（预习篇）第五讲 有理数的加法（3个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共36题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第五讲 有理数的加法 （3个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共36题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数加法 3 知识点02：高频易错知识点 3 知识点03：针对常考易错点给出的学习建议 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：有理数加法运算 4 考点讲练02：有理数加法中的符号问题 5 考点讲练03：有理数加法在生活中的应用 6 考点讲练04：有理数加法运算律 7 优选题培优训练 9 基础夯实 巩固知识 9 培优提升 能力强化 11 知识与能力目标 掌握有理数加法的运算法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 理解加法的运算律：加法交换律：a + b = b + a。 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 能利用法则熟练地进行有理数的加法运算，并会用运算律进行简便计算。 过程与方法目标 通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法。 培养学生观察、比较和概括的思维能力，以及自主总结有理数加法步骤的能力。 一次穿越冰与火的数学之旅 在一个寒冷的冬日，七年级的小明和他的数学老师张老师一起踏上了一次特别的数学之旅。这次的目的地是探索有理数的加法世界，一个充满冰与火的神秘之地。 一、冰原初探 故事开始于一片广袤的冰原，张老师告诉小明，这片冰原就是有理数的世界。每一个冰块都代表一个有理数，有的冰块大，有的冰块小，它们分别对应着有理数的绝对值大小。而冰块上的正负号则代表了有理数的正负。 张老师首先向小明展示了两个正数冰块（比如+3和+5）。他解释说，当两个正数相加时，就像两块同向的冰块合并在一起，结果是一个更大的正数冰块（即+3 + 5 = +8）。小明很快理解了这一点，并兴奋地指着两块正数冰块说：“我明白了，这就像是把它们放在一起，变得更大了！” 二、火焰挑战 接下来，张老师带小明来到了一个炽热的火焰之地。这里的火焰代表着负数，与冰原上的冰块形成了鲜明的对比。张老师向小明展示了一个正数冰块和一个负数火焰（比如+3和-2）。他解释说，当正数与负数相加时，就像冰块与火焰相遇，会相互抵消一部分。抵消的程度取决于两者的绝对值大小。 小明看着冰块和火焰相互接触，一部分冰块被火焰融化，最终剩下一个较小的正数冰块（即+3 + (-2) = +1）。他惊叹道：“这真是太神奇了！就像冰块被火焰融化了一样。” 三、混合冒险 在掌握了正数与正数、正数与负数的加法之后，张老师带小明来到了一片混合区域。这里有正数冰块、负数火焰，还有零点的平静之地。张老师告诉小明，这里的数学规则更加复杂，但也更加有趣。 小明遇到了一个负数火焰和一个更小的负数火焰（比如-3和-5）。他明白了当两个负数相加时，就像两块反向的火焰合并在一起，结果是一个更大的负数火焰（即-3 + (-5) = -8）。 接着，他又遇到了一个正数冰块和一个零点的平静之地（比如+4和0）。他轻松地理解了当一个数与零相加时，结果仍然是该数本身（即+4 + 0 = +4）。 四、总结与启示 通过这次穿越冰与火的数学之旅，小明深刻理解了有理数的加法法则。他明白了有理数加法的本质就是合并或抵消不同大小和方向的数值。同时，他也体会到了数学世界的奇妙和魅力。 在回到现实世界之前，张老师告诉小明：“数学就像这次旅行一样，充满了未知和挑战。但只要你保持好奇心和探索精神，就一定能发现更多的数学奥秘。”小明点了点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 知识点01：有理数加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点02：高频易错知识点 运算顺序出错：在进行有理数加法运算时，需要特别注意运算顺序，尤其是当运算中包含多个加数时。有些同学可能会忽略运算顺序，导致计算结果出错。 符号处理不当：在异号两数相加时，需要特别注意符号的处理。有些同学可能会忽略符号的作用，导致计算结果出错。 绝对值计算错误：在有理数加法中，涉及到绝对值的计算。有些同学可能会在计算绝对值时出现错误，导致整个计算结果出错。 忽略0的作用：在有理数加法中，0是一个特殊的数。有些同学可能会忽略0的作用，导致在运算过程中出现错误。 知识点03：针对常考易错点给出的学习建议 牢记运算顺序：在进行有理数加法运算时，需要按照先乘除后加减的顺序进行计算。 正确处理符号：在异号两数相加时，需要特别注意符号的处理。确保取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 仔细计算绝对值：在有理数加法中，需要仔细计算绝对值。确保绝对值的计算结果正确无误。 重视0的作用：在有理数加法中，0是一个特殊的数。需要特别注意0的作用，避免在运算过程中出现错误。 考点讲练01：有理数加法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【训练2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【训练3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (2) ， (4) 考点讲练02：有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【训练2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【训练3】（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (3) 化简：． 考点讲练03：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一包盐上标：净重克，这包盐重是503克，说明其合格．( )（判断对错） 【训练1】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【训练2】（24-25六年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【训练3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表： 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少？ (2)五次操作后，无人机共飞行了多少？ 考点讲练04：有理数加法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ． 【训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在数轴上与表示的点的距离为10个单位长度的点表示的数是（   ） A．11 B．9 C．或11 D．9或 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，现给出下列4个式子：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 5．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    6．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则 0．（填“＞”、“＜”或“＝”）      7．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）定义一个新运算，已知，则 ． 8．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是人工用面做成的各种样式的馒头，因花式各样而命名为花馍，闻喜花馍于2006年入选山西省级非物质文化遗产名录，2008年被列为第二批国家级非物质文化遗产，一山西特产店出售某种包装的闻喜花馍，其标准质量为“”，现选取5盒进行质量检测，结果如下（单位：）：519，473，528，532，445其中不符合标准质量的有 盒． 9．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 10．（24-25七年级上·云南文山·期中）财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 11．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，一只甲虫在的方格(每个方格边长均为1)上沿着网格线爬行．规定：在如图所示的网格中，向上(或向右)爬行记为“”，向下(或向左)爬行记为“”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．例如：从A到B记为，从D到C记为． 思考与应用： (1)从B到C记为( ___，___ )，从C到D记为( ___ ，___ )； (2)若甲虫从A到P的爬行路线依次为→→，请在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫爬行过的总路程S． 12．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 16．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 17．（23-24七年级上·河南商丘·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 18．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 注：为提高外卖小哥收入，现有送单补贴方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单位不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．例如：周二送单补贴为，404＋46＝184（元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求外卖小哥周四的送单补贴为多少？ (2)外卖小哥每天的工资由底著30元加上送单补贴构成，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲 有理数的加法 （3个知识点+4个考点讲练+难度分层训练 共36题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：有理数加法 3 知识点02：高频易错知识点 3 知识点03：针对常考易错点给出的学习建议 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：有理数加法运算 4 考点讲练02：有理数加法中的符号问题 6 考点讲练03：有理数加法在生活中的应用 8 考点讲练04：有理数加法运算律 12 优选题培优训练 15 基础夯实 巩固知识 15 培优提升 能力强化 20 知识与能力目标 掌握有理数加法的运算法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 理解加法的运算律：加法交换律：a + b = b + a。 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 能利用法则熟练地进行有理数的加法运算，并会用运算律进行简便计算。 过程与方法目标 通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法。 培养学生观察、比较和概括的思维能力，以及自主总结有理数加法步骤的能力。 一次穿越冰与火的数学之旅 在一个寒冷的冬日，七年级的小明和他的数学老师张老师一起踏上了一次特别的数学之旅。这次的目的地是探索有理数的加法世界，一个充满冰与火的神秘之地。 一、冰原初探 故事开始于一片广袤的冰原，张老师告诉小明，这片冰原就是有理数的世界。每一个冰块都代表一个有理数，有的冰块大，有的冰块小，它们分别对应着有理数的绝对值大小。而冰块上的正负号则代表了有理数的正负。 张老师首先向小明展示了两个正数冰块（比如+3和+5）。他解释说，当两个正数相加时，就像两块同向的冰块合并在一起，结果是一个更大的正数冰块（即+3 + 5 = +8）。小明很快理解了这一点，并兴奋地指着两块正数冰块说：“我明白了，这就像是把它们放在一起，变得更大了！” 二、火焰挑战 接下来，张老师带小明来到了一个炽热的火焰之地。这里的火焰代表着负数，与冰原上的冰块形成了鲜明的对比。张老师向小明展示了一个正数冰块和一个负数火焰（比如+3和-2）。他解释说，当正数与负数相加时，就像冰块与火焰相遇，会相互抵消一部分。抵消的程度取决于两者的绝对值大小。 小明看着冰块和火焰相互接触，一部分冰块被火焰融化，最终剩下一个较小的正数冰块（即+3 + (-2) = +1）。他惊叹道：“这真是太神奇了！就像冰块被火焰融化了一样。” 三、混合冒险 在掌握了正数与正数、正数与负数的加法之后，张老师带小明来到了一片混合区域。这里有正数冰块、负数火焰，还有零点的平静之地。张老师告诉小明，这里的数学规则更加复杂，但也更加有趣。 小明遇到了一个负数火焰和一个更小的负数火焰（比如-3和-5）。他明白了当两个负数相加时，就像两块反向的火焰合并在一起，结果是一个更大的负数火焰（即-3 + (-5) = -8）。 接着，他又遇到了一个正数冰块和一个零点的平静之地（比如+4和0）。他轻松地理解了当一个数与零相加时，结果仍然是该数本身（即+4 + 0 = +4）。 四、总结与启示 通过这次穿越冰与火的数学之旅，小明深刻理解了有理数的加法法则。他明白了有理数加法的本质就是合并或抵消不同大小和方向的数值。同时，他也体会到了数学世界的奇妙和魅力。 在回到现实世界之前，张老师告诉小明：“数学就像这次旅行一样，充满了未知和挑战。但只要你保持好奇心和探索精神，就一定能发现更多的数学奥秘。”小明点了点头，心中充满了对数学的热爱和期待。 知识点01：有理数加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点02：高频易错知识点 运算顺序出错：在进行有理数加法运算时，需要特别注意运算顺序，尤其是当运算中包含多个加数时。有些同学可能会忽略运算顺序，导致计算结果出错。 符号处理不当：在异号两数相加时，需要特别注意符号的处理。有些同学可能会忽略符号的作用，导致计算结果出错。 绝对值计算错误：在有理数加法中，涉及到绝对值的计算。有些同学可能会在计算绝对值时出现错误，导致整个计算结果出错。 忽略0的作用：在有理数加法中，0是一个特殊的数。有些同学可能会忽略0的作用，导致在运算过程中出现错误。 知识点03：针对常考易错点给出的学习建议 牢记运算顺序：在进行有理数加法运算时，需要按照先乘除后加减的顺序进行计算。 正确处理符号：在异号两数相加时，需要特别注意符号的处理。确保取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 仔细计算绝对值：在有理数加法中，需要仔细计算绝对值。确保绝对值的计算结果正确无误。 重视0的作用：在有理数加法中，0是一个特殊的数。需要特别注意0的作用，避免在运算过程中出现错误。 考点讲练01：有理数加法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果， 那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴，即，； ∴， 故选：B． 【训练1】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算得，即可得到答案． 【完整解答】解：根据题意得， 故选：B． 【训练2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【完整解答】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 【训练3】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1) ； (2)． (3)， (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数减法计算法则求解即可； （3）根据有理数加减法计算法则求解即可； （4）根据有理数加减法计算法则求解即可． 【完整解答】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练02：有理数加法中的符号问题 【典例精讲】（24-25七年级上·河南郑州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了结合数轴确定式子的大小，结合题意确定各式的大小即可．由数轴可知，，，然后逐项分析判断即可． 【完整解答】解：由数轴可知，，， 所以，，，， 故选项A、B、D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意． 故选：C． 【训练1】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【完整解答】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 【训练2】（24-25七年级上·云南昭通·期中）如果，且，那么p，q，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，绝对值的含义，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据题目条件分析出，，且，再进一步即可比较大小． 【完整解答】解：∵，且， ∴，，且， ∴，， ∴． 故选：D． 【训练3】（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值以及有理数的加减法运算，熟练利用有理数的加法和减法法则判断两个有理数的和或差的符号是解决问题的关键． （1）利用有理数的加法和减法法则判断即可； （2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算． 【完整解答】（1）解：由，在数轴上的位置，可知，且， 根据有理数加法法则得， 根据有理数减法法则得， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ． 考点讲练03：有理数加法在生活中的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一包盐上标：净重克，这包盐重是503克，说明其合格．( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，先算出一包盐的合格范围，再分析出503在合格范围内，即可作答． 【完整解答】解：∵一包盐上标：净重克， ∴（克），（克）， ∵ ∴这包盐合格， 故原说法是正确的； 故答案为：√ 【训练1】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练在东西方向的足球场上画了一条直线，要求球员在这条直线上进行折返跑训练．如果约定向西为正，向东为负，将某球员的一组折返跑练习记录如下（单位：米）：，，，，，，，，，． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员训练过程中，最远处离出发点多少米； (3)球员在这一组练习过程中，共跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米 (2)在最远处离出发点 (3)球员在一组练习过程中，跑了米． 【思路引导】本题考查的是有理数加减法的应用． （1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【完整解答】（1）解： (米)； 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点米； （2）每段路程跑完距离出发点为： 第一段，， 第二段，， 第三段，， 第四段，， 第五段，， 第六段，， 第七段，， 第八段，， 第九段，， 第十段，， ∴在最远处离出发点； （3） (米)， 答：球员在一组练习过程中，跑了米． 【训练2】（24-25六年级上·上海·期中）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【思路引导】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【完整解答】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【训练3】（24-25七年级上·河南郑州·期末）无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表： 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少？ (2)五次操作后，无人机共飞行了多少？ 【答案】(1)无人机飞行中的最大高度是 (2)五次操作后，无人机共飞行了 【思路引导】本题主要考查了正负数的意义、有理数加法运算、绝对值的应用等知识，理解相关知识并灵活运用是解题关键． （1）结合正数和负数的意义，利用有理数加法法则求得每次操作后的飞行高度，即可获得答案； （2）将每次飞行操作的飞行高度取绝对值并相加，即可获得答案． 【完整解答】（1）第1次操作后：， 第2次操作后：， 第3次操作后：， 第4次操作后：， 第5次操作后：， 所以，无人机飞行中的最大高度是； （2）由题可知：， 所以五次操作后，无人机共飞行了． 考点讲练04：有理数加法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【完整解答】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【完整解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数加法运算律，求一个数的绝对值等知识点，运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先将小数化成分数，再计算绝对值，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （3）运用有理数加法运算律进行简便运算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·阅读理解，阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【完整解答】解：原式 ． 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列不能表示3与的和的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数加法运算．根据题意列出算式并结合有理数加法运算法则，逐项分析判断即可． 【完整解答】解：A、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； B、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； C、，能表示3与的和，故本选项不符合题意； D、，只表示的是4和的和，不能表示3与的和，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在数轴上与表示的点的距离为10个单位长度的点表示的数是（   ） A．11 B．9 C．或11 D．9或 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离及有理数的加减，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和数轴上两点之间的距离． 根据数轴特点和有理数的加减运算法则进行计算即可． 【完整解答】解：当点在左边时，这个点表示的数为； 当点在右边时，这个点表示的数为， 所以这个点表示的数为或， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，现给出下列4个式子：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数加减运算符号判断，根据数轴判断式子符号，根据数轴表示数的方法得到，，所以，，． 【完整解答】解：因为，， 所以，所以①正确； ，所以②正确； ，所以③错误； ，所以④错误． 故选：C． 4．（24-25七年级上·云南昭通·期末）对用生活实例解释其意义正确的是（   ） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上，随着冷空气的到来，下午气温下降了．现在的气温是零下 D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了水，接着他又往水池注入水，现在水池里的水比原来多了 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【完整解答】解：A、由题意，，现在该物体在数轴上对应点的数为，该选项错误，不符合题意； B、，故他这两个月合计亏了1万元，符号题意； C、，故现在的气温是零下，该选项错误，不符合题意； D、，故现在水池中的水比原来少了，该选项错误，不符合题意； 故选B． 5．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    【答案】 【思路引导】根据数轴上点的位置得到，则，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【完整解答】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：①，②． 【考点评析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，正确根据题意得到以及a、b、c的符号是解题的关键． 6．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则 0．（填“＞”、“＜”或“＝”）      【答案】＞ 【思路引导】根据题意可得：，且，然后利用有理数的加法法则，进行计算即可解答． 【完整解答】解：由题意得： ，且， ∴， 故答案为：＞． 【考点评析】本题考查了有理数大小比较，数轴，有理数的加法法则，熟练掌握有理数大小比较，以及有理数的加法法则是解题的关键． 7．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）定义一个新运算，已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【完整解答】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）闻喜花馍是山西省运城市闻喜县的传统名点，是人工用面做成的各种样式的馒头，因花式各样而命名为花馍，闻喜花馍于2006年入选山西省级非物质文化遗产名录，2008年被列为第二批国家级非物质文化遗产，一山西特产店出售某种包装的闻喜花馍，其标准质量为“”，现选取5盒进行质量检测，结果如下（单位：）：519，473，528，532，445其中不符合标准质量的有 盒． 【答案】1 【思路引导】本题考查了正数和负数，掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是关键．根据标准质量为，得出高于550g小于450g的面粉是不合格的即可． 【完整解答】解：因为面粉每袋的标准质量为， 所以当每袋面粉的质量在之间时，合格， 故445g不符合要求， 其中不符合标准质量的有1盒． 故答案为：1． 9．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【完整解答】解： ． 10．（24-25七年级上·云南文山·期中）财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【思路引导】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【完整解答】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 11．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，一只甲虫在的方格(每个方格边长均为1)上沿着网格线爬行．规定：在如图所示的网格中，向上(或向右)爬行记为“”，向下(或向左)爬行记为“”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．例如：从A到B记为，从D到C记为． 思考与应用： (1)从B到C记为( ___，___ )，从C到D记为( ___ ，___ )； (2)若甲虫从A到P的爬行路线依次为→→，请在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫爬行过的总路程S． 【答案】(1)， (2)图形见解析 (3)18 【思路引导】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）只向右走格；先向右走格，再向下走格，由此写出即可． （2）由题可知从A处右移格，上移2格，再右移格，上移格，右移格，下移格即是甲虫P处的位置； （3）由题可知：先向右移动格，向上移动格，向右移动格，再向右移动格，向下移动格，最后向左移动格，向下移动格，把移动的距离相加即可． 【完整解答】（1）解：从B到C记为，从C到D记为， 故答案为：，； （2）在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置如图所示： （3）解：该甲虫爬行过的总路程为：． 12．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【完整解答】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 13．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可知：，结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置、有理数的加减运算及绝对值进行求解即可． 【完整解答】解：由数轴知，，， ①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④∵， ∴，故④错误； ∴正确的个数有2个， 故选：B． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数、，的中点为P，若，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（    ） ①当时，点O与点P重合；    ②当时，点O在线段上； ③当点O在点P的左侧时，；    ④当点O在线段上时，； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点中点计算公式，有理数加法中的符号问题，绝对值的几何意义，根据中点可得表示的数是，再根据及，的大小，判断，，，三点所表示的数的正负，从而将进行判断． 【完整解答】解：∵的中点为， ∴表示的数是，， 当时，则，两点表示的数互为相反数，此时，即：此时点表示的数是0， ∴点O与点P重合，故①正确； 当时， ∴ ∴表示的数是负数， ∴点O在点P右侧，即点O不在线段上，故②错误； 当点O在点P的左侧时，则， ∴，故③正确； 当点O在线段上时，则， ∴，故④错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 本周五天后这种小麦库存（   ）吨 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【思路引导】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，利用有理数的加法运算是解题的关键． 根据有理数的加减法运算，可得答案． 【完整解答】解：吨， 故本周五天后这种小麦库存415吨， 故选：C． 16．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【完整解答】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·河南商丘·期末）一个两位数的十位上的数字是，个位上的数字是，我们把十位上的数字与个位上的数字的和叫做这个两位数的“衍生数”，记作，即，如现有个两位数和，且满足，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查对题干“衍生数”的理解，记的个位数和十位数分别为、，记的个位数和十位数分别为、，再分类讨论个位数相加为0和10的情况即可解题． 【完整解答】解：记的个位数和十位数分别为、，记的个位数和十位数分别为、， ， ，或者，， ①， ②， 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示的点与表示_____的点之间的距离； (2)当取最小值时，可以取整数______； (3)当_____时，的值最小，最小值为____； 【答案】(1) (2)，0，1 (3)，7 【思路引导】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离计算，有理数加减计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值，而当时，有最小值0，则当时，有最小值，据此求出最小值即可． 【完整解答】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：； （2）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴x可以取整数，0，1． 故答案为：，0，1； （3）解：表示数轴上表示数x的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，7． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 注：为提高外卖小哥收入，现有送单补贴方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单位不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．例如：周二送单补贴为，404＋46＝184（元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求外卖小哥周四的送单补贴为多少？ (2)外卖小哥每天的工资由底著30元加上送单补贴构成，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)252元 (2)1500元 【思路引导】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）按工资的计算方法列式计算即可； （2）根据工资的计算方法列式计算即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得： 周四送单补贴为，404＋106+48＝252， 答：该外卖小哥周四送单补贴为252元； （2）由题意，得： （元， 答：该外卖小哥这一周工资收入1500元． 20．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数加法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后再计算即可； （2）先化小数为分数，然后再运用有理数加法运算律以及运算法则计算即可； （3）先化小数为分数，然后再运用有理数加法运算律以及运算法则计算即可； （4）运用有理数加法运算律以及运算法则计算即可． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$