（预习篇）第八讲 有理数的乘法（5个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第八讲 有理数的乘法 （5个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数乘法的基本概念 4 知识点02：有理数乘法的运算律 4 知识点03：有理数的倒数: 4 知识点04：有理数乘法法则的特殊情况: 4 知识点05：有理数乘法的应用: 4 知识点06：有理数乘法的高频易错知识点 5 新知学习考点讲练 5 考点讲练01：两个有理数的乘法运算 5 考点讲练02：多个有理数的乘法运算 6 考点讲练03：有理数乘法的实际应用倒数 8 考点讲练04：有理数乘法运算律 10 优选题培优训练 12 基础夯实 巩固知识 12 培优提升 强化能力 14 知识技能目标 理解和掌握有理数乘法的概念及意义：学生应明确有理数乘法的定义，理解乘法的本质——即求几个相同加数的和的简便运算。同时，掌握有理数乘法中符号法则和绝对值运算法则，如“同号相乘取正号，异号相乘取负号，并把绝对值相乘”。 掌握有理数乘法法则中的运算规律：学生应能够熟练运用乘法交换律、结合律和分配律等运算规律，简化有理数的乘法运算过程。 熟练进行有理数乘法运算：学生应通过大量的练习，掌握有理数乘法的运算技巧，提高运算速度和准确性。 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数乘法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题。 培养逻辑推理能力：在有理数乘法的学习中，学生需要理解并掌握乘法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算，并能在运算过程中灵活应用乘法运算律简化运算过程。 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题： （1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天___（填“高”或者“低”）___cm；3天前的水位比今天______cm． （2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天__________cm；3天前的水位比今天__________cm． 分析： （1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少? 水库水位的变化 类似地，如果水位每天上升4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少? 我们用有理数的运算来研究上面的问题． 我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负． 按上面的规定，水位上升 （1）4 cm记作“＋4”，3天后记作“＋3”， 3天后的水位变化是(＋4)×(＋3)＝12． 　　 　类似地，(＋4) ×(－3)＝ － 12．即3天前的水位比今天低12 cm． 　 如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高(或低)多少? 水库水位的变化 类似地，如果水位每天下降4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高(或低)多少? （2）如果水位下降4cm记作“－ 4”，3天后记为“＋3”，那么3天后的水位变化是　　(－ 4)×(＋3)＝ － 12． 类似地，(－ 4)×(－ 3)＝＋12．即3天前的水位比今天高12 cm． 我们来比较上面两个算式，你有什么发现？ 当我们把“4×3＝12”中的一个因数“3”换成它的相反数“－ 3”时，所得的积是原来的积“12”的相反数“－ 12”， 一般地，我们有： 把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数． 我们知道，一个数与零相乘，结果仍为0.   如 5×0＝0； 0×(－ 3)＝0. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘． 任何数与零相乘，都得零． 知识点01：有理数乘法的基本概念 定义：有理数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。例如，a×3 可以理解为a+a+a 的和。 符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负。 即，如果两个有理数同号（同为正或同为负），则它们的乘积为正；如果两个有理数异号（一个为正，一个为负），则它们的乘积为负。 任何数与0相乘，结果都为0。 知识点02：有理数乘法的运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a×b=b×a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即 (a×b)×c=a×(b×c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加。即 a×(b+c)=a×b+a×c。 知识点03：有理数的倒数: 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 性质： 0没有倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 倒数等于它本身的数是1和-1。 知识点04：有理数乘法法则的特殊情况: 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。 知识点05：有理数乘法的应用: 有理数乘法在日常生活和数学学习中有着广泛的应用。例如，在解决速度、时间和距离之间的关系时，常常需要用到有理数乘法。在解决水位上升或下降的问题时，也可以将水位的变化视为有理数的乘法运算。 知识点06：有理数乘法的高频易错知识点 易错点01：混淆符号法则: 忽视负数的乘法法则：学生可能会忘记“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则，导致在计算过程中出现错误。例如，对于表达式(−2)×(−3)，学生可能会错误地认为结果为负。 误解多个有理数相乘的符号确定：当面对多个有理数相乘时，学生可能会只关注第一个和最后一个数的符号，而忽略中间数的符号，导致错误地确定结果的符号。 易错点02：违背运算顺序 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，而不是先乘除后加减，这会导致计算结果错误。例如，在计算10−(−5)×5时，学生可能会先算10−(−5)得到15，然后再乘以5得到75，而正确答案应为35。 忽略括号的作用：在涉及括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在表达式3×(5−2)中，学生可能会先计算3×5得到15，然后再减去2得到13，而正确答案应为9。 易错点03：对负带分数理解不清 错误地将负带分数理解为正数：学生可能会将负带分数错误地理解为正数，从而导致计算结果错误。 易错点04：其他易错点 忽视乘法运算律的应用：学生可能会忽视乘法交换律、结合律和分配律的应用，导致计算过程繁琐且容易出错。 对零的乘法特性理解不足：学生可能会忘记任何数与零相乘都得零的法则，导致在计算中出现错误。 考点讲练01：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【训练2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）我们规定：若有理数，满足，则称，互为“积和数”．例如：因为，所以与互为“积和数”． (1)请你判断与是否互为“积和数”，并说明理由． (2)已知与互为“积和数”，求的值． (3)若，互为“积和数”，且，求的值． 【训练3】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 考点讲练02：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示数a，b，c，并将数轴分成①，②，③，④四个部分． (1)若，则原点落在哪一段？并说明理由． (2)若，且，求的值． 【训练2】（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的［探究］． ［提出问题］ 两个不为0的有理数满足同号，求的值． ［解决问题］ 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数； ②都是负数． ①若都是正数，即，，有，，则； ②若都是负数，即，，有，， 则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【训练3】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 考点讲练03：有理数乘法的实际应用倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 【训练1】（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【训练2】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 【训练3】（23-24七年级上·福建福州·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 考点讲练04：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【训练1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【训练3】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (2) (4) (5) 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④．不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 8．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 10．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）两根钢条，一根长，一根长．要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是 m，最少可以截成 段． 15．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·陕西西安·期末）柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，深受顾客的喜爱．某经销商借助直播平台销售柿子饼，经过一段时间的销售，发现每天能销售100千克左右的柿子饼．表格为一月份第一周销售柿子饼的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，解答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_____，该天的销售量是_____千克． (2)借助直播平台销售需要缴纳费用，每天的收费由固定300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过100千克，则不足的部分每千克罚款2元；超过100千克，则超过的部分每千克奖励1元．求该经销商这周需要支付给直播平台的费用． 17．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ． 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 21．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 22．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲 有理数的乘法 （5个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共38题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数乘法的基本概念 4 知识点02：有理数乘法的运算律 4 知识点03：有理数的倒数: 4 知识点04：有理数乘法法则的特殊情况: 4 知识点05：有理数乘法的应用: 4 知识点06：有理数乘法的高频易错知识点 5 新知学习考点讲练 5 考点讲练01：两个有理数的乘法运算 5 考点讲练02：多个有理数的乘法运算 8 考点讲练03：有理数乘法的实际应用倒数 13 考点讲练04：有理数乘法运算律 17 优选题培优训练 22 基础夯实 巩固知识 22 培优提升 强化能力 28 知识技能目标 理解和掌握有理数乘法的概念及意义：学生应明确有理数乘法的定义，理解乘法的本质——即求几个相同加数的和的简便运算。同时，掌握有理数乘法中符号法则和绝对值运算法则，如“同号相乘取正号，异号相乘取负号，并把绝对值相乘”。 掌握有理数乘法法则中的运算规律：学生应能够熟练运用乘法交换律、结合律和分配律等运算规律，简化有理数的乘法运算过程。 熟练进行有理数乘法运算：学生应通过大量的练习，掌握有理数乘法的运算技巧，提高运算速度和准确性。 能力目标 培养抽象思维能力：通过有理数乘法的学习，学生能够将实际问题抽象为数学问题，用数学方法解决问题。 培养逻辑推理能力：在有理数乘法的学习中，学生需要理解并掌握乘法运算的规律和法则，这有助于培养他们的逻辑推理能力。 培养运算能力：学生应能够根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算，并能在运算过程中灵活应用乘法运算律简化运算过程。 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题： （1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天___（填“高”或者“低”）___cm；3天前的水位比今天______cm． （2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天__________cm；3天前的水位比今天__________cm． 分析： （1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少? 水库水位的变化 类似地，如果水位每天上升4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少? 我们用有理数的运算来研究上面的问题． 我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负． 按上面的规定，水位上升 （1）4 cm记作“＋4”，3天后记作“＋3”， 3天后的水位变化是(＋4)×(＋3)＝12． 　　 　类似地，(＋4) ×(－3)＝ － 12．即3天前的水位比今天低12 cm． 　 如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高(或低)多少? 水库水位的变化 类似地，如果水位每天下降4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高(或低)多少? （2）如果水位下降4cm记作“－ 4”，3天后记为“＋3”，那么3天后的水位变化是　　(－ 4)×(＋3)＝ － 12． 类似地，(－ 4)×(－ 3)＝＋12．即3天前的水位比今天高12 cm． 我们来比较上面两个算式，你有什么发现？ 当我们把“4×3＝12”中的一个因数“3”换成它的相反数“－ 3”时，所得的积是原来的积“12”的相反数“－ 12”， 一般地，我们有： 把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数． 我们知道，一个数与零相乘，结果仍为0.   如 5×0＝0； 0×(－ 3)＝0. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘． 任何数与零相乘，都得零． 知识点01：有理数乘法的基本概念 定义：有理数乘法是求几个相同加数的和的简便运算。例如，a×3 可以理解为a+a+a 的和。 符号法则：同号相乘得正，异号相乘得负。 即，如果两个有理数同号（同为正或同为负），则它们的乘积为正；如果两个有理数异号（一个为正，一个为负），则它们的乘积为负。 任何数与0相乘，结果都为0。 知识点02：有理数乘法的运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a×b=b×a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即 (a×b)×c=a×(b×c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把所得的积相加。即 a×(b+c)=a×b+a×c。 知识点03：有理数的倒数: 定义：乘积是1的两个数互为倒数。 性质： 0没有倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 倒数等于它本身的数是1和-1。 知识点04：有理数乘法法则的特殊情况: 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。 知识点05：有理数乘法的应用: 有理数乘法在日常生活和数学学习中有着广泛的应用。例如，在解决速度、时间和距离之间的关系时，常常需要用到有理数乘法。在解决水位上升或下降的问题时，也可以将水位的变化视为有理数的乘法运算。 知识点06：有理数乘法的高频易错知识点 易错点01：混淆符号法则: 忽视负数的乘法法则：学生可能会忘记“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则，导致在计算过程中出现错误。例如，对于表达式(−2)×(−3)，学生可能会错误地认为结果为负。 误解多个有理数相乘的符号确定：当面对多个有理数相乘时，学生可能会只关注第一个和最后一个数的符号，而忽略中间数的符号，导致错误地确定结果的符号。 易错点02：违背运算顺序 先加减后乘除：学生可能会按照从左到右的顺序进行运算，而不是先乘除后加减，这会导致计算结果错误。例如，在计算10−(−5)×5时，学生可能会先算10−(−5)得到15，然后再乘以5得到75，而正确答案应为35。 忽略括号的作用：在涉及括号的表达式中，学生可能会忽视括号的作用，导致运算顺序错误。例如，在表达式3×(5−2)中，学生可能会先计算3×5得到15，然后再减去2得到13，而正确答案应为9。 易错点03：对负带分数理解不清 错误地将负带分数理解为正数：学生可能会将负带分数错误地理解为正数，从而导致计算结果错误。 易错点04：其他易错点 忽视乘法运算律的应用：学生可能会忽视乘法交换律、结合律和分配律的应用，导致计算过程繁琐且容易出错。 对零的乘法特性理解不足：学生可能会忘记任何数与零相乘都得零的法则，导致在计算中出现错误。 考点讲练01：两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据点所在位置，结合数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进行判断出式子的符号，进行判断即可． 【完整解答】解：由数轴可知：， ∴，，，， 故只有选项C是正确的； 故选C． 【训练1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）有下列说法：①若，则；②两个数相加，若和为负数，则这两个数必定都是负数；③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大；④一个数乘，积为这个数的相反数．则其中正确的序号有 ． 【答案】③④ 【思路引导】根据绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义依次对各说法进行判断即可． 【完整解答】解：①若，则或，故①错误； ②两个数相加，若和为负数，则这两个数可能都是负数或者一正一负或者和负数，故②错误； ③如果，，那么这两个数一定一正一负，且负数的绝对值大，故③正确； ④一个数乘，积为这个数的相反数，故④正确． ∴正确的序号有③④． 故答案为：③④． 【考点评析】本题考查绝对值的定义，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，相反数的定义，解题的关键是明确它们各自的含义． 【训练2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）我们规定：若有理数，满足，则称，互为“积和数”．例如：因为，所以与互为“积和数”． (1)请你判断与是否互为“积和数”，并说明理由． (2)已知与互为“积和数”，求的值． (3)若，互为“积和数”，且，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的乘法运算，解一元一次方程等知识点，读懂题意，根据题中的新定义正确列式计算或列出方程是解题的关键． （1）根据“积和数”的定义直接列式计算即可得出答案； （2）根据“积和数”的定义可列出方程，解方程即可求出的值； （3）根据“积和数”的定义可列出方程，解方程即可求出的值． 【完整解答】（1）解：与互为“积和数”，理由如下： ，， ， 与互为“积和数”； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：由题意得：， 把代入，得：， 解得：． 【训练3】（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上有三个互不重合的点A，B，C，其中点A表示的数是a，点B表示的数是b，点C表示的数是，它们的相对位置如图所示，下列对点A，B，C的位置描述正确的是（   ）． A．点A，C在原点的左侧 B．点B，C在原点的右侧 C．点A在表示数1的点的左侧 D．点B在表示数1的点的右侧 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后根据有理数的加减乘除运算及正负数的意义可进行排除选项． 【完整解答】解：由数轴可知：， A、当点A，C在原点的左侧，则，当时，则不满足；故不符合题意； B、当点B，C在原点的右侧，则，所以，假设时，则不满足，故不符合题意； C、由可知：且，所以且，根据“同号得正，异号得负”可知：当时，则，所以且，前后矛盾，故舍去；当时，即，则且，即，此时点A表示数在0和数1之间；即点A在表示数1的点的左侧，故该选项正确； D、由可知：且，所以且，根据“同号得正，异号得负”可知：当时，，且，当时，且，则，故点B在表示数1的点的左侧，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 考点讲练02：多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【完整解答】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 【训练1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示数a，b，c，并将数轴分成①，②，③，④四个部分． (1)若，则原点落在哪一段？并说明理由． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)原点在B，C之间，在第③段，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了根据数轴上的点表示有理数，化简绝对值，有理数的乘法，代数式求值，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题图可知，，结合，得出，结合，得出，即即可求解； （2）由题图可知，，结合得出，再根据得出求解即可． 【完整解答】（1）解：由题图可知，，又， 则． 又， 故． 因此，即原点在B，C之间，在第③段． （2）解：由题图可知，， 当时，，舍去；故． 又，则a，b异号，故，且， ． 【训练2】（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的［探究］． ［提出问题］ 两个不为0的有理数满足同号，求的值． ［解决问题］ 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数； ②都是负数． ①若都是正数，即，，有，，则； ②若都是负数，即，，有，， 则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)3或； (3)． 【思路引导】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数都其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）解：∵， ∴可得a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①当，，时， 则：； ②当，，时， 则：， 当，，时， 则：， 当，，时， 则：， ∴的值为3或． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴可得a，b，c三个有理数一个为负数，另两个为正数． ①当，，时， 则：， 当，，时， 则：， 当，，时， 则：， ∴的值为． 【训练3】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a，b满足a，b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能：①a、b都是正数：②a、b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有及，则； ②若a、b都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数a，b满足a，b异号，求的值． (3)若，则的值可能是多少？ 【答案】(1)10或4； (2)0； (3)3或． 【思路引导】（1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （3）由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即，，时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为0； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则： 所以：的值为3或． 【考点评析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 考点讲练03：有理数乘法的实际应用倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)最远与最近路程差是千米； (2)小明家这天的汽油费用是元． 【思路引导】本题主要考查了有理数的减法、乘法，正数和负数的意义，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义． （）由小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程的最大值减去最小值即可求解； （）先计算出这七天中小明家共行驶的路程，再利用乘法进行运算即可． 【完整解答】（1）解：这七天中，最远与最近路程差是（千米）， 答：最远与最近路程差是千米； （2）解：这七天中小明家共行驶： （千米）， ∴小明家这天的汽油费用是（元）， 答：小明家这天的汽油费用是元． 【训练1】（24-25七年级上·广东梅州·期中）某一出租车一天下午以鼓楼为出发点在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼 (2)116元 【思路引导】本题考查了正数和负数的应用，绝对值的应用，有理数运算的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，比较简单． （1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西； （2）求出记录数字的绝对值的和，再乘以2即可． 【完整解答】（1）解：， 故出租车离鼓楼出发点米，出租车在鼓楼； （2）解：元， 故司机一个下午的营业额是116元． 【训练2】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)超过80千克 (3)12320元 【思路引导】本题考查了正数和负数应用．熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重2.5千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，则两箱相差5.5千克； （2）将这200个超过或不足的数据相加，和为正，表示总计比标准质量超过，和为负表示总计比标准质量不足； （3）4元乘以求得总质量，即可． 【完整解答】（1）∵， ∴（千克）， 故最重的一箱比最轻的一箱重5.5千克 故答案为：5.5； （2） （千克）， 故200箱苹果总计超过80千克； （3）（元）， 故出售这200箱苹果可卖12320元． 【训练3】（23-24七年级上·福建福州·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)90； (2)； (3)当时，()元；当时，()元；当时，元． 【思路引导】（1）图中可以知道：15千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费，再计算即可； （2）按x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加； （3）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的数量要小于50千克；分、、三种情况讨论计算即可． 【完整解答】（1）解：（元）， ∴小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元． 故答案为：90； （2）∵过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费， ∴元． 故答案为：； （3）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴，第二次购买千克； 当时，则； 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）． 【考点评析】本题考查了列代数式．整式的加减运算，利用了分类讨论的思想；比较容易出错，需要把每一段的总费用算出来，然后再相加． 考点讲练04：有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 【训练1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【训练2】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题； （4）根据乘法分配律可以解答本题． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【训练3】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【思路引导】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【完整解答】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴与有理数，绝对值，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则即可判断求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【完整解答】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 2．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【完整解答】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 3．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①；②；③；④．不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘法，数轴，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．观察数轴可得：，分析各选项即可． 【完整解答】解：根据数轴可知，， ∴①，②，③，故①②不正确，③正确； ∵， ∴， ∴，故④不正确． 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表是利用计算机软件制作的某工厂九月份的员工工资表，用计算机软件计算出员工“应发工资”方法如下：在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”，根据上面操作，我们可以得出九月份王小武的应发工资是（     ） A．7780 B．3038 C．3028 D．7720 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，再列式王小武的应发工资是（元），即可作答． 【完整解答】解：∵在单元格中，输入公式“”后回车，即可计算出张大山的“应发工资”， ∴王小武的应发工资是（元）， 故选：A． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【完整解答】解： ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘除运算的实际应用，由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛，可得个小组需要进行场比赛，据此即可求解，正确列出算式求出个小组需要进行的比赛场数是解题的关键． 【完整解答】解：由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【思路引导】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【完整解答】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 8．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)6 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【思路引导】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【完整解答】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 10．（24-25七年级上·山东济宁·期中）樱桃是邹城特色农产品之一，现有30箱樱桃，以每箱为标准，重量超过标准的千克数用正数表示，重量不足标准的千克数用负数表示，具体数据见下表： 与标准重量的差值 0 0.1 0.2 0.3 箱数 3 4 6 9 5 2 1 (1)在30箱樱桃中，最重的一箱比最轻的一箱多_____； (2)与标准重量相比，30箱樱桃超出或不足的重量为多少？ (3)若每千克樱桃20元，则这30箱樱桃可卖多少钱？ 【答案】(1)0.6； (2)不足的重量为；； (3)1478元 【思路引导】本题考查了有理数加减法和乘法的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）用最重的一箱与最轻的一箱作差即可； （2）将30箱樱桃与标准质量的差值相加即可得解； （3）用30箱樱桃的总质量乘以单价求解即可／． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：0.6； （2）解：， 即与标准重量相比，30箱樱桃不足的重量为； （3）解：（元）， 答：这30箱樱桃可卖元． 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 分类讨论，分别算出所有人的爬楼距离，再比较即可． 【完整解答】解：若在1层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在2层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在3层，则所有参会人员爬楼距离之和为； 若在4层，则所有参会人员爬楼距离之和为， ∵， ∴会议室地点应设在3层， 故选：C． 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，有理数的运算，根据数轴可知，，进而可得出，，，，再根据有理数的加减法，绝对值的意义以及有理数乘法法则即可得出，，． 【完整解答】解：根据数轴可知：，， ∴，，，， ∴，， 则①③④正确， 故选：C． 13．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【完整解答】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）两根钢条，一根长，一根长．要把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长是 m，最少可以截成 段． 【答案】 12 5 【思路引导】本题主要考查了有理数运算的应用，最大公因数等知识点，根据题意，可计算出36与24的最大公因数，即是每根小段的最长，然后再用36除以最大公因数加上24除以最大公因数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案，熟练掌握利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根钢条可以截成的段数是解决此题的关键． 【完整解答】∵，， ∴最大公因数是， ∴每段最长， （段）， 答：每段最长，最少可以截成5段， 故答案为：12，5． 15．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0，则的值为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，由题意可得、、中两个数为负数，一个数为正数，再分三种情况：当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；当为正数，、为负数时；分别求解即可得解． 【完整解答】解：∵、、均为非零有理数，若这三个数的和小于0，积大于0， ∴、、中两个数为负数，一个数为正数， 当为正数，、为负数时，此时， 当为正数，、为负数时，此时； 当为正数，、为负数时，此时； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 16．（24-25七年级上·陕西西安·期末）柿子饼是产于陕西省的优质特色农产品，深受顾客的喜爱．某经销商借助直播平台销售柿子饼，经过一段时间的销售，发现每天能销售100千克左右的柿子饼．表格为一月份第一周销售柿子饼的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，解答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_____，该天的销售量是_____千克． (2)借助直播平台销售需要缴纳费用，每天的收费由固定300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过100千克，则不足的部分每千克罚款2元；超过100千克，则超过的部分每千克奖励1元．求该经销商这周需要支付给直播平台的费用． 【答案】(1)三， (2)一周的总费用为元 【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题关键是理解题意，列出算式． (1)先求出表格中所有数的绝对值，然后比较大小，找出绝对值最小的就是销售量最接近100千克的一天，然后求出该天的销售量即可； (2)分别计算每天的费用，再把这七天的费用相加即可． 【完整解答】（1）解：，， 这一周中，销售量最接近100千克的是星期三，该天的销售量为：(千克)， 故答案为：三，； （2）解：星期一：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元，费用为：(元)； 星期二：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元，费用为：(元)； 星期三：销售量为：(千克)，超过100千克，罚款元，费用为：(元)； 星期四：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元，费用为：(元)； 星期五：销售量为：(千克)，不足100千克，罚款元，费用为：(元)； 星期六：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元，费用为：(元)； 星期日：销售量为：(千克)，超过100千克，奖励元，费用为：(元)； 一周的总费用为：(元)． 17．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【完整解答】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【思路引导】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【完整解答】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）定义：对于任意的有理数，． (1)探究性质： ①例：_____；_____ ②你还可试几个看看，请用含，的式子表示出的一般规律： 当时，_____当时，_____． (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值： ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，则这个值的和的最小值是_____． 【答案】(1)①；；②； (2)①；② 【思路引导】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解． （1）①根据定义即可求解； ②举例，，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值； （2）①直接利用规律进行求解； ②由已知可知：要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的，从而得到：这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、，从而得出结论． 【完整解答】（1）解：①， ， ， 故答案为：；． ②例如：， ， 通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值， 用a，b的式子表示出一般规律为． 故答案为：；． （2）解：①； ②将，，，……，，，这个连续的整数，任意分为组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，求出，组数代入后可求得个的值，要使这个的值的和最小，则个负数要保留最多且它们的和最小，个非负数要保留最少且它们的和最小，而两个有理数进行已知新定义的运算，结果总是两个数中较大的， 这个负数保留的个的值且使它们的和最小应该为：、、、、，个非负数保留个的值且使它们的和最小应该是：、、、、， 这个值的和的最小值是， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． (2)在数轴上标出与点的距离为2的点（用不同于、的字母表示），并写出这些点表示的数． (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与5对应的点重合，回答以下问题： ①10对应的点与_______对应的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数． (4)如图，半径为2的圆上有一点落在数轴上点处，求将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)1， (2)见解析，和3 (3)①；②点为，点为 (4) 【思路引导】本题主要考查数轴有关知识，熟练掌握数轴上两点间的距离，中心对称，点的平移规律左移减右移加是解题的关键． （1）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示1，表示为，即可求解； （2）与点距离为2的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （3）①先求出和5的中点，再根据中心对称列式计算即可得解；②根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （4）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论． 【完整解答】（1）解：根据题意，点表示的数为1， 则点表示的数为． （2）解：数轴与点的距离为2的点分别为和， 即数轴中和为所求， 其中点表示3，点表示． （3）解：① 故答案为：； ②、两点之间的距离为2024 由①可知，对折点的数为2，且在的左侧 点为，点为． （4）解：圆的半径 圆的周长 将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为． 22．（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图，水平跑道和的长度分别为米和米，斜坡跑道的长度为米．小明从点出发沿跑道慢跑到达点，小东同时从点出发沿跑道慢跑到达点．他们在水平跑道慢跑的速度都是米分，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的倍． (1)小明在上坡跑道的慢跑速度是______米/分． (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程． (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间． 【答案】(1)50 (2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； (3)当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟 【思路引导】（1）根据题意，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，即可求解； （2）根据题意，24秒后小东在上，相遇点在上，设相遇时，用时分，根据题意列出一元一次方程即可求解； （3）依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分，分相遇前后两种情况分别讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【完整解答】（1）解：依题意，米分， 故答案为：． （2）解：∵（分），（分）， ∴24秒后小东在上，相遇点在上， 设相遇时，用时分，依题意得： 解得： ∴（米） 答：当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程为米； （3）解：由（2）可知相遇点距离点（米） 依题意，当小明和小东相距米时，设小明慢跑的时间为分， ①两人相遇前，小明在线段上，小东在线段上， 依题意：， 解得：， ②两人相遇后，则小明在线段上，小东在线段上， 依题意，， 解得：， 综上所述，当小明和小东相距米时，求小明慢跑的时间为分钟或分钟． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$