第02讲 有理数加减运算与简便计算（核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业）讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加减运算与简便计算核心知识，系统梳理加法法则（同号相加取同号、异号相加取大号等）、加法运算律（交换律、结合律及凑整技巧）、减法法则（减变加及两变一不变）、加减混合运算步骤，构建从基础到综合的递进学习支架。 资料亮点在于5个易错辨析精准突破符号判断等问题，11个典例涵盖运算、符号问题、生活应用（如温度变化、时差计算）及新定义题型，通过实际情境培养数学眼光，易错点分析提升运算能力（数学思维），生活应用强化模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第02讲 有理数加减运算与简便计算 （核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数加法法则 口诀：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取大号，大减小值；加0不变。 同号两数相加：符号不变，绝对值相加。 例：， 异号两数相加： 绝对值相等（互为相反数）：和为0。 例： 绝对值不等：取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值。 例：， 一个数加0：仍得原数。 【知识点02】加法运算律（简便计算专用） 加法交换律： 加法结合律： 常用凑整技巧：相反数凑0、同号结合、凑整结合、同分母分数结合。 【知识点03】有理数减法法则（重中之重） 减法变加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式： 两变一不变：减号变加号，减数变相反数；被减数不变。 例：， 【知识点04】有理数加减混合运算 步骤： 1.把所有减法统一转化为加法； 2.写成省略加号和括号的和式； 3.利用运算律简便计算（优先凑0、凑整、同号合并）。 例： 易错点1：异号加法符号判断错误 ❌ 错例：（正确），很多学生误算成 ✅ 辨析：异号相加是大减小，不是绝对值相加，符号跟绝对值大的数走。 易错点2：减法变号不彻底（最常见） ❌ 错例： ✅ 正解： 辨析：减去负数 = 加正数，一定要双重变号。 易错点3：省略括号后看错符号 式子 ❌ 错误：把中间符号乱改、混淆加减 ✅ 正确读法：负6、正3、负5、正2的和 易错点4：混淆“相反数”和“绝对值” 互为相反数的两数和为0；绝对值相等的数不一定互为相反数（如同正数）。 易错点5：连减运算乱用运算律 ❌ ✅ 辨析：连减添括号，括号内符号要全部变号。 【题型一】有理数加法运算 【例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 (5) (6) 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ； （3）解∶原式； （4）解∶原式 ； （5）解∶原式 ； （6）解∶原式 ． 【变式1】．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)-15 (2)4.8 【知识点】有理数加法运算 【分析】此题考查有理数加法计算，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）根据同号两数相加，取相同加数的符号，并把绝对值相加计算即可； （2）根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式3】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． 首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】解： ． 故选：． 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式1】．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键． 【变式2】．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各组运算结果，符号为负的有__________个． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法法则，理解法则正确计算是解题的关键．分别计算每个算式的结果，并判断结果的符号是否为负． 【详解】解：（1），符号为负； （2），符号为负； （3），符号不为负； （4），符号为负。 故答案为：3． 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 【例4】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是______． 【答案】8 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，利用有理数加法法则，异号两数相加时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：根据题意得， 即中午的气温是， 故答案为：8． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数加法的应用，理解题意是解题关键．在温度计上找出加的结果，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现有1克，2克，5克的砝码各1个，用天平可以称出__________种不同质量的物品． 【答案】8 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，熟练掌握组合分类方法是解题和关键． 将1克、2克、5克的砝码分成使用1个砝码，使用2个砝码，使用3个砝码，3种情况，多个砝码分加法（放在一个天平盘里）与减法（分放在两盒天平盘里），防止重复或遗漏． 【详解】解：1克，2克，5克， （克）， （克）， （克）， （克）， （克）． 共8种. 故答案为：8． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某足球守门员练习折返跑，若以球门线为基准，向前跑记作正数，返回跑记作负数，一段时间内，他的跑动情况记录如下（单位：m）：（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)这段时间内，这位守门员一共跑动多少米？ 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)12米 (3)这位守门员一共跑动54米 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出所有数据的和，根据和的情况进行判断即可； （2）求出每次跑动距离门线的距离即可得出结果； （3）将所有数据的绝对值进行相加，即可得出结果． 【详解】（1）解：； 故守门员最后回到了球门线上． （2）解：第一次跑动距离门线：， 第二次跑动距离门线：， 第三次跑动距离门线：， 第四次跑动距离门线：， 第五次跑动距离门线：， 第六次跑动距离门线：， 第七次跑动距离门线：， 故：守门员离开球门线的最远距离达12米； （3）（米）； 答：这位守门员一共跑动54米． 【题型四】有理数加法运算律 【例5】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【例6】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】2 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 将分母相同的分数进行加减即可． 【详解】解： ． 【例7】.（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】．在计算时通常转化成，这个变形的依据是（   ） A．移项 B．加法交换律 C．加法结合律 D．乘法分配律 【答案】B 【知识点】有理数加法运算律 【分析】将减法变成加法，即可判断变形的依据是加法交换律． 【详解】解： 显然，用了加法交换律． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】解： ． 【变式3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，仿照题例使用拆项法解答即可求解，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【题型五】有理数的减法运算 【例8】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查有理数加减法运算，能准确理解并运用有理数加减法运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据减法法则变形后，再进行加减运算即可； （2）原式根据减法法则进行计算即可； （3）原式根据减法法则进行计算即可； （4）原式根据减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中） __________． 【答案】10 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算和有理数的加减混合运算，解决本题的关键是根据有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据有理数的减法法则把减法转化为加法，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)2 (3)11 (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)0 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是按照有理数减法的计算法则进行计算． 根据减一个数等于加上这个数的相反数来计算各题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例9】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）1月20日，南京喜迎2026年第二场雪．如图是鼓楼区的天气预报“最高气温，最低气温，体感温度”．那么这一天的体感温度比最低气温低（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据最低温度减去体感温度，计算求解即可． 【详解】解：这一天的体感温度比最低温度低：， 故选：A． 【例10】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）课本第章《阅读》中介绍了关于古希腊数学家丢番图年龄的有趣数学问题，关于我国著名数学家华罗庚也有个有趣的题目：年是我国数学事业的奠基者和引领者华罗庚诞辰周年，他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是个从小到大连续自然数，请写出华罗庚的生日：______月______日． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数运算的应用，由诞辰周年可知，出生年份为，取后两位为，又因为他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是个从小到大连续自然数，所以三个数、、满足年份后两位、月份、日期数值从小到大递增，且月份和日期有效，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由诞辰周年可知，出生年份为，取后两位为， 因为他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是个从小到大连续自然数， 所以三个数、、满足年份后两位、月份、日期数值从小到大递增，且月份和日期有效， 故答案为：，． 【例11】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？ 【答案】8998.43米 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法和加法运算，熟练掌握有理数的加法和减法的运算法则是解决本题的关键．根据正数和负数表示两个相反意义的量和有理数的加减法运算法则，即可求解． 【详解】解：吐鲁番盆地的海拔高度是：， 珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高：（米）， 答：珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高8998.43米． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）“大雪”是二十四节气中的第21个节气，2025年“大雪”这一天齐齐哈尔、张家口、丹阳和温州的最低和最高气温如表： 城市 齐齐哈尔 张家口 丹阳 温州 最高气温 1 18 20 最低气温 4 7 其中温差最大的城市是（   ） A．齐齐哈尔 B．张家口 C．丹阳 D．温州 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的应用，分别计算每个城市的温差（最高气温减最低气温），然后比较大小，找出温差最大的城市即可． 【详解】解：∵温差 = 最高气温 - 最低气温, ∴齐齐哈尔温差， 张家口温差， 丹阳温差， 温州温差， ∵， ∴丹阳温差最大． 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是__________． 【答案】8 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，掌握有理数减法的运算法则是解题的关键． 用当天的最高气温减去最低气温即为当天的温差，由此可解． 【详解】解：． 故答案为：8． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【答案】(1)11 (2)周一温差最大，最大是． 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，准确理解题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用这天的最高气温减去最低气温即可求解； （2）分别求得本周中每天最高气温与最低气温的差，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得（度）， 故答案为：11； （2）解：周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ， 答：周一温差最大，最大是． 【题型七】有理数的加减混合运算 【例12】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）把统一为加法运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了把有理数加减混合运算统一为加法运算，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．根据有理数的减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算：． 故选：B． 【例13】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题重点考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用有理数加减运算法则、加法结合律和交换律计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【例14】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式1】．把算式写成代数和的形式：______． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；将算式中的减法运算转化为加法运算，写成代数和的形式即可． 【详解】解：算式写成代数和的形式：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的加减混合运算，关键是掌握运算法则． （1）先化简多重符号，再按从左到右的顺序计算即可； （2）先化简多重符号，再按从左到右的顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算（含带分数、小数及多层括号），解题的关键是熟练掌握去括号法则、加法运算律及分数与小数的运算技巧，遵循“先括号，后加减”的运算顺序． （1）计算，先去内层小括号，注意括号前是“”时符号变号；再将带分数化为假分数或统一分母，计算中括号内的结果；最后用括号外的带分数减去中括号结果，得出答案； （2）计算，利用加法结合律，先将后面的三个减数相加，再用被减数减去它们的和，简化小数减法运算，避免多次连续减导致错误． 【详解】（1） （2） 【题型八】省略加号和括号的形式 【例15】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，根据有理数的加减运算法则，减去一个数等于加上它的相反数，再省略加号和括号． 【详解】解：． 故选：A． 【例16】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）把写成省略括号的形式为_____． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查去括号，掌握加减运算法则是解题的关键．根据去括号法则，减去一个负数等于加上正数，加上一个负数等于减去正数，减去一个正数等于减去正数． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，根据加减运算中的符号法则，将算式中的括号和加号省略，转化为简洁的加减形式． 先把加减运算统一成加法运算，再省略括号和加号． 【详解】解：． 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）把写成省略加号和括号的形式为______． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，能把减法变成加法是解此题的关键，先根据有理数的减法法则把减法变成加法，再把加号和括号去掉即可． 【详解】解：把写成省略加号和括号的形式为， 故答案为： 【变式3】．（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． 【答案】9 【知识点】省略加法和括号的形式、有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，首先将减法转化为加法，再利用加法运算律进行计算，然后相加即可． 【详解】解：原式 ． 【题型九】有理数加减中的简便运算 【例17】．（22-23七年级上·江苏南通·阶段检测）计算：（    ） A． B． C． D．50 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据每两项的和为进行简便运算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题技巧是：通过观察找到每两项的和相同，利用每两项的和×项数进行简便计算． 【例18】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算______. 【答案】1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【例19】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的加减混合运，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．先计算与的和，与的和，再根据有理数的加法法则解题． 【详解】解:原式 ． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减法，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式3】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例18】．计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)解题过程见解析 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． 【详解】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误， 故答案为：四． （2）解：原式 ． 【题型十】有理数加减混合运算的应用 【例20】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（   ）． A． B． C． D．9 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【详解】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．上升记为正数，下降记为负数，列出算式计算即可． 【分析】解：∵早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了， ∴午夜气温为：， 故选：C． 【例21】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 【答案】6469 【知识点】有理数加减混合运算的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索．根据“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”，找到密文是2025，各个数位对应的数字即可求解． 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ， ， ， ． 故它对应的明文是6469． 故答案为：6469． 【例22】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，， (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ 【答案】(1)回到球门线位置 (2)米 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查有理数的应用，熟练掌握有理数的混合运算和绝对值的意义是解题的关键， （1）将每次移动的数值相加，总和为0则可以回到原点； （2）取每次移动的绝对值相加，即可得到总路程． 【详解】（1）解：由题可得： ， ∴守门员最后可以回到球门线的位置； （2）解：由题可得： ． ∴守门员全部练习结束后，共跑了米． 【变式1】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）根据世界食品物流组织（）制定的要求，某种冷冻食品的标准储存温度是，下列四个储藏室的温度中不适合储藏这种冷冻食品的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】根据题意先求出适合储存该冷冻食品的温度范围，再对比各选项温度判断即可． 【详解】解：∵该冷冻食品的标准储存温度是． ∴计算得适合储存的温度最低为，最高为， ∵不在到的范围内，其余选项温度都符合要求． ∴不适合储藏该冷冻食品的是A． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员最后正好回到球门线上； (2)这位守门员一共跑动62米． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义、有理数的加减法运算． （1）先根据有理数的加法进行计算，然后再判断即可； （2）求出所有数的绝对值的和即可． 【详解】（1）解：． 所以守门员最后正好回到球门线上； （2）解：． 所以这位守门员一共跑动62米． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站 上、下车人数 ； ； 0； ； ； ；0 (1)中间第4站上车的人数是______人，下车的人数是______人； (2)途中的6个站中，第_______站没有人上车，第______站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第1站时车上的人数为______人，离开中间第6站时车上的人数为_______人． 【答案】(1)1；7； (2)6；3； (3)26；12． 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正数和负数，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）观察表格中中间第4站的上、下车人数记录“；”，根据题意，正数表示上车人数，负数表示下车人数，所以中间第4站上车的人数是人，下车的人数是人． （2）查看各中间站的上、下车人数记录，中间第6站的上车人数记录为0，所以第站没有人上车；中间第3站的下车人数记录为0，所以第站没有人下车． （3）离开中间第1站时：起点站车上有21人，根据表格中的数据，依次计算出每站后车上人数，然后求出第6站后车上人数． 【详解】（1）解：中间第4站上车的人数是人，下车的人数是人． 故答案为：1，7． （2）解：查看各中间站的上、下车人数记录，中间第6站的上车人数记录为0，所以第站没有人上车；中间第3站的下车人数记录为0，所以第站没有人下车． 故答案为：6，3． （3）解：离开中间第1站时车上人数为：（人， 中间第2站后车上人数为：（人； 中间第3站后车上人数为：（人； 中间第4站后车上人数为：（人； 中间第5站后车上人数为：（人； 中间第6站后车上人数为：（人． 故答案为：26；12． 【题型十一】加减混合运算新定义问题 【例23】．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【例24】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 【答案】1 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据定义，，。当 时，若 不是整数，则 ，因此 ；若 是整数，则 ．由于题干中包含非整数，且 时通常考虑非整数情况，因此值为 1． 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 【例25】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． 【答案】(1)正；负；相加；等于这个数的绝对值 (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，求一个数的绝对值，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干所给的式子可得答案； （2）根据（1）所求可得，再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的绝对值； （2）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）设表示不超过x的最大整数，如，；计算的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，新定义，根据新定义可得，据此根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：C． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对有理数规定一种新运算“*”：，则_______． 【答案】0 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据新运算的定义，将，代入计算即可． 【详解】解：根据定义，． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． 【答案】(1)正；负；相加；等于这个数的绝对值 (2) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，求一个数的绝对值，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干所给的式子可得答案； （2）根据（1）所求可得，再计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的绝对值； （2）解： ． 1. 有理数加法核心：同号相加、异号相减、符号跟大数； 2. 有理数减法只有一个规则：化减为加，变减数为相反数； 3. 加减混合运算统一为加法后，利用运算律凑整、凑0，简化计算； 4. 计算易错根源全在符号，先定符号，再算数值，是有理数计算的万能解题步骤。 一看符号、二定规则、三变形式、四算结果 先判断加减类型 → 确定正负号 → 减法转加法 → 计算绝对值 一、单选题 1．比大2的数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】∵题目要求比大的数， ∴． 2．一个点从数轴上表示2的点开始，先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上点的平移，熟练掌握数轴上点的平移规律是解题的关键．利用了数轴上点的平移规律：数轴上的点向右平移加，向左平移减．据此计算即可得终点表示的数． 【详解】解：∵数轴上表示2的点，先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度， ∴， ∴终点表示的数是4， 故选：D． 3．一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（    ） A．少5 B．少10 C．多5 D．多10 【答案】B 【分析】根据有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】根据题意可得，， ∴他得到的结果比正确答案少10． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算法则，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 4．将算式写成省略括号和加号的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算．统一为加法运算后，可以省略加号和括号．去括号的法则是：括号前是“ ”号，去掉括号和它前面的“ ”号，括号里各项的符号都不变；括号前是“ ”号，去掉括号和它前面的“ ”号，括号里各项的符号都要改变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．已知，，且，则的值等于(    ) A．或 B．5或11 C．或11 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的加减运算、代数式求值等知识，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．由，可得；结合，可知、的值，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又∵， ∴或，； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 故选：D． 6．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 7．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 二、填空题 8．为了加强对青少年的消防安全教育，我校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯先上升16 米，再下降32 米，再上升40 米，此时云梯距离初始位置 _________ 米． 【答案】24 【分析】本题考查了相反意义的量，有理数的加减的应用，根据题意列出算式，计算即可得解，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 根据题意，上升为正，下降为负，列出算式，得到结果． 【详解】解： ∵上升为正，下降为负， 云梯先上升16米，再下降32米，再上升40 米， ∴（米）， ∴云梯距离初始位置24米． 故答案为：24． 9．若点A在数轴上表示的数为3，将点A向右移动5个单位长度，到达点B，则点B在数轴上表示的数为________． 【答案】8 【分析】本题考查数轴上点的平移规律，根据数轴上点的平移规律，向右移动为正方向，点B的坐标等于点A的坐标加上移动的距离． 【详解】解：点A表示的数为3，向右移动5个单位长度，根据数轴平移规则，点B表示的数为． 故答案为：8． 10．某地连续四天的最高、最低气温如下表，则当日温差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是周_____． 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 【答案】三 【分析】本题考查了有理数减法的应用，正确列式，熟练掌握运算法则是解题关键．利用最高气温减去最低气温计算每日温差，再比较大小即可得． 【详解】解：由表格可知，周一的日温差为， 周二的日温差为， 周三的日温差为， 周四的日温差为， 因为， 所以当日温差最大的是周三． 故答案为：三． 11．在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 【答案】或3 【详解】解：（1）当所求点在点A的左侧时，可得所求点表示的数为； （2）当所求点在点A的右侧时，可得所求点表示的数为， 故与点相距5个单位长度的点表示的数是或3． 12．计算__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先写成省略括号的形式，再根据有理数的加减混合运算法则逐步计算得到结果； （2）先写成省略括号的形式，再运用加法结合律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】（1）按有理数减法法则计算即可； （2）按有理数加减法法则计算即可； （3）将分母相同的先进行相加即可； （4）先将分数化为小数，并去掉绝对值符号和括号，再进行计算即可． 本题考查了有理数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 16．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 请仿照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得．解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 【详解】解： ． 17．现定义某种新运算：对任意两个有理数、，有．如：，． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查新定义运算，绝对值，有理数的加减运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义运算法则先计算，再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 【答案】(1)550，20 (2)1700 (3)不能 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别算出每一次巡查与监控中心的距离，再进行比较大小，即可作答． （2）要求无人机一共飞行的距离，只需要将每次飞行的距离的绝对值相加即可； （3）将所有飞行数据相加，结果不为0，结合（2）的结论以及无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，得不能回到监控中心，即可作答． 【详解】（1）解：第一次：（米）， 第二次：（米）， 第三次；（米）， 第四次：（米）， 第五次：（米）， 第六次；（米）， 第七次：（米）， 第八次：（米）， 第九次；（米）， 第十次：（米）， ∵ ∴出发后无人机在每次巡查中，无人机距监控中心最远550米，最近20米． （2）解：由题意得（米）， 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1700米； （3）解：（米）， 由（2）得无人机10次巡查共飞行1700米，第10次飞行结束后距离监控中心200米，返回监控中心还需飞行200米， ∴总飞行距离为米， ∵， ∴电池电量不足以支持其回到监控中心 19．泰州市中考体育考试项目中，男生需完成9个及以上引体向上为满分．体育老师分别抽查了甲、乙两个班各8名男生（编号为①－⑧号）进行引体向上测试，以9个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，成绩如下表所示∶ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 甲班男生成绩与标准个数的差 0 乙班男生成绩与标准个数的差 0 (1)抽查的16名男生中，做的次数最多的男生比最少的多做几个？ (2)通过数据，可以明显感觉乙班抽查的8名男生的成绩优于甲班，请计算说明乙班抽查的8名男生一共比甲班抽查的8名男生多做了多少个引体向上？ 【答案】(1)10个 (2)乙班比甲班多做了16个 【分析】（1）用表格中的最大数据减去最小数据，即可； （2）表格中乙班的八个数据相加的和减去甲班的八个数据的和，即可． 【详解】（1）解：（个）； 答：做的次数最多的男生比最少的多做10个； （2）（个）； 答：乙班比甲班多做了16个． 【点睛】本题考查有理数加减运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 有理数加减运算与简便计算 （核心知识+5易错辨析+11典例精讲+课后作业） 【知识点01】有理数加法法则 口诀：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取大号，大减小值；加0不变。 同号两数相加：符号不变，绝对值相加。 例：， 异号两数相加： 绝对值相等（互为相反数）：和为0。 例： 绝对值不等：取绝对值较大数的符号，大绝对值减小绝对值。 例：， 一个数加0：仍得原数。 【知识点02】加法运算律（简便计算专用） 加法交换律： 加法结合律： 常用凑整技巧：相反数凑0、同号结合、凑整结合、同分母分数结合。 【知识点03】有理数减法法则（重中之重） 减法变加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式： 两变一不变：减号变加号，减数变相反数；被减数不变。 例：， 【知识点04】有理数加减混合运算 步骤： 1.把所有减法统一转化为加法； 2.写成省略加号和括号的和式； 3.利用运算律简便计算（优先凑0、凑整、同号合并）。 例： 易错点1：异号加法符号判断错误 ❌ 错例：（正确），很多学生误算成 ✅ 辨析：异号相加是大减小，不是绝对值相加，符号跟绝对值大的数走。 易错点2：减法变号不彻底（最常见） ❌ 错例： ✅ 正解： 辨析：减去负数 = 加正数，一定要双重变号。 易错点3：省略括号后看错符号 式子 ❌ 错误：把中间符号乱改、混淆加减 ✅ 正确读法：负6、正3、负5、正2的和 易错点4：混淆“相反数”和“绝对值” 互为相反数的两数和为0；绝对值相等的数不一定互为相反数（如同正数）。 易错点5：连减运算乱用运算律 ❌ ✅ 辨析：连减添括号，括号内符号要全部变号。 【题型一】有理数加法运算 【例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．计算题： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【题型二】有理数加法中的符号问题 【例2】．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【变式1】．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【变式2】．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各组运算结果，符号为负的有__________个． （1）；（2）；（3）；（4）． 【题型三】有理数加法在生活中的应用 【例3】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【例4】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是______． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）现有1克，2克，5克的砝码各1个，用天平可以称出__________种不同质量的物品． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）某足球守门员练习折返跑，若以球门线为基准，向前跑记作正数，返回跑记作负数，一段时间内，他的跑动情况记录如下（单位：m）：（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)这段时间内，这位守门员一共跑动多少米？ 【题型四】有理数加法运算律 【例5】．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【例6】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【例7】.（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【变式1】．在计算时通常转化成，这个变形的依据是（   ） A．移项 B．加法交换律 C．加法结合律 D．乘法分配律 【变式2】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式3】.（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）数学白老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 ， 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： ． 【题型五】有理数的减法运算 【例8】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中） __________． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【题型六】有理数减法的实际应用 【例9】．（25-26七年级上·江苏南京·期末）1月20日，南京喜迎2026年第二场雪．如图是鼓楼区的天气预报“最高气温，最低气温，体感温度”．那么这一天的体感温度比最低气温低（　　） A． B． C． D． 【例10】．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）课本第章《阅读》中介绍了关于古希腊数学家丢番图年龄的有趣数学问题，关于我国著名数学家华罗庚也有个有趣的题目：年是我国数学事业的奠基者和引领者华罗庚诞辰周年，他的出生年份（这里只取后两位）、月份、日期恰好是个从小到大连续自然数，请写出华罗庚的生日：______月______日． 【例11】．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）“大雪”是二十四节气中的第21个节气，2025年“大雪”这一天齐齐哈尔、张家口、丹阳和温州的最低和最高气温如表： 城市 齐齐哈尔 张家口 丹阳 温州 最高气温 1 18 20 最低气温 4 7 其中温差最大的城市是（   ） A．齐齐哈尔 B．张家口 C．丹阳 D．温州 【变式2】．（25-26七年级上·江苏·期末）如图是某市1月1日的天气情况，则当天的温差（最高气温与最低气温的差）是__________． 【变式3】．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【题型七】有理数的加减混合运算 【例12】．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）把统一为加法运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例13】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算 (1)； (2)． 【例14】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）计算： (1)； (2) ． 【变式1】．把算式写成代数和的形式：______． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）计算： (1) (2) 【题型八】省略加号和括号的形式 【例15】．（25-26七年级上·江苏南通·期中）把算式改写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【例16】．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）把写成省略括号的形式为_____． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）把写成省略括号和加号的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）把写成省略加号和括号的形式为______． 【变式3】．（25-26七年级上·四川自贡·期末）计算：． 【题型九】有理数加减中的简便运算 【例17】．（22-23七年级上·江苏南通·阶段检测）计算：（    ） A． B． C． D．50 【例18】．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算______. 【例19】．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】．计算：．李华的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 李华发现自己的答案和同学们的不一样 (1)请指出他从第_______步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程． 【题型十】有理数加减混合运算的应用 【例20】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（   ）． A． B． C． D．9 【例21】．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9，若收到的密文是2025，那么通过解密，它对应的明文是______． 【例22】．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记为正数，他的记录如下（单位：米）：，，，，，，， (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，共跑了多少米？ 【变式1】．（22-23七年级上·江苏扬州·周测）根据世界食品物流组织（）制定的要求，某种冷冻食品的标准储存温度是，下列四个储藏室的温度中不适合储藏这种冷冻食品的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）；，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员一共跑了多少米？ 【变式3】．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第1站 中间第2站 中间第3站 中间第4站 中间第5站 中间第6站 终点站 上、下车人数 ； ； 0； ； ； ；0 (1)中间第4站上车的人数是______人，下车的人数是______人； (2)途中的6个站中，第_______站没有人上车，第______站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第1站时车上的人数为______人，离开中间第6站时车上的人数为_______人． 【题型十一】加减混合运算新定义问题 【例23】．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【例24】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 【例25】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）设表示不超过x的最大整数，如，；计算的值为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对有理数规定一种新运算“*”：，则_______． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义运算观察下列运算：，，，，，． (1)请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得 ，异号得 并把绝对值 ．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算， ． (2)计算：． 1. 有理数加法核心：同号相加、异号相减、符号跟大数； 2. 有理数减法只有一个规则：化减为加，变减数为相反数； 3. 加减混合运算统一为加法后，利用运算律凑整、凑0，简化计算； 4. 计算易错根源全在符号，先定符号，再算数值，是有理数计算的万能解题步骤。 一看符号、二定规则、三变形式、四算结果 先判断加减类型 → 确定正负号 → 减法转加法 → 计算绝对值 一、单选题 1．比大2的数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．一个点从数轴上表示2的点开始，先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，那么终点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（    ） A．少5 B．少10 C．多5 D．多10 4．将算式写成省略括号和加号的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的值等于(    ) A．或 B．5或11 C．或11 D．或 6．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 7．下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 二、填空题 8．为了加强对青少年的消防安全教育，我校邀请消防大队到校开展消防安全演练活动，消防员为全体同学展示云梯消防车高层救援，云梯先上升16 米，再下降32 米，再上升40 米，此时云梯距离初始位置 _________ 米． 9．若点A在数轴上表示的数为3，将点A向右移动5个单位长度，到达点B，则点B在数轴上表示的数为________． 10．某地连续四天的最高、最低气温如下表，则当日温差（当日最高气温减去当日最低气温）最大的是周_____． 日期 周一 周二 周三 周四 最高气温 最低气温 11．在数轴上的点表示的数是，则与点相距5个单位长度的点表示的数是_______． 12．计算__________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 14．计算∶ (1) (2) 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 请仿照上面的方法，计算：． 17．现定义某种新运算：对任意两个有理数、，有．如：，． (1)计算：； (2)计算：． 18．无人机的迅速发展，大幅提升了人们的生产效率．小米汽车引进具备新型分析功能的无人机，用于改进工作流程——以监控中心为原点，规定向东为正方向，对东西方向的汽车生产线进行往返巡查，实时监控生产线动态．以下是该无人机利用规划的10次巡查的飞行数据（单位：米）：，，，，，，，，，． 根据以上信息回答问题： (1)出发后无人机在这10次巡查中，无人机距监控中心最远____米，最近____米． (2)无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ (3)已知无人机飞行每1800米就需要回到监控中心更换电池，在第10次飞行结束以后，无人机能否回到监控中心？ 19．泰州市中考体育考试项目中，男生需完成9个及以上引体向上为满分．体育老师分别抽查了甲、乙两个班各8名男生（编号为①－⑧号）进行引体向上测试，以9个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，成绩如下表所示∶ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 甲班男生成绩与标准个数的差 0 乙班男生成绩与标准个数的差 0 (1)抽查的16名男生中，做的次数最多的男生比最少的多做几个？ (2)通过数据，可以明显感觉乙班抽查的8名男生的成绩优于甲班，请计算说明乙班抽查的8名男生一共比甲班抽查的8名男生多做了多少个引体向上？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $