休息，此时他在哪里？ (2)设小马平均每跑消耗0.6卡路里能量，求这他共消耗了多少能量． (3)如果消耗3000卡路里能量，身体将减少0.45千克的脂肪，小马今天晨练减少多少脂肪？ 【训练2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ 考点讲练04：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东珠海·期末） （1） 计算： （2）解方程： ． 【训练1】（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【训练2】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (2) (4) 考点讲练05：有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【训练1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【训练2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 考点讲练06：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）检修小组乘汽车在东西方向的高速公路上检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负．某天检修小组自基地出发到收工时，所走的十段路程（单位：千米）记录为： ，，，，，，，，， (1)收工时检修小组在基地的什么方向？距基地多远？ (2)若检修车每千米所耗电费元，求收工处到返回基地共耗电费多少元？ 考点讲练07：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 【训练3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 考点讲练08：数轴上的翻折 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【训练2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【训练3】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 6．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： ①；②；③；④．其中正确的是 ．（在横线上只写正确的答案序号） 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 8．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 9．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 10．（24-25七年级上·四川南充·期中）南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 11．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知有理数、满足，则 ． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （填写序号）． ①；②；③；④ 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (4) (4) 17．（24-25七年级上·广西河池·期末）为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 18．（24-25七年级上·全国·期末）若a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且， (1)计算； (2)确定的符号； (3)化简． 19．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 20．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九讲 有理数的除法 （5个知识点+8个考点讲练+难度分层训练 共45题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数除法的定义 3 知识点02：有理数除法的运算法则 3 知识点03：有理数除法的运算顺序 3 知识点04：应用实例 4 知识点05：高频常考易错点 4 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：有理数的除法运算 4 考点讲练02：有理数除法的应用 6 考点讲练03：有理数乘除混合运算 9 考点讲练04：有理数乘除中的简便运算 13 考点讲练05：有理数四则混合运算 16 考点讲练06：有理数四则混合运算的实际应用 19 考点讲练07：根据点在数轴的位置判断式子的正负 21 考点讲练08：数轴上的翻折 24 优选题培优训练 26 基础夯实 巩固知识 26 培优提升 能力强化 33 知识技能目标 掌握有理数除法的概念：学生应明确有理数除法的定义，理解除法运算中除数不能为0的规则。 熟练掌握有理数除法的法则：学生应能够熟练运用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”的除法法则进行有理数的除法运算。 理解有理数除法的符号法则：学生应掌握“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的符号法则，确保在运算过程中能够正确判断结果的符号。 熟练进行有理数的混合运算：学生应能够将有理数的除法运算与加、减、乘等运算结合，进行有理数的混合运算，并能够灵活运用运算律简化运算过程 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数除法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题，培养抽象思维能力。 培养逻辑推理能力：在有理数除法的学习中，学生需要理解并掌握除法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数除法的法则熟练地进行有理数的除法运算，提高运算速度和准确性。 某周每天上午8时的气温记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -3℃ -2℃ -3℃ 0℃ -2℃ -1℃ -3℃ 这周每天上午8时的平均气温为多少？ 即 （-14）÷7 你怎样计算上述结果？有几种方法？ 对于这一算式小丽和小明有两种算法： 因为 （-2）×7= -14 所以 （-14）÷7= -2 除法是乘法的逆运算 除以一个数等于乘这个数的倒数 请你比较他们的算法是否都正确？你能根据他们的算法总结出有理数除法的规律吗？ 有理数除法法则： 　除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 有理数的除法有与乘法类似的法则： 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 知识点01：有理数除法的定义 有理数除法定义为求一个数被另一个数（不为零）除的商。例如，对于有理数a和b（b≠0），a除以b的商表示为a÷b或。 知识点02：有理数除法的运算法则 除以一个数等于乘以这个数的倒数。例如，a÷b = a × （其中b≠0）。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如，如果a和b同号（同为正或同为负），则a÷b的结果为正；如果a和b异号（一个为正，一个为负），则a÷b的结果为负。在运算过程中，我们只关注绝对值的大小，然后确定结果的符号。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。即0÷b = 0（其中b≠0）。 知识点03：有理数除法的运算顺序 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 在有理数的加减乘除混合运算中，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 知识点04：应用实例 通过实际问题和例子，学生可以更好地理解有理数除法的应用。例如，在解决速度、时间和距离的关系时，常常需要用到有理数除法。 知识点05：高频常考易错点 易错点01：对除法法则的理解不清 混淆乘除运算：部分学生可能会将除法和乘法混淆，忘记“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的法则。例如，在计算-2除以-3时，可能会错误地将其视为乘法运算，得到结果6，而不是正确的结果2/3。 忽视符号法则：在有理数除法中，符号的处理非常重要。学生可能会忽视“两数相除，同号得正，异号得负”的法则，导致结果符号判断错误。 易错点02：运算顺序的误解 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，忽视“先乘除后加减”的运算顺序。例如，在计算-2+3÷(-1)时，他们可能会先计算-2+3得到1，然后再除以-1，得到-1，而正确的答案应该是-5。 忽视括号的作用：在包含括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在计算(-2)÷(-3)×4时，他们可能会先计算-2÷-3得到0.667，然后再乘以4得到2.667，而正确的答案应该是。 易错点03：其他易错点 对0的除法特性理解不足：学生可能会忘记任何数（除0外）除以0都是无意义的，这可能导致在解题过程中出现错误。 计算过程中的粗心大意：在进行除法运算时，学生可能会因为粗心大意而出现计算错误，如抄错数字、忘记进位或借位等。 考点讲练01：有理数的除法运算 【典例精讲】（2025·河南开封·二模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【完整解答】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 【训练1】（23-24七年级上·广西河池·期末）【阅读思考】中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．一节数学课上，老师布置了下列作业． (1)请你计算： ① ； ② ； ③ ． (2)在计算以上3道题之后，某同学回顾了自己的算法和算理．然后他再根据老师的提示写出了计算①的思考过程，并得到了老师的肯定，过程如下：a．判断出是两个有理数相加的问题；b．观察两个加数的符号，发现是异号两数相加；c．应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”；d．确定的符号：计算出加数和的绝对值，分别是2和4，通过比较它们的绝对值发现，加数的绝对值较大，写出和的符号为“﹣”；e．确定绝对值的差： ；f．写出计算结果．请你帮助他完成以上空格． (3)【模仿应用】计算，并用简短语言解释你的依据． 【答案】(1)①，②6，③ (2) (3) ，依据：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 【思路引导】本题考查了有理数的运算，解题关键是熟记有理数运算法则，准确进行计算； （1）①根据有理数加法运算法则计算即可；②根据有理数减法运算法则计算即可；③根据有理数乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数运算法则填空即可； （3）根据有理数除法法则计算即可； 【完整解答】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①，②6，③． （2）解：确定绝对值的差为：， 故答案为：． （3）解：， 依据：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【训练2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【思路引导】此题考查有理数的混合运算，化简绝对值，有理数的大小比较，先分别求出a，b，c的值，再比较大小即可 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∵，, ∴，即， 故答案为：. 考点讲练02：有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【完整解答】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 【训练1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【思路引导】本题考查有理数除法的实际应用，根据题意，列出算式，利用余数进行判断即可． 【完整解答】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”， 所以2099年是己未年． 故答案为：己未 【训练2】（21-22七年级上·浙江台州·期末）A，B两个港口相距24千米，水由A流向B，水流速度是4千米/时，甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A，B之间往返航行．已知甲在静水中的速度是20千米/时，乙在静水中的速度是16千米/时． （1）甲往返一趟所需时间是 小时，乙往返一趟所需时间是 小时； （2）出发后航行 小时，甲、乙两船恰好首次同时回到A港口． 【答案】 2.5 3.2 80 【思路引导】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键． （1）分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时，从而可求出乙往返的次数为，再结合题意可知为整数，且最小，则得出，进而可求出时间． 【完整解答】解：（1）甲船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 甲船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由A向B行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时． 乙船由B向A行驶时的速度为千米/时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 故答案为：2.5，3.2； （2）设甲往返x次，则甲航行时间为时， 所以乙往返的次数为． 因为甲、乙两船恰好首次同时回到A港口， 所以为整数，且最小， 所以x最小可取32， 所以航行时间为时． 故答案为：80． 考点讲练03：有理数乘除混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据有理数加减混合运算法则按顺序进行计算即可； （2）按顺序先进行除法运算、运用乘法分配律进行计算，再按顺序进行加减运算即可； 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式     【训练1】（24-25七年级上·河南周口·期中）跑步是有效的有氧运动，小马同学在手机上下载了一款跑步软件，某天他在一条南北走向的马路上锻炼，他从家出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正，单位：）： (1)后停下来休息，此时他在哪里？ (2)设小马平均每跑消耗0.6卡路里能量，求这他共消耗了多少能量． (3)如果消耗3000卡路里能量，身体将减少0.45千克的脂肪，小马今天晨练减少多少脂肪？ 【答案】(1)恰好在他家南100米； (2)他共消耗了1260卡路里能量； (3)0.189千克． 【思路引导】本题考查的是正负数的应用，有理数的加减运算，混合运算的应用； （1）求解记录数据之和，根据结果可得答案； （2）先求解路程和，再乘以即可； （3）先求解1卡路里能量能够减少的脂肪数量，再乘以卡路里即可； 【完整解答】（1）解：， 则恰好在他家南100米． （2）解：回到家路程为， 消耗能量为（卡路里）， 答：这他共消耗了1260卡路里能量． （3）解：消耗掉脂肪千克； 【训练2】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图在数轴上点A，表示的数分别为，，且满足． (1)点A表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为 ； (3)若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？ 【答案】(1)，12 (2)2或4 (3)当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的 【思路引导】（1）结合非负数的性质确定答案即可； （2）分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别确定点表示的有理数，然后计算折点表示的数即可； （3）首先求得的中点表示的有理数以及之间的距离；再分小蚂蚁未到挡板和过挡板两种情况讨论，然后分类计算的值；根据两点距离表示出它们的距离之和，进而分类求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得． 故答案为：，12； （2）由（1）可知，点表示的有理数为12，点A表示的有理数为， 当点在点左侧时，点表示的有理数为10， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为； 当点在点右侧时，点表示的有理数为14， 将数轴对折后，点与点A重合，则折点表示的数为， 综上所述，折点表示的数为2或4． 故答案为：2或4； （3）解：∵点A表示的有理数为，点表示的有理数为12， 则的中点表示的有理数为，， 当小蚂蚁没有从挡板回来时，即时，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 当小蚂蚁从挡板回到点B时，即，则有，此时使得线段分为的两段，则有： ①当，即，解得：； ②当，即，解得：； 设点M在数轴上表示的数为，则点M到点（是的中点）的距离和为， ∴由题意可知点M是在上运动，则当时， ， 当时， ，无最小值； 当时， ，无最小值； 综上所述：点M与点的距离和为最小值，即为21，此时， ∴当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； 当时，此时点M所表示的数为； ∴综上所述：当或时，小蚂蚁与点的距离和不是最短的；当或时，小蚂蚁与点的距离和是最短的． 【考点评析】本题主要考查了非负数的性质、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 考点讲练04：有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东珠海·期末）（1）计算： （2）解方程： ． 【答案】（1）2；（2） 【思路引导】本题考查了有理数的乘除混合运算，解一元一次方程． （1）把除法转化乘法计算即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【完整解答】解：（1）原式 （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 【训练1】（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【完整解答】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 【训练2】（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练05：有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【完整解答】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 【训练1】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【完整解答】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解：，， ． 【训练2】（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【思路引导】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【完整解答】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 考点讲练06：有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【思路引导】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【完整解答】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 【训练1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）某厂本周计划每天生产200辆自行车，由于工作人员轮休等原因，实际每天生产量与计划生产量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：辆） (1)该厂星期三生产电动车________辆； (2)请求出该厂在本周实际生产自行车的数量； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一辆自行车可以得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆在60元基础上另奖15元；少生产一辆则倒扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1410辆 (3)84750元 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【完整解答】（1）解：（辆， 即该厂星期三生产电动车195辆， 故答案为：195； （2）解： （辆， 即该厂在本周实际生产自行车的数量为1410辆； （3）解： （元， 即该厂工人这一周的工资总额是84750元． 【训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）检修小组乘汽车在东西方向的高速公路上检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负．某天检修小组自基地出发到收工时，所走的十段路程（单位：千米）记录为： ，，，，，，，，， (1)收工时检修小组在基地的什么方向？距基地多远？ (2)若检修车每千米所耗电费元，求收工处到返回基地共耗电费多少元？ 【答案】(1)收工时检修小组在基地的东边，距基地千米 (2)元 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，数轴，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【完整解答】（1）解： （千米）， 即收工时检修小组在基地的东边，距基地千米； （2）（元）， 即收工处到返回基地共耗电费元． 考点讲练07：根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【完整解答】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【训练1】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 ． 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查利用数轴判断式子的符号，有理数的运算，根据数轴，易知，，再逐一判断每个选项即可． 【完整解答】解：根据数轴可知，， 则：，故选项①正确，符合题意； ，故选项②正确，符合题意； ∵，， ∴，故选项③正确，符合题意； ∵， ∴，故选项④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④． 故答案为：①②③④． 【训练2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后根据有理数的加减乘除运算及正负数的意义可进行排除选项． 【完整解答】解：由数轴可知：， A、当点A，C在原点的左侧，则，当时，则不满足；故不符合题意； B、当点B，C在原点的右侧，则，所以，假设时，则不满足，故不符合题意； C、由可知：且，所以且，根据“同号得正，异号得负”可知：当时，则，所以且，前后矛盾，故舍去；当时，即，则且，即，此时点A表示数在0和数1之间；即点A在表示数1的点的左侧，故该选项正确； D、由可知：且，所以且，根据“同号得正，异号得负”可知：当时，，且，当时，且，则，故点B在表示数1的点的左侧，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【训练3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【完整解答】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 考点讲练08：数轴上的翻折 【典例精讲】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【完整解答】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 【训练2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【完整解答】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 【训练3】（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【完整解答】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）曙光机械厂加工一批机械零件，如果每天加工50个，需要24天完成；如果每天加工60个，需要（    ）天完成 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【思路引导】本题考查了分数的应用，如果每天加工个，需要天完成，可求出总零件数是个，如果每天加工个，需要天，计算即可． 【完整解答】解： （天） 答：需要20天能完成任务． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【完整解答】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【完整解答】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 4．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【答案】A 【思路引导】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【完整解答】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【完整解答】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： ①；②；③；④．其中正确的是 ．（在横线上只写正确的答案序号） 【答案】①③④ 【思路引导】此题考查了借助数轴比较有理数大小，绝对值的意义．根据数轴判断出，，再进行化简计算即可判断． 【完整解答】解：由数轴得，，， ①，故①正确； ②∵，∴，故②错误； ③∵，∴，故③正确； ④∵，，∴，故④正确； 故答案为：①③④． 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【思路引导】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【完整解答】解：， ，输出； 故答案为：128． 8．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)22 (2) (3) (4)1 【思路引导】本题考查有理数的四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，包括去括号法则，乘除运算法则，乘法分配律以及运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）． （1）按照有理数加减法法则计算； （2）依据有理数乘除法法则计算； （3）运用乘法分配律计算； （4）根据先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（24-25七年级上·广东河源·期中）下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【思路引导】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【完整解答】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 10．（24-25七年级上·四川南充·期中）南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ (3)在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】(1)南，0.4 (2)送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气 (3)在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【思路引导】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 【完整解答】（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 11．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【完整解答】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 12．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）如图，边长为2个单位长度的正方形一边与数轴重合，点A对应数轴上的，点D对应数轴上的，将正方形沿数轴正方向滚动，则数轴上的数字2024对应的点将与正方形的（   ）重合 A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴动点问题，有理数的除法的应用，根据数轴上数字在正方形滚动过程中的对应规律，找到滚动过程中数字的对应方式即可解答． 【完整解答】解：， ∴正方形到达数轴上的数字2024时，正方形滚动253圈后再滚动1次， 正方形的顶点每次循环一次，即第一次为点C，第二次为点B，第三次为点A，第四次为点D，； ∴数轴上的数字2024将与字母C重合， 故选：C． 13．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【完整解答】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 14．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【思路引导】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【完整解答】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 15．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （填写序号）． ①；②；③；④ 【答案】③④ 【思路引导】根据数轴上的点所表示数的特征，结合绝对值的性质对所给结论依次进行判断即可． 【完整解答】解：由所给数轴可知，表示数的点比表示数的点离原点更远， ∴．故①错误． ∵，，， ∴．故②错误． ∵，，且表示数的点比表示数的点离原点更远， ∴， 又∵， ∴．故③正确． ∵， ∴，， ∴．故④正确． 故答案为：③④． 【考点评析】本题主要考查了数轴、绝对值，有理数的加减乘除运算以及整式加减法，熟知数轴上的点所表示数的特征及绝对值的性质是解题的关键． 16．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）先确定运算结果的符号，将带分数转化成假分数，根据有理数的乘除法可以解答本题； （4）根据乘法分配律计算． 【完整解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·广西河池·期末）为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】(1)20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克 (2)出售这20筐茶果可获得元 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可； （2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 18．（24-25七年级上·全国·期末）若a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且， (1)计算； (2)确定的符号； (3)化简． 【答案】(1)100 (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的加减的应用、化简绝对值、数轴、有理数的乘法，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可得，，从而得出，代入计算即可得解； （2）先确定出，，，即可得解； （3）求出，再根据绝对值的性质化简即可． 【完整解答】（1）解：由图可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴确定的符号为； （3）解：∵， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)15095元 【思路引导】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【完整解答】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 20．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）乒乓球，被称为“国球”，在中华大地有着深厚的群众基础．2000年2月23日，国际乒乓球大会决定从2000年10月1日起，乒乓球比赛将使用直径、重量的大球，以取代的小球．某工厂按要求加工一批标准化的直径为乒乓球，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径并记录如下：，，，，，，，，，（“”表示超出标准；“”表示不足标准）． (1)其中偏差最大的乒乓球直径是______； (2)抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是______？ (3)若误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品，这10个球的合格率是______；良好率是______． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】此题考查了正数和负数的意义，解题的关键是理解正和负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据误差在“”以内的球可以作为合格产品，误差在“”以内的球可以作为良好产品分别占总数的百分比，即可求解． 【完整解答】（1）解：其中偏差最大的乒乓球的直径是； （2）解：∵，，，，，，，，，中绝对值最小的是， ∴抽查的这10个乒乓球中，最符合标准的乒乓球的直径是； （3）解：∵，，，，，，，，，， 误差在“”以内的球可以作为合格产品， ∴合格的有，，，，，，， 这些球的合格率是； ∵误差在“”以内的球可以作为良好产品， ∴良好产品有，，，，， ∴良好率为； 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$