（预习篇）第四讲 绝对值与相反数（2个知识点+9个考点讲练+难度分层训练 共47题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第四讲 绝对值与相反数 （2个知识点+9个考点讲练+难度分层训练 共47题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：绝对值 2 知识点02：相反数 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：绝对值的几何意义 4 考点讲练02：求一个数的绝对值 4 考点讲练03：绝对值非负性 5 考点讲练04：绝对值的其他应用 6 考点讲练05：有理数大小比较 7 考点讲练06：有理数大小比较的实际应用 7 考点讲练07：相反数的定义 8 考点讲练08：相反数的应用 9 考点讲练09：化简多重符号 10 优选题培优训练 11 基础夯实 巩固知识 11 培优提升 能力强化 12 知识与技能目标 理解绝对值的概念：明白绝对值是一个数到数轴上原点的距离，是一个非负的量。 掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 理解相反数的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，例如2和-2，而0的相反数是0。 理解相反数的几何意义，即表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 求数的绝对值和相反数：掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并能熟练进行运算。 比较两个负数的大小：明白绝对值大的负数反而小，如|-3| > |-2|，但-3 < -2。能够运用绝对值来比较两个负数的大小。 过程与方法目标 培养数感和符号感：通过运用“||”来表示一个数的绝对值，加强对数和符号的理解。 培养实践能力和创新意识：通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，发展学生的实践能力，并鼓励他们在实践中发现和总结规律，培养创新意识。 培养用语言表达方法的能力：通过对问题的思考和讨论，有条理地用语言表达解决问题的方法。 知识点01：绝对值 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km. 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多 少？它们的实际意义是什么？ 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 知识点02：相反数 成语故事《南辕北辙》讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30 km，以魏国为坐标原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来． 察这两个数，有什么相同和不同？ 像3.5和-3.5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 考点讲练01：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【训练1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【训练2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 考点讲练02：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【训练2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来： 0，，，，，． 考点讲练03：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，求的值． 【训练2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 考点讲练04：绝对值的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期末）某特色手工艺品店制作的一种手工艺品小摆件，标准重量为每个．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准重量的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，那么最接近标准重量的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【训练2】（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 考点讲练05：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·江西抚州·期中）在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小： (1)与； (2)与． 考点讲练06：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【训练2】（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点 则沸点最低的液体是（ ） A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 考点讲练07：相反数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【训练1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【训练2】（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 考点讲练08：相反数的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    【训练1】（24-25七年级上·吉林·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 考点讲练09：化简多重符号 【典例精讲】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数分别填在它所在的集合里：，，2004，，，，，，0，6.2 (1)正有理数集合{                                } (2)分数集合{                                    } (3)非负整数集合{                                } 【训练1】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 【训练2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，0，，，，，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． 1．（23-24七年级上·广西玉林·期末）下面四个数中比小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 3．（22-23七年级上·广西河池·期中）在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 5．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 7．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 8．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）画一条数轴，在数轴上表示出下面的有理数． ，，0，， ， 9．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 11．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）按如图所示的运算程序，当，时，输出的结果为（    ） A． B．6 C．10 D．12 13．（24-25七年级上·北京东城·期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 15．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是 ． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 18．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 20．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 绝对值与相反数 （2个知识点+9个考点讲练+难度分层训练 共47题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：绝对值 2 知识点02：相反数 3 新知学习考点讲练 4 考点讲练01：绝对值的几何意义 4 考点讲练02：求一个数的绝对值 5 考点讲练03：绝对值非负性 7 考点讲练04：绝对值的其他应用 8 考点讲练05：有理数大小比较 11 考点讲练06：有理数大小比较的实际应用 12 考点讲练07：相反数的定义 14 考点讲练08：相反数的应用 16 考点讲练09：化简多重符号 18 优选题培优训练 19 基础夯实 巩固知识 19 培优提升 能力强化 24 知识与技能目标 理解绝对值的概念：明白绝对值是一个数到数轴上原点的距离，是一个非负的量。 掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 理解相反数的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，例如2和-2，而0的相反数是0。 理解相反数的几何意义，即表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。 求数的绝对值和相反数：掌握求一个数的绝对值和相反数的方法，并能熟练进行运算。 比较两个负数的大小：明白绝对值大的负数反而小，如|-3| > |-2|，但-3 < -2。能够运用绝对值来比较两个负数的大小。 过程与方法目标 培养数感和符号感：通过运用“||”来表示一个数的绝对值，加强对数和符号的理解。 培养实践能力和创新意识：通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，发展学生的实践能力，并鼓励他们在实践中发现和总结规律，培养创新意识。 培养用语言表达方法的能力：通过对问题的思考和讨论，有条理地用语言表达解决问题的方法。 知识点01：绝对值 甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km. 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多 少？它们的实际意义是什么？ 我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示. 知识点02：相反数 成语故事《南辕北辙》讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30 km，以魏国为坐标原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来． 察这两个数，有什么相同和不同？ 像3.5和-3.5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如，-8的相反数是8，7的相反数是-7. 一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0. 考点讲练01：绝对值的几何意义 【典例精讲】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）已知下列各有理数：，，，． (1)请在数轴上标出这些数表示的点； (2)用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，数轴的应用，解题的关键是求出各个数的大小和在数轴上把各个数表示出来，注意：在数轴上右边的数总比左边的数大． （）先化简，再在数轴上确定表示各数的点的位置，然后在数轴上表示即可； （）右边的数总比左边的数大用“”连接起来即可． 【完整解答】（1）解：，， 在数轴上标出这些数如图， （2）解：由右边的数总比左边的数大， ∴． 【训练1】（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有；既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【完整解答】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【训练2】（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质进行判断即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【完整解答】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：A． 考点讲练02：求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，， 【答案】作图见解析， 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，首先将各个数化简，然后在数轴上确定各数的位置，再根据“在数轴上表示的数，左边的总比右边的小”，最后用“＜”号把它们连接起来．解题的关键是正确确定各数位置． 【完整解答】解：∵，， 则在数轴上表示各数如图所示： 用“”连接起来如下： ． 【训练1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点B在原点右侧，点A对应整数a，点B对应整数b，若，当a取最大值时，b值是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值，数轴，掌握数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及点A、点B所表示的数进行计算即可． 【完整解答】解：由于点A在原点左侧，点A对应整数a，a的最大值是， 又点B在原点右侧，点B对应整数b，而， ， 故选：B． 【训练2】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来： 0，，，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查的了数轴和有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键 在数轴上正确表示所给有理数，再利用数轴上右边的数大于左边的数比较大小即可． 【完整解答】解：， ， 在数轴上表示如图所示： 有数轴上各点的位置可知： ． 考点讲练03：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【完整解答】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 【训练1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）若，求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，先根据，求出 ， ，然后代入求值即可． 【完整解答】解：由题意知 ，且 则 且 ， 所以 ，， 当，时， ． 【训练2】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）若，则代数式的值是（  ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平方和绝对值的非负性，代数式求值．根据平方和绝对值的非负性求出m，n的值，代入即可解答． 【完整解答】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D 考点讲练04：绝对值的其他应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期末）某特色手工艺品店制作的一种手工艺品小摆件，标准重量为每个．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准重量的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，那么最接近标准重量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了绝对值和正负数的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一件． 【完整解答】解：∵， ∴最接近标准重量的是． 故选C． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数．表中最接近标准体重同学的编号为 ． 编 号 体重情况 【答案】 【思路引导】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【完整解答】解：，，，，，， ， 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 【训练2】（24-25七年级上·全国·期末）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 理解：（1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ； （3）当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有 种调配方案，使调动的车辆数最少． 【答案】 5 / 4 5 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 理解：（1）根据两点之间的距离即可求解； （2）根据两点之间的距离即可求解； （3）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 【完整解答】解：理解：（1）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 故答案为：． 考点讲练05：有理数大小比较 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）下列各组数中，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了负数的大小比较方法，根据负数比较大小时绝对值大的数反而小的方法即可求解，解题的关键是正确理解负数相比较，绝对值大的数反而小． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【训练1】（24-25七年级上·江西抚州·期中）在下面数轴上画出表示下列各数的点，比较这些数的大小，并用“”号将所有的数按从小到大的顺序连接起来． ． 【答案】见解析， 【思路引导】本题考查的是有理数的大小比较，把各点在数轴上表示出来，从左到右用“”号连接起来即可．熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． 【完整解答】解：， 在数轴上画出表示各数的点，如下图： 用“”号将所有的数按从到大的顺序连接起来如下： ． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】此题主要考查了有理数大小比较，绝对值和相反数的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）首先根据相反数和绝对值的意义化简各数，然后根据正数大于负数比较即可； （2）首先根据绝对值的意义化简，然后根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【完整解答】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：， ∵ ，， ∴， ∴． 考点讲练06：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【完整解答】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【思路引导】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【完整解答】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 【训练2】（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氧 液态氢 液态氮 液态氦 沸点 则沸点最低的液体是（ ） A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦 【答案】D 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，根据负数的绝对值越大反而小，即可求解． 【完整解答】解：∵，，，， ∵， ∴． ∴沸点最低的液体是液态氦． 故选：D． 考点讲练07：相反数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路引导】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此逐项分析即可． 【完整解答】解：A．和只有符号不同，是互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和，不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【训练1】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【思路引导】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【完整解答】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 【训练2】（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【思路引导】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 考点讲练08：相反数的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·河南商丘·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、、按从大到小的顺序排列，并用“”号连接，结果为 ．    【答案】 【思路引导】根据数轴上靠近右边的数大于靠近左边的数，绝对值的意义，相反数的意义计算即可． 【完整解答】解：∵，且， ∴，， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了数轴上表示有理数，绝对值，相反数的意义，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【完整解答】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【思路引导】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【完整解答】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 考点讲练09：化简多重符号 【典例精讲】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数分别填在它所在的集合里：，，2004，，，，，，0，6.2 (1)正有理数集合{                                } (2)分数集合{                                    } (3)非负整数集合{                                } 【答案】(1)2004，，， (2)，，， (3)2004，，0 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答本题的关键． （1）直接利用正有理数的定义分析得出答案； （2）直接利用分数的定义分析得出答案； （3）直接利用非负整数的定义分析得出答案． 【完整解答】（1）解：，，； 正有理数集合{2004，，，…} 故答案为：2004，，，； （2）解：分数集合，，，； 故答案为：，，，… （3）解：非负整数集合：，，； 故答案为：2004，，0 【训练1】（24-25七年级上·广西柳州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． ；3.5；；． 【答案】见详解， 【思路引导】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号，先整理，，然后在数轴上逐个表示各个数，然后根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【完整解答】解：依题意，， ∴在数轴上表示各数，如图所示： ， ∴． 【训练2】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，0，，，，，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析， 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，多重符号化简，掌握数轴上的点与有理数的关系是解题的关键． 先化简各数，再用数轴上的点表示这些数，然后利用数轴上左边点表示的数小于右边点表示的数求解即可． 【完整解答】解：∵，， ∴在数轴上表示各数为： 由图可得：． 1．（23-24七年级上·广西玉林·期末）下面四个数中比小的数是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较．由题意知，，然后判断作答即可． 【完整解答】解：由题意知，， ∴比小， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（22-23七年级上·广西河池·期中）在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为（  ） A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，数轴，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的几何意义即可求解． 【完整解答】解：根据绝对值的几何意义可知，在数轴上到原点的距离5个单位长度的点表示的数为， 故选：A． 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【完整解答】解：，，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，数据显示，近几年，青少年身体健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重单位：的计算公式为：标准体重年龄．如表是七年级某小组位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数，那么表中编号为 的同学的体重最符合标准体重． 编号 体重情况 【答案】 【思路引导】本题考查了正负数的意义、绝对值的应用．首先分别求出这6位同学体重的绝对值，根据绝对值越小的体重与标准体重越接近判断哪位同学的体重最接近标准体重． 【完整解答】解：，，，，， ∵ 号同学的体重最接近标准体重． 故答案为： ． 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，a，b，c，d四个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，请将，，，四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，相反数，有理数的大小比较的应用，能根据数轴上a，b，c，d的位置得出，，，的位置是解此题的关键．根据数轴和相反数比较即可． 【完整解答】解：因为从数轴可知：， 所以， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【完整解答】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 8．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）画一条数轴，在数轴上表示出下面的有理数． ，，0，， ， 【答案】见解析 【思路引导】本题考查用数轴表示有理数，根据数轴的三要素画出数轴，然后在数轴上表示出各数即可． 【完整解答】解：； 在数轴上表示各数，如图： 9．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ． (2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)有最小值，最小值为4 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）将改写成规定形式：，再根据绝对值的几何意义求解； （2）将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴，分类讨论求解； （3）的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴分析求解即可． 【完整解答】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下： 就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现： 当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4， 所以有最小值，最小值为4． 10．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）把下列各数的序号填在适应的大括号内： ①；②；③；④；⑤2021；⑥（两个之间依次多个）；⑦；⑧；⑨；⑩． 正分数集合：{____________________________…}； 整数集合：{____________________________…}； 负数集合：{____________________________…}； 非负有理数集合：{____________________________…}． 【答案】④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧ 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正分数、整数、负数、非负有理数的定义进行分类解答即可． 【完整解答】解：，， 正分数集合：{④，⑦，⑧…}； 整数集合：{①，②，⑤，…}；； 负数集合：{①，⑨，⑩，…}；； 非负有理数集合：{②，④，⑤，⑦，⑧，…}；． 故答案为：④，⑦，⑧；①，②，⑤；①，⑨，⑩；②，④，⑤，⑦，⑧． 11．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，由绝对值的意义可得，再根据相反数的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 12．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）按如图所示的运算程序，当，时，输出的结果为（    ） A． B．6 C．10 D．12 【答案】D 【思路引导】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，先判断出，再代入代数式计算即可得解． 【完整解答】解：∵， ∴当，时，输出的结果为， 故选：D． 13．（24-25七年级上·北京东城·期末）若有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置得到，然后一一判断即可，掌握绝对值与数轴上点的特征是解题的关键． 【完整解答】解：由题意可知， ， ，故A错误 ，故B正确； ， 那么当，时，，，，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【思路引导】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【完整解答】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 15．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点，若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解本题的关键，根据题意：之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等，得出点表示的数为，点表示的数为，再结合数轴，即可得出点表示的数． 【完整解答】解：∵之间的距离为个单位长度，点、到原点的距离相等， ∴点、表示的数的绝对值相等， ∵， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点在原点的左侧个单位长度处， ∴点表示的数为． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明设计了一个特殊运算程序，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入第二个整数后则显示的结果．比如依次输入3，5，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数x，y，2，全部输入完毕后显示的最后结果设为m，若m的最大值为2025，那么m的最小值是 ． 【答案】2021 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，理解题意是解题的关键，根据题意，可以表示出的值，然后根据的最大值为2025，可以得到的值，从而可以得到的最小值． 【完整解答】不妨设， ∵输入的三个数为x，y，2， ∴第一次输入后显示的结果为：或或， 第二次输入后显示的结果为： 或或 ∵的最大值为2025， ∵， 最大， ∴或2027 ， ∴m的最小值是2021 故答案为：2021． 17．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【思路引导】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【完整解答】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 18．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2)见解析 【思路引导】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【完整解答】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 19．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【完整解答】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【思路引导】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【完整解答】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$