（预习篇）第六讲 有理数的减法（2个知识点+5个考点讲练+难度分层训练 共40题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第六讲 有理数的减法 （2个知识点+5个考点讲练+难度分层训练 共40题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数的减法法则 3 知识点02：高频常考易错点 3 新知学习考点讲练 3 考点讲练01：有理数减法运算的一般计算 3 考点讲练02：有理数减法运算与数轴的综合问题 5 考点讲练03：有理数减法运算与绝对值、相反数的综合问题 7 考点讲练04：较复杂的有理数减法运算问题 8 考点讲练05：有理数减法的实际应用 9 优选题培优训练 11 基础夯实 巩固知识 11 培优提升 能力强化 14 知识教学点 理解掌握有理数的减法法则：学生应能够准确理解并熟练掌握有理数的减法法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。 掌握有理数减法的运算技巧：学生应能够掌握同号数相减、异号数相减以及整数与分数相减的运算技巧，并能准确地进行计算。 能力训练点 逻辑思维能力：通过学习有理数的减法法则，学生应能够发展逻辑思维能力，理解事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想。 运算能力：通过大量的有理数减法运算练习，学生应能够提高运算的准确性和速度，为后续的数学学习打下坚实的基础。 转化思想：学生应能够体会减法运算转化为加法运算的转化思想，并能够在解题过程中灵活运用这种思想。 到数学知识体系的完整美和解题过程的逻辑美。 一场跨越正负世界的数学冒险 在一个充满奇幻色彩的数学世界里，七年级的小明和他的数学老师张老师即将开始一场关于有理数减法的冒险。这个数学世界分为正负两个领域，小明将在这个世界里学会如何跨越这两个领域，掌握有理数的减法。 一、正负世界的初识 小明站在一个巨大的分界线前，这条线将数学世界分为正负两个领域。张老师告诉他，这条线就是零的界限，左边是负数世界，右边是正数世界。小明好奇地观察着这两个世界，发现它们各自有着独特的规则和特点。 二、减法冒险的开始 张老师给小明一个任务：从正数世界的+5出发，减去负数世界的-3，看看会到达哪里。小明兴奋地接受了任务，跨过分界线，进入了负数世界。 在负数世界里，小明遇到了一个难题：他不知道该如何减去一个负数。张老师微笑着告诉他：“在数学世界里，减去一个数其实就相当于加上这个数的相反数。”小明恍然大悟，他找到了-3的相反数+3，然后将其与+5相加。 三、跨越正负世界的计算 小明开始进行计算：+5（来自正数世界）加上+3（来自负数世界的-3的相反数）。他小心翼翼地将两个数相加，得到了结果+8。张老师赞赏地点点头，告诉小明他已经成功地完成了这次冒险，现在正站在正数世界的+8位置上。 四、冒险的启示 小明兴奋地分享了他的冒险经历。他明白了有理数减法的实质其实就是将减法转化为加法。他也深刻体会到在数学世界里，正负两个领域虽然看似不同，但其实是紧密相连、相互转化的。 通过这次冒险，小明不仅掌握了有理数的减法法则，还学会了用转化的思想来解决问题。他意识到数学不仅仅是一堆数字和公式，更是一个充满奇幻和惊喜的世界。 在结束这次冒险之前，张老师告诉小明：“数学世界还有很多未知等待你去探索。记住，每一次冒险都是一次学习的机会，只有保持好奇心和探索精神，你才能在数学的道路上走得更远。”小明点点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 知识点01：有理数的减法法则 有理数的减法法则主要基于一个核心概念：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。这个法则适用于所有有理数，包括整数、分数和正负数。以下是具体的解释和示例： 同号数相减：当两个有理数的符号相同时，即它们都是正数或都是负数，我们需要相减它们的绝对值。例如： ( -2 - (-6) ) = ( -2 + 6 ) = 4 ( 4.5 - 1.2 ) = 3.3 异号数相减：当两个有理数的符号不同时，即一个正数和一个负数，我们需要相加它们的绝对值，并用绝对值较大的数的符号作为结果的符号。例如： ( -8 - 5 ) = ( -8 + (-5) ) = -13 ( 9.6 - (-2.3) ) = ( 9.6 + 2.3 ) = 11.9 知识点02：高频常考易错点 在学习和应用有理数减法法则时，学生容易犯以下错误： 符号处理不当：在异号数相减时，学生容易忘记使用绝对值较大的数的符号作为结果的符号，导致符号判断错误。 绝对值计算错误：在同号数相减或异号数相减时，学生可能会错误地计算绝对值，导致结果不准确。 混淆加法和减法：学生有时会将减法误认为是加法，特别是在处理异号数相减时，容易忘记加上减数的相反数。 整数与分数相减时的转换错误：在将整数转化为分数时，学生可能会忘记与分数的分母保持一致，导致计算结果错误。 考点讲练01：有理数减法运算的一般计算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【训练1】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (2) ， (4) 【训练2】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【训练3】（24-25七年级上·山东济南·期末）计算：． 考点讲练02：有理数减法运算与数轴的综合问题 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【训练1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【训练2】（24-25七年级上·山西长治·期中）数轴上点的位置如图所示． 观察数轴，解答下列问题： (1)点表示的有理数为______；表示有理数“”的点是点______，两点之间的距离为______个单位长度． (2)在数轴上用点分别表示出有理数和． (3)将表示的四个有理数用“”连接的结果为______． (4)这五个点表示的数中绝对值最小的点为点______． 【训练3】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上标出与点的距离为的点（用不同于、的字母表示）； (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与对应的点重合，解答以下问题： 对应的点与______对应的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数； (4)如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上点处，将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后，点在数轴上所表示的数为______．（结果保留） 考点讲练03：有理数减法运算与绝对值、相反数的综合问题 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【训练1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【训练2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【训练3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 考点讲练04：较复杂的有理数减法运算问题 【典例精讲】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【训练1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (2) (4) (5)） 【训练2】（22-23七年级上·广东珠海·阶段练习）计算： (1) (2) 【训练3】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算题： (1) （﹣4）+33． (2)． (2) （﹣11）﹣（﹣7.5）﹣（+9）+2.5． (4)． 考点讲练05：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月________日，达到________万人．游客人数超过万人的天数有________天． (3)在国庆七天，该风景区内平均每天接待多少游客？（结果精确到千位） 【训练1】（24-25七年级上·全国·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在球门前来回跑动．如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：），，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员在这段时间内共跑了多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），那么对方球员挑射极有可能破门．请问在这段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【训练2】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）中秋节小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚），回家后小雨仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计如下表（单位：g）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量/g 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值/g ______ ______ ______ (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为（）g，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明． 【训练3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为__________元； 【课本再现】下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页的部分内容（销售中的盈亏）．某商店以60元的相同售价卖出两件不同的衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是__________（填“盈利、亏损”或“不赢不亏”）； 【解决问题】 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件300元的价格购进了200件，并以每件450元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是21000元，请你算一算降价前共售出多少件？ 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数、甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为189，297，365，561，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是、6、．已知、两点间的距离是8，，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知点在数轴上对应的有理数分别为，，则点的距离为 5．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）A、B为同一数轴上的两点，，若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 6．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，点在数轴上表示的数是3，点到点的距离是7个单位长度，则点在数轴上表示的数是 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）分别是数轴上两个不同点所表示的有理数，且，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数； (2)两点相距多少个单位长度？ (3)点从点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作2024次后，求点表示的数． 9．（24-25七年级上·广西来宾·期中）如图所示，在数轴上有三个点，，，回答下列问题： (1)求，两点间的距离； (2)若点与点的距离是6，求点所表示的数； (3)若点与点的距离是，请你求出点所表示的数．（用字母表示） 10．（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)判断：263______万象数；495______万象数（填“是”或“不是”）； (2)填空：当时，______；______； (3)小明经过观察、思考，发现并提出猜想：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除，小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 11．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 14．（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 16．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 17．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 18．（24-25七年级上·河北邢台·期末）点A，O，B是数轴上从左至右的三个点，其中O与原点重合，点A表示的数为，且 (1)求出点B所表示的数，并在如图所示的数轴上把点B描出来； (2)已知C是数轴上的一个点，且，求点C表示的数． 19．（24-25七年级上·山东青岛·期末）“柳庭风静人眠昼，昼眼人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为． (1)请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差； (2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由； (3)任意四位回文数的回自差最大能被正整数______整除． 20．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋．一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数． (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲胜，若白棋的位置离原点更近，则乙胜，那么第三局结束时获胜的是谁？此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少？ (3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲 有理数的减法 （2个知识点+5个考点讲练+难度分层训练 共40题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数的减法法则 3 知识点02：高频常考易错点 3 新知学习考点讲练 3 考点讲练01：有理数减法运算的一般计算 3 考点讲练02：有理数减法运算与数轴的综合问题 6 考点讲练03：有理数减法运算与绝对值、相反数的综合问题 10 考点讲练04：较复杂的有理数减法运算问题 13 考点讲练05：有理数减法的实际应用 17 优选题培优训练 21 基础夯实 巩固知识 21 培优提升 能力强化 27 知识教学点 理解掌握有理数的减法法则：学生应能够准确理解并熟练掌握有理数的减法法则，即“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。 掌握有理数减法的运算技巧：学生应能够掌握同号数相减、异号数相减以及整数与分数相减的运算技巧，并能准确地进行计算。 能力训练点 逻辑思维能力：通过学习有理数的减法法则，学生应能够发展逻辑思维能力，理解事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想。 运算能力：通过大量的有理数减法运算练习，学生应能够提高运算的准确性和速度，为后续的数学学习打下坚实的基础。 转化思想：学生应能够体会减法运算转化为加法运算的转化思想，并能够在解题过程中灵活运用这种思想。 到数学知识体系的完整美和解题过程的逻辑美。 一场跨越正负世界的数学冒险 在一个充满奇幻色彩的数学世界里，七年级的小明和他的数学老师张老师即将开始一场关于有理数减法的冒险。这个数学世界分为正负两个领域，小明将在这个世界里学会如何跨越这两个领域，掌握有理数的减法。 一、正负世界的初识 小明站在一个巨大的分界线前，这条线将数学世界分为正负两个领域。张老师告诉他，这条线就是零的界限，左边是负数世界，右边是正数世界。小明好奇地观察着这两个世界，发现它们各自有着独特的规则和特点。 二、减法冒险的开始 张老师给小明一个任务：从正数世界的+5出发，减去负数世界的-3，看看会到达哪里。小明兴奋地接受了任务，跨过分界线，进入了负数世界。 在负数世界里，小明遇到了一个难题：他不知道该如何减去一个负数。张老师微笑着告诉他：“在数学世界里，减去一个数其实就相当于加上这个数的相反数。”小明恍然大悟，他找到了-3的相反数+3，然后将其与+5相加。 三、跨越正负世界的计算 小明开始进行计算：+5（来自正数世界）加上+3（来自负数世界的-3的相反数）。他小心翼翼地将两个数相加，得到了结果+8。张老师赞赏地点点头，告诉小明他已经成功地完成了这次冒险，现在正站在正数世界的+8位置上。 四、冒险的启示 小明兴奋地分享了他的冒险经历。他明白了有理数减法的实质其实就是将减法转化为加法。他也深刻体会到在数学世界里，正负两个领域虽然看似不同，但其实是紧密相连、相互转化的。 通过这次冒险，小明不仅掌握了有理数的减法法则，还学会了用转化的思想来解决问题。他意识到数学不仅仅是一堆数字和公式，更是一个充满奇幻和惊喜的世界。 在结束这次冒险之前，张老师告诉小明：“数学世界还有很多未知等待你去探索。记住，每一次冒险都是一次学习的机会，只有保持好奇心和探索精神，你才能在数学的道路上走得更远。”小明点点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 知识点01：有理数的减法法则 有理数的减法法则主要基于一个核心概念：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”。这个法则适用于所有有理数，包括整数、分数和正负数。以下是具体的解释和示例： 同号数相减：当两个有理数的符号相同时，即它们都是正数或都是负数，我们需要相减它们的绝对值。例如： ( -2 - (-6) ) = ( -2 + 6 ) = 4 ( 4.5 - 1.2 ) = 3.3 异号数相减：当两个有理数的符号不同时，即一个正数和一个负数，我们需要相加它们的绝对值，并用绝对值较大的数的符号作为结果的符号。例如： ( -8 - 5 ) = ( -8 + (-5) ) = -13 ( 9.6 - (-2.3) ) = ( 9.6 + 2.3 ) = 11.9 知识点02：高频常考易错点 在学习和应用有理数减法法则时，学生容易犯以下错误： 符号处理不当：在异号数相减时，学生容易忘记使用绝对值较大的数的符号作为结果的符号，导致符号判断错误。 绝对值计算错误：在同号数相减或异号数相减时，学生可能会错误地计算绝对值，导致结果不准确。 混淆加法和减法：学生有时会将减法误认为是加法，特别是在处理异号数相减时，容易忘记加上减数的相反数。 整数与分数相减时的转换错误：在将整数转化为分数时，学生可能会忘记与分数的分母保持一致，导致计算结果错误。 考点讲练01：有理数减法运算的一般计算 【典例精讲】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数加法计算法则求解即可； （3）根据有理数减法计算法则求解即可； （4））根据有理数减法计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解；； （3）解：； （4）解；． 【训练1】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【训练2】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【完整解答】（1）解： ； （2）解： . 【训练3】（24-25七年级上·山东济南·期末）计算：． 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键．先去括号再进行计算，即可得出答案． 【完整解答】解：原式， 考点讲练02：有理数减法运算与数轴的综合问题 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】(1)，8； (2)或11 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离，有理数的加减法： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． 【完整解答】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 【训练1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴是分析问题的工具，如图1，小浩在草稿纸上画了一条数轴进行如下探究： (1)折叠纸面，使数轴上表示3的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合； (2)折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ①表示5表示的点与 表示的点重合； ②若数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数是多少？ (3)如图2，在数轴上剪下表示和7的两点间的一段纸带，并把纸带两端朝纸带的正中间处折叠，使表示和7的两点重合，则两条折痕处对应的点所表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)①；②，； (3)和． 【思路引导】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点对应的数的绝对值． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与重合； （2）根据对称性找到折痕的点为1，①设5表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②根据数轴上A、B两点之间距离为6可得A到折痕的点距离为3，由此得出A、B两点表示的数； （3）根据题意列式计算即可求解． 【完整解答】（1）解：∵数轴上表示3的点与表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）∵折叠纸面，若使表示的点与4表示的点重合： ∴折痕表示的点为1， ①设5表示的点与数a表示的点重合， 则， 解得：； 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间距离为6（点A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）由题意可得，，， 即两条折痕处对应的点所表示的数分别是和． 【训练2】（24-25七年级上·山西长治·期中）数轴上点的位置如图所示． 观察数轴，解答下列问题： (1)点表示的有理数为______；表示有理数“”的点是点______，两点之间的距离为______个单位长度． (2)在数轴上用点分别表示出有理数和． (3)将表示的四个有理数用“”连接的结果为______． (4)这五个点表示的数中绝对值最小的点为点______． 【答案】(1)4；B；5.5 (2)图见解析 (3) (4) 【思路引导】本题考查数轴与有理数： （1）根据点在数轴上的位置，以及两点间的距离公式进行作答，求解即可； （2）在数轴上表示出点即可； （3）根据数轴上的点表示的数右边比左边的大判断即可； （4）根据绝对值的意义，结合数轴进行判断即可． 【完整解答】（1）解：由图可知：点表示的有理数为，表示有理数“”的点是点； 两点之间的距离为； 故答案为：4；B；5.5 （2）在数轴上表示点，如图： （3）由图可知：； （4）由图可知，点到原点的距离最小， ∴绝对值最小的点为点． 【训练3】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）已知在纸面上有一数轴，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)已知、两点相距个单位长度，请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上标出与点的距离为的点（用不同于、的字母表示）； (3)折叠纸面，若数轴上对应的点与对应的点重合，解答以下问题： 对应的点与______对应的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数； (4)如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上点处，将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后，点在数轴上所表示的数为______．（结果保留） 【答案】(1)点表示的数为，则点表示的数为； (2)见解析； (3)；点为，点为； (4)． 【思路引导】（）根据数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数可知表示，表示为，即可求解； （）与点距离为的点，即左右两边距离两个单位长度的点，也就是数为和的点； （）先求出和的中点，再根据中点列式计算即可得解； 根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解； （）先求出圆的周长，再根据平移规律即可得出结论； 本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，有理数的加减，熟练掌握掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】（1）解：根据题意，点表示的数为，则点表示的数为：， （2）解：如图， 数轴与点的距离为的点分别为和， 即数轴中和为所求； （3）解：，， 故答案为：； 由可知，对折点的数为，且在的左侧， ∴点为，点为； （4）解：∵圆的半径， ∴圆的周长， ∴将圆在数轴上向右滚动（无滑动）一周后点所处的位置的点在数轴上所表示的数为， 故答案为：． 考点讲练03：有理数减法运算与绝对值、相反数的综合问题 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【思路引导】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【完整解答】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 【训练1】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【完整解答】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 【训练2】（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 【完整解答】解：， 故答案为：． 【训练3】（24-25七年级上·浙江金华·期中）【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 【思路引导】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． 【完整解答】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 考点讲练04：较复杂的有理数减法运算问题 【典例精讲】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）先算括号里面的，再根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的加减法法则计算即可． 此题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【训练1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5)） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】（1）直接运用有理数减法运算法则即可解答； （2）运用有理数加减混合运算解答即可； （3）运用有理数加法运算律简便运算即可； （4）运用有理数加减混合运算解答即可； （5）运用有理数加减混合运算解答即可. 【完整解答】（1）解： . （2）解： ， . （3）解： . （4）解： . （5）解： . 【考点评析】本题主要考查了有理数加法、有理数减法、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律等知识点，掌握运算法则及运算律是解答此题的关键. 【训练2】（22-23七年级上·广东珠海·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）首先去括号，然后按照有理数加减法法则计算； （2）首先根据加法交换律把分母相同的分数放在一起，然后再按照有理数加减法法则计算． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式===． 【考点评析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数加减法的法则及有理数的加法交换律是解题关键 ． 【训练3】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）计算题： (1)（﹣4）+33． (2)． (3)（﹣11）﹣（﹣7.5）﹣（+9）+2.5． (4)． 【答案】(1)29 (2) (3)－10 (4)4 【思路引导】（1）根据有理数的加法运算即可求出答案． （2）根据有理数的加减运算即可求出答案． （3）根据有理数的加减运算即可求出答案． （4）根据有理数的加减运算以及绝对值的性质即可求出答案． 【完整解答】（1）解：（﹣4）+33 ＝﹣4+33 ＝29． （2） （3）（﹣11）﹣（﹣7.5）﹣（+9）+2.5 ＝﹣11+7.5﹣9+2.5 ＝﹣11﹣9+7.5+2.5 ＝﹣20+10 ＝﹣10． （4） 【考点评析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型． 考点讲练05：有理数减法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为________万人． (2)七天假期里，游客人数最多的是10月________日，达到________万人．游客人数超过万人的天数有________天． (3)在国庆七天，该风景区内平均每天接待多少游客？（结果精确到千位） 【答案】(1) (2)2；；5； (3)万人 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减法的实际应用，正负数的实际应用，求一个数的近似数： （1）将加上，10月1，2，3的变化量可求解； （2）分别计算每天的游客数量即可得到答案； （3）把（2）中每天的游客量相加，即可求解． 【完整解答】（1）解：万人， ∴10月3日的人数为万人， 故答案为：； （2）解：10月1日的人数为万人， 10月2日的人数为万人， 10月3日的人数为：万人， 10月4日的人数为：万人， 10月5日的人数为：万人， 10月6日的人数为：万人， 10月7日的人数为：万人， ∴七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数超过万人的天数有5天； 故答案为：2；；5； （3）解：万人， ∴该风景区在这八天内大约一共接待了万游客． 【训练1】（24-25七年级上·全国·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在球门前来回跑动．如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：），，，，，，，（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）． (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员在这段时间内共跑了多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），那么对方球员挑射极有可能破门．请问在这段时间内，对方球员有几次挑射破门的机会？ 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2) (3)对方球员有三次挑射破门的机会． 【思路引导】本题考查了正数和负数的实际应用，有理数加减法的实际应用： （1）把所给守门员跑动情况相加，若结果为0，则守门员最后回到了球门线上，否则守门员最后没有回到了球门线上； （2）把所给守门员跑动情况的绝对值相加即可得到答案． （2）根据有理数的加减法，可得每次与球门线的距离即可得到答案． 【完整解答】（1）解： ， 答：守门员最后回到了球门线上； （2）解： ， 答：守门员在这段时间内共跑了； （3）解：第一次离开球门线的距离为10米， 第二次离开球门线的距离为米， 第三次离开球门线的距离为米， 第四次离开球门线的距离为米， 第五次离开球门线的距离为米， 第六次离开球门线的距离为米， 第七次离开球门线的距离为米， 第八次离开球门线的距离为米， 答：对方球员有三次挑射破门的机会． 【训练2】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）中秋节小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚），回家后小雨仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计如下表（单位：g）： 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量/g 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 (1)小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整： 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值/g ______ ______ ______ (2)小雨看到包装说明上标记的总质量为（）g，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明． 【答案】(1)；；； (2)合格，见详解 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，正负数的应用，根据题意列式计算是解题的关键． （1）根据（1）中第2、4、6个计数即可得出基准质量，然后对比即可． （2）求（1）的误差是否为之内，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：∵，，， ∴标准质量为70 g ∴，，， 第枚 1 2 3 4 5 6 质量 1 故答案为： ；；； （2）解：， 所以这盒月饼在总质量是（克）， 而这盒月饼的标准质量是（）克，因此是合格的． 【训练3】（24-25七年级上·江西南昌·期末）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为__________元； 【课本再现】下面是人教版初中数学教科书七年级上册第135页的部分内容（销售中的盈亏）．某商店以60元的相同售价卖出两件不同的衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是__________（填“盈利、亏损”或“不赢不亏”）； 【解决问题】 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件300元的价格购进了200件，并以每件450元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是21000元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】20；亏损；150件 【思路引导】本题主要考查了有理数运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“售价成本”求解即可； （2）设盈利的进价为元，亏损的进价为元，根据“其中一件盈利，另一件亏损”分别列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案； （3）设降价前共售出件，则降价后售出件，根据题意列出关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【完整解答】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元）． 故答案为：20； （2）设盈利的进价为元，亏损的进价为元， ， 解得 ，， ∴，即卖这两件衣服总的是亏损了． 故答案为：亏损； （3）设降价前共售出件，则降价后售出件，根据题意，可得 ， 解得， 答：降价前共售出150件． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）老师给出一个三位数，让同学们将它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数、甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别为189，297，365，561，老师判定4个结果中有且只有一个正确，则四位同学中答对的为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数的减法计算，新的三位数的十位数字与原来三位数的十位数字相同，那么根据减法计算法则可得所得的结果的十位数字那么为0，要么为9，据此可得答案． 【完整解答】解：由题意得新的三位数的十位数字与原来三位数的十位数字相同， 则新的三位数减去原来的三位数时，所得的结果的十位数字那么为0，要么为9， ∴四人中，只有乙的结果符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是、6、．已知、两点间的距离是8，，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和有理数的加法．先根据两点间的距离公式求出a，再利用绝对值的意义求出c． 【完整解答】解：∵、两点间的距离是8，B表示的数为6， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数的减法法则，相反数，熟练掌握用字母表示法则是解题的关键． 根据减法法则以及相反数的定义判断即可． 【完整解答】解：有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数， 用字母表示为， 所以甲同学表示正确． 故选：A． 4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知点在数轴上对应的有理数分别为，，则点的距离为 【答案】 【思路引导】本题考查了两点之间的距离，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键． 利用两点之间的距离公式计算即可． 【完整解答】解：点在数轴上对应的有理数分别为，， 点的距离为， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）A、B为同一数轴上的两点，，若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查数轴与有理数，根据两点间的距离公式，分点在点左侧和右侧两种情况，进行求解即可． 【完整解答】解：∵，点A所表示的数是， ∴点表示的数为：或； 故答案为：或． 6．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，点在数轴上表示的数是3，点到点的距离是7个单位长度，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】10或 【思路引导】本题考查了数轴上两点的距离，理解题意是解题的关键． 根据数轴上两点的距离分析，分类讨论，即在点的左侧和右侧都有一个点与的距离为 7，进而即可求得答案． 【完整解答】解：点在数轴上表示的数是，或， 故答案为：10或． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查有理数的减法和加减法混合运算，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）运用有理数的加减法法则运算即可； （2）运用有理数的加减法法则运算即可； （3）运用有理数的加减法法则先算括号内的数，再按顺序运算即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）分别是数轴上两个不同点所表示的有理数，且，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数； (2)两点相距多少个单位长度？ (3)点从点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作2024次后，求点表示的数． 【答案】(1)， (2)3个单位长度 (3)1007 【思路引导】本题考查了绝对值，数轴上两点之间的距离，点的运动规律，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴得出，结合a和b的绝对值，即可解答； （2）用点B表示的数减去点A表示的数，即可解答； （3）先根据题目所给的移动方法，归纳出每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度，结合数轴上两点之间距离的表示方法，即可解答． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴，； （2）解：∵，， ∴； ∴两点相距3个单位长度； （3）解：将向右平移记为正，向左平移记为负， ∴向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，可表示为：， 向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，可记为：， ∴每移动两次为一组，每组等价于向右移动一个单位长度， ， ∴操作2024次后，P点表示的数为． 9．（24-25七年级上·广西来宾·期中）如图所示，在数轴上有三个点，，，回答下列问题： (1)求，两点间的距离； (2)若点与点的距离是6，求点所表示的数； (3)若点与点的距离是，请你求出点所表示的数．（用字母表示） 【答案】(1)4 (2)4或 (3)或 【思路引导】本题考查了数轴及绝对值，有理数的减法，列代数式； （1）利用右边减左边的数可求出两点间的距离； （2）分两种情况在点的右边或在点的左边求解； （3）分两种情况在点的右边或在点的左边求解． 【完整解答】（1）解：，两点间的距离是， （2）若点与点的距离是，则点表示的数是或， （3）点与点的距离是 ∴点表示的数为或． 10．（24-25七年级上·山东济宁·期末）阅读材料并回答问题： 对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），若其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数，，所以154的“格致数”为387． (1)判断：263______万象数；495______万象数（填“是”或“不是”）； (2)填空：当时，______；______； (3)小明经过观察、思考，发现并提出猜想：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除，小明的猜想是否正确？先判断，再说明理由． 【答案】(1)不是，是 (2)862，369 (3)小明的猜想正确，理由见解析 【思路引导】本题考查有理数的运算，整式的加减运算： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）设，则，求出进行判断即可． 【完整解答】（1）解：，故263不是万象数，，故495万象数； 故答案为：不是，是； （2）∵， ∴， ； 故答案为：862，369； （3）小明的猜想正确，理由如下： 设，则， ∴ ， ∵均为整数， ∴能被9整除． 11．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【完整解答】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 12．（24-25七年级上·广东深圳·期中）月球表面的白天平均温度零上126℃记作，夜间平均温度零下150℃，记作，则月球表面白天与夜间的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的意义及有理数的减法运算，熟练掌握正负数的实际意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解 【完整解答】解：由题意得：； 故选：C ． 13．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 年元月日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（   ） A．纽约是年元月日 B．巴黎是年元月日 C．东京是年元月日 D．上海是年元月日 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，熟练掌握有理数加减法则是解题的关键； 根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解； 【完整解答】解：A、纽约与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为：年元月日， 时间表示正确，不符合题意； B、巴黎与北京的时差为， ， 故纽约此时时间为巴黎是年元月日， 时间表示错误，符合题意； C、东京与北京的时差为， ， 故东京此时时间为年元月日， 时间表示正确，不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是年元月日， 时间表示正确，不符合题意； 故选：B 14．（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【思路引导】本题考查了有理数的加法、正数和负数，正确理解题意是解题关键．根据题意，（米），为90米表示观测点A比观测点C高90米，所以（米），所以（米），即观测点A比观测点D高170米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点E高230米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点F高180米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点G高265米，因为（米），所以（米）． 【完整解答】解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或 【思路引导】本题考查两点间的距离，分点在点的左侧和右侧，求出点表示的数即可． 【完整解答】解：∵A、B站台分别位于，处， ∴， ∵， ∴当点在点的左侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为或站台； 故答案为：或． 16．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】0 【思路引导】本题考查了数轴．由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合． 【完整解答】解：∵，， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字0重合． 故答案为：0． 17．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【思路引导】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【完整解答】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 18．（24-25七年级上·河北邢台·期末）点A，O，B是数轴上从左至右的三个点，其中O与原点重合，点A表示的数为，且 (1)求出点B所表示的数，并在如图所示的数轴上把点B描出来； (2)已知C是数轴上的一个点，且，求点C表示的数． 【答案】(1)3，见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了分类思想的应用以及数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）先求出AB的长度，再根据两点间的距离公式即可在数轴上把点B表示出来． （2）分两种情况：①点C在点A的左边；②点C在点A和点B的中间；进行讨论即可求解． 【完整解答】（1）解：因为O与原点重合，点A表示的数为， 所以． 因为， 所以， 所以点B所表示的数是； 点B的位置如图； （2）解：由（1）知， 所以． 情况1：当点C在点A的左边时，点C表示的数为； 情况2：当点C在点A的右边时，点C表示的数是． 综上，点C表示的数为或． 19．（24-25七年级上·山东青岛·期末）“柳庭风静人眠昼，昼眼人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为． (1)请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差； (2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由； (3)任意四位回文数的回自差最大能被正整数______整除． 【答案】(1)101；99 (2)任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由见解析 (3)27 【思路引导】本题主要考查了整式的加减计算，有理数的减法计算，新定义： （1）根据新定义可确定最小的三位回文数为，再根据回自差的定义计算求解即可； （2）可设一个三位回文数为，其中a、b都为不超过9的自然数，则可求出回自差为，据此可得结论； （3）可设该四位回文数的千位数字为x，百位数字为y，则可求出回自差为，据此可得结论； 【完整解答】（1）解：由题意得，最小的三位回文数为， ∴最小的三位回文数的回自差为； （2）解：任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由如下： 设一个三位回文数为，其中a、b都为不超过9的自然数，则该三位回文数为， ∴该三位回文数的回自差为， ∵a、b都是整数， ∴也是整数， ∴该三位回文数的回自差一定是9的倍数， ∴任意三位回文数的回自差最大能被9整除； （3）解：设该四位回文数的千位数字为x，百位数字为y，则该四位回文数为， ∴该四位回文数的回自差为， ∵x、y都是整数， ∴是整数， ∴该四位回文数的回自差一定是27的倍数， ∴任意四位回文数的回自差最大能被27整除。 20．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴上放置一枚黑棋．一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对的数分别是和5的位置上，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋、乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，手势相同为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度． 前四局如下表： 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 石头 剪刀 布 布 乙的手势 石头 布 石头 (1)从起始位置开始，求第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数． (2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲胜，若白棋的位置离原点更近，则乙胜，那么第三局结束时获胜的是谁？此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是多少？ (3)若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4，则乙第四局的手势是什么？此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 【答案】(1)第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和 (2)第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是 (3)乙第四局的手势是剪刀；此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度． 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，有理数的加减的应用； （1）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算即可求解； （2）根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，计算第二、三局，黑棋对应点数即可求解； （3）白棋在数轴上的位置所对应的数是4，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为，结合题意可得第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀，进而根据黑棋和白棋的位置，可得在数轴上的距离，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， 答：第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别为和； （2）∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， 答：第三局结束时获胜的是甲，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是； （3）解：由（2）可得，第三局结束时白棋在数轴上的位置所对应的数为， ∵若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是4， ∴，即白棋向左移动2个单位长度， ∴第四局是乙赢，则乙第四局的手势是剪刀 ∴， ∴此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是， 此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度； 答：乙第四局的手势是剪刀；此时黑棋和白棋在数轴上的位置相距个单位长度 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$