（预习篇）第二讲 正数和负数（2个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共41题）-2025年苏科版数学小升初衔接暑期学习精讲练

第2讲 正数和负数 （2个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共41题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：正数与负数 3 知识点02：相反意义的量 3 新知学习考点讲练 3 考点讲练01：正负数的定义 3 考点讲练02：相反意义的量 4 考点讲练03：正负数的实际应用 5 考点讲练04：有理数的定义 6 考点讲练05：0的意义 7 考点讲练06：有理数的分类 7 考点讲练07：带“非”字的有理数 8 优选题培优训练 9 基础夯实 巩固知识 9 培优提升 能力强化 10 知识目标 理解正数和负数的概念：通过生活中的实例，学生能够认识到引入负数的必要性，理解正数和负数是从实际需要中产生的。同时，学生应能够正确判断一个数是正数、负数还是零，并明确0既不是正数也不是负数。 掌握正数和负数的表示方法：学生应会用正、负数表示具有相反意义的量，并理解这种表示方法在数学和实际生活中的重要性。 能力目标 数学抽象能力：通过类比自然数的研究过程，学生能够发展数学抽象能力，将实际生活中的问题抽象为数学问题，并用正负数进行表示。 逻辑推理能力：学生应能通过分析实际问题中的数量关系，运用逻辑推理，得出正确的结论。归纳与概括能力：通过大量的练习和实践，学生能够归纳出正负数的基本性质和规律，并概括出解决这类问题的一般方法。 从古代开始，人类就学会用结绳计数，比如我们抓到一只羊，就打一个结；抓到两支羊，就打两个结；如果吃掉一只羊，我们就解开一个结。当时人们还是群居的，也不用担心东西吃不完.但是随着社会的发展，大家逐渐分开住了，有了私产，这时候一家三口一顿想吃完一个羊，还是很艰难的；所以问题就来了，结绳计数已经不好用了，我们没办法记录半头羊啊!这时候，我们引入了分数和小数，开始用几分之几这样的概念描述事物.但这样还会有问题，假如说，今天我家没有羊，从别人家借来一只吃掉，要怎么记录?我们可以写“欠一只”,不是太好, 还得写个欠字.能不能不写这个字，只用一个符号就表示呢?于是我们引入了“-”,同时也带来了新的数：负数. 【教学建议】 1. 这种生活中的例子有很多，建议大家结合自己的生活经验，编一些更适合您本人的例子， 用于吸引学生注意力. 以下给出一些示例供参考： ①北京冬季里某一天的气温是 -3 ℃~3 ℃ ,这里的-3℃是指零下 3℃,而不加负号的 3 ℃是指零上3 ℃,两者意义不同(相反) . ②某年我国花生产量比上一年增长1.8 % , 油菜籽产量比上一年增长-2.7%,这里的-2.7 %是指实际上油菜籽产量比上一年减少了 2.7 %,这和前面花生产量增长的意义不同(相 反 ) . 2. 再比如：收支情况，海拔高低等，都可以引入负数的概念. 知识点01：正数与负数 正数 比0大的数叫做正数 像，，等大于0的数（“”通常省略不写）叫做正数 负数 比0小的数叫做负数 像，，这样在正数前面加上“”（读作“负号”，“”不能省略）的数叫做负数，负数小于0． *注意：（1）0既不是正数也不是负数 （2）不是所有带负号“-”的数都是负数。如“-a”，如果a本身是个正数，那么-a就是负数；如果a本身是个负数，那么-a就是正数 知识点02：相反意义的量 相反意义的量 负数与正数表示意义相反的量，在实际问题中，如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量。 “上升”与“下降” 若米表示上升6米 则米表示下降米 “向东”与“向西” 若米表示向东走米 则米表示向西走3米 “增加”与“减少” 若表示产量增加了 则表示产量减少了 判断是否为相反意义的量： 相反意义的量必须包含两个要素： 1．  它们的意义相反； 2．  它们都表示同一类量． （具体的数量可以不相同） ①身高1.84米和体重50公斤（×） ②收入200元，支出50元（√） ③向北走3千米，向东走2千米（×） ④胜3局，负2局（√） ⑤节约水4吨，浪费粮食2千克（×） ⑥盈利5万元与支出5万元（×） 考点讲练01：正负数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【训练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【训练2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 考点讲练02：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【训练1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【训练2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 考点讲练03：正负数的实际应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【训练1】（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【训练2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 考点讲练04：有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【训练1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 【训练2】（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 考点讲练05：0的意义 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【训练1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【训练2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练06：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：（ ）； (2)分数集合：（ ）； (3)正数集合：（ ）； (4)非负数集合：（ ）； 【训练1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________} 负有理数集合{______________________________} 非负数集合{______________________________} 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 考点讲练07：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     }； 非负整数：{                 }； 整数：{                　   }； 负分数：{                   }． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{     }； 正数集：{     }； 负分数集：{     }； 负数集：{     }； 非负整数集：{     }； 分数集：{     }． 【训练2】（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）向西走表示的意义是（    ） A．向东走了 B．向西走了 C．向南走了 D．向北走了 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如果高于海平面记作，那么低于海平面应记作 ． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：{                     }； 正整数集合：{                     }； 分数集合：{                     }； 7．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：{                     }； 负分数集合：{                     }； 非负整数集合：{                     }； 有理数集合：{                     }； 8．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{        }； 整数：{          }； 分数：{       }； 有理数：{             } ． 9．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                     }； (2)负有理数集合：{                     }； (3)整数集合：{                     }； (4)分数集合：{                     }； 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 17．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 18．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 19．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 正数集合{                                } 负数集合{                               } 整数集合{                                } 正有理数集合{                                } 负有理数集合{                                } 20．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 正数和负数 （2个知识点+7个考点讲练+难度分层训练 共41题） 学习目标 1 新知学习 2 知识点01：正数与负数 3 知识点02：相反意义的量 3 新知学习考点讲练 3 考点讲练01：正负数的定义 3 考点讲练02：相反意义的量 5 考点讲练03：正负数的实际应用 6 考点讲练04：有理数的定义 9 考点讲练05：0的意义 11 考点讲练06：有理数的分类 12 考点讲练07：带“非”字的有理数 14 优选题培优训练 16 基础夯实 巩固知识 16 培优提升 能力强化 21 知识目标 理解正数和负数的概念：通过生活中的实例，学生能够认识到引入负数的必要性，理解正数和负数是从实际需要中产生的。同时，学生应能够正确判断一个数是正数、负数还是零，并明确0既不是正数也不是负数。 掌握正数和负数的表示方法：学生应会用正、负数表示具有相反意义的量，并理解这种表示方法在数学和实际生活中的重要性。 能力目标 数学抽象能力：通过类比自然数的研究过程，学生能够发展数学抽象能力，将实际生活中的问题抽象为数学问题，并用正负数进行表示。 逻辑推理能力：学生应能通过分析实际问题中的数量关系，运用逻辑推理，得出正确的结论。归纳与概括能力：通过大量的练习和实践，学生能够归纳出正负数的基本性质和规律，并概括出解决这类问题的一般方法。 从古代开始，人类就学会用结绳计数，比如我们抓到一只羊，就打一个结；抓到两支羊，就打两个结；如果吃掉一只羊，我们就解开一个结。当时人们还是群居的，也不用担心东西吃不完.但是随着社会的发展，大家逐渐分开住了，有了私产，这时候一家三口一顿想吃完一个羊，还是很艰难的；所以问题就来了，结绳计数已经不好用了，我们没办法记录半头羊啊!这时候，我们引入了分数和小数，开始用几分之几这样的概念描述事物.但这样还会有问题，假如说，今天我家没有羊，从别人家借来一只吃掉，要怎么记录?我们可以写“欠一只”,不是太好, 还得写个欠字.能不能不写这个字，只用一个符号就表示呢?于是我们引入了“-”,同时也带来了新的数：负数. 【教学建议】 1. 这种生活中的例子有很多，建议大家结合自己的生活经验，编一些更适合您本人的例子， 用于吸引学生注意力. 以下给出一些示例供参考： ①北京冬季里某一天的气温是 -3 ℃~3 ℃ ,这里的-3℃是指零下 3℃,而不加负号的 3 ℃是指零上3 ℃,两者意义不同(相反) . ②某年我国花生产量比上一年增长1.8 % , 油菜籽产量比上一年增长-2.7%,这里的-2.7 %是指实际上油菜籽产量比上一年减少了 2.7 %,这和前面花生产量增长的意义不同(相 反 ) . 2. 再比如：收支情况，海拔高低等，都可以引入负数的概念. 知识点01：正数与负数 正数 比0大的数叫做正数 像，，等大于0的数（“”通常省略不写）叫做正数 负数 比0小的数叫做负数 像，，这样在正数前面加上“”（读作“负号”，“”不能省略）的数叫做负数，负数小于0． *注意：（1）0既不是正数也不是负数 （2）不是所有带负号“-”的数都是负数。如“-a”，如果a本身是个正数，那么-a就是负数；如果a本身是个负数，那么-a就是正数 知识点02：相反意义的量 相反意义的量 负数与正数表示意义相反的量，在实际问题中，如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量。 “上升”与“下降” 若米表示上升6米 则米表示下降米 “向东”与“向西” 若米表示向东走米 则米表示向西走3米 “增加”与“减少” 若表示产量增加了 则表示产量减少了 判断是否为相反意义的量： 相反意义的量必须包含两个要素： 1．  它们的意义相反； 2．  它们都表示同一类量． （具体的数量可以不相同） ①身高1.84米和体重50公斤（×） ②收入200元，支出50元（√） ③向北走3千米，向东走2千米（×） ④胜3局，负2局（√） ⑤节约水4吨，浪费粮食2千克（×） ⑥盈利5万元与支出5万元（×） 考点讲练01：正负数的定义 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【思路引导】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【完整解答】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 【训练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小明从学校往北走，小红从学校往南走，如果把“从学校往北走”记作“”，那么“从学校往南走”记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查正数和负数的实际意义，熟练掌握正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可得到答案． 【完整解答】解：依题意可得：“从学校往南走”记作， 故选D． 【训练2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【完整解答】解：“水位下降”应表示为， 故选B． 考点讲练02：相反意义的量 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【思路引导】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【完整解答】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 【训练1】（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【完整解答】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 【训练2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作(   ) A． B．14 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【完整解答】解：零上记作，则零下可记作， 故选：C． 考点讲练03：正负数的实际应用 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【答案】①④②③ 【思路引导】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【完整解答】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 【训练1】（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【思路引导】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【完整解答】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 【训练2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【思路引导】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【完整解答】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 考点讲练04：有理数的定义 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查有理数的分类，自然数定义，根据各定义依次判断解答即可． 【完整解答】解：自然数：{ 0， 2024 }； 分数：{ ，， }； 有理数：{ ，，0，，，20%，，2024．}； 非负数：{ ，0，，，20%，，2024． }． 【训练1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 【答案】，，； ，，；，，；，，， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握负数，正数，非负数，以及整数的定义是解题的关键； 根据负数，正数，非正数，以及整数的定义分类即可． 【完整解答】解：正数集合：{，，… }； 负数集合：{ ，，… }； 整数集合：{，，… }； 非负数集合：{，，，… }． 故答案为：，，； ，，；，，；，，， 【训练2】（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， 正整数集： 负分数集： 整数集： 正有理数集： 负有理数集： 自然数集： 有理数集： 【答案】{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，} 【思路引导】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类方法．按照有理数的分类即可求解． 【完整解答】解：正整数集：{5}； 负分数集：{，}； 整数集：{5，，，0}； 正有理数集：{5，，，}； 负有理数集：{，，，}； 自然数集：{5，0}； 有理数集：{5，，，，，，，0，}； 故答案为：{5}；{，}；{5，，，0}；{5，，，}；{，，，}；{5，0}；{5，，，，，，，0，}． 考点讲练05：0的意义 【典例精讲】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【完整解答】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【训练1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【思路引导】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【完整解答】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【训练2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【完整解答】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 考点讲练06：有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【完整解答】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 【训练1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________} 负有理数集合{______________________________} 非负数集合{______________________________} 【答案】①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 【思路引导】本题考查了有理数的分类．掌握整数、负有理数、非负数的定义与特点是解答此类题目的关键． 根据整数、负有理数、非负数的定义与特点，进行作答，即可求解； 【完整解答】解：整数包括：、、0； 负有理数包括：、、、、； 非负数包括：、、、0； 故答案为：①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 【训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【完整解答】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 考点讲练07：带“非”字的有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     }； 非负整数：{                 }； 整数：{                　   }； 负分数：{                   }． 【答案】，，，，；，，；，，，，；，，． 【思路引导】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【完整解答】解：正数：{，，，，，…}； 非负整数：{，，，…}； 整数：{，，，，，…}； 负分数：{，，，…} 故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，． 【训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{     }； 正数集：{     }； 负分数集：{     }； 负数集：{     }； 非负整数集：{     }； 分数集：{     }． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【完整解答】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【训练2】（24-25七年级上·广东惠州·期中）把下列各数分别填在相应的括号里. ，，，20，，0，，，，12，3.151151115… 正整数：（                             ） 负分数：（                             ） 非负有理数：（                         ） 非整数（                              ） 【答案】正整数：（ 20， 12） 负分数：（ ，， ） 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ） 非整数（，，，，，，3.151151115…） 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，根据正整数，负分数，非负有理数，非整数的定义解答即可． 【完整解答】解：正整数：（ 20， 12）； 负分数：（ ，， ）； 非负有理数：（ ， 20， 0，， 12  ）； 非整数（，，，，，，3.151151115…）． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【完整解答】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【答案】C 【思路引导】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． 【完整解答】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查正数的概念，解题的关键是明确正数的定义，据此判断给定数字中正数的个数． 依据正数的定义，逐一分析所给数字，统计其中正数的数量． 【完整解答】正数是大于0的数．在5.2、、0、10、中 5.2大于0，所以5.2是正数；小于0，是负数；0既不是正数也不是负数；10大于0，所以10是正数；小于0，是负数． 综上，正数有5.2和10，共2个， 故选：B． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）向西走表示的意义是（    ） A．向东走了 B．向西走了 C．向南走了 D．向北走了 【答案】A 【思路引导】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【完整解答】解：向西走表示的意义是向东走了， 故选：A． 5．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如果高于海平面记作，那么低于海平面应记作 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了正负数表示相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案，解题的关键是熟练掌握正负数的意义． 【完整解答】解：∵高于海平面记作， ∴低于海平面应记作， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 【答案】；； 【思路引导】本题考查了有理数定义及其分类， 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【完整解答】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ； . 7．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【完整解答】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 8．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）把下列各数填在相应的大括号内： ，0.01，，0，，，4.01，22，，， 正数：{       }； 整数：{         }； 分数：{      }； 有理数：{             } ． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查有理数的分数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键：根据正数是大于0的数，整数包括正整数，负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，整数和分数统称为有理数，进行作答即可． 【完整解答】解：正数：{0.01，4.01，22，}； 整数：{ 0，，22，}； 分数：{，0.01，，， 4.01，， }； 有理数：{，0.01，，0，，，4.01，22，，} ． 9．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【思路引导】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【完整解答】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 10．（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                                           …} (2)负有理数集合：{                                           …} (3)整数集合：{                                          …} (4)分数集合：{                                           …} 【答案】(1)5，，，π，， (2)，，，， (3)5，，，0， (4)，，，，， 【思路引导】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法进行解答即可. （1）根据正有理数的意义进行解答即可； （2）根据负有理数的意义进行解答即可； （3）根据整数的意义进行解答即可； （4）根据分数的意义进行解答即可. 【完整解答】（1）解：正有理数集合：{5，，，π，，…} （2）解：负有理数集合：{，，，，…} （3）解：整数集合：{5，，，0，…} （4）解：分数集合：{，，，，，…} 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【思路引导】本题考查正负数的意义，理解正负数可以表示相反意义的量是解答本题的关键． 根据正负数的意义解答即可． 【完整解答】解：如果盈利元记作元，那么亏损元记作元， 故选：A． 12．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【完整解答】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 13．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【完整解答】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法：是非负整数；非正数包括和负数；非负数就是正整数和；正整数、正分数和都属于非负有理数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据非负整数、非正数、非负数以及非负有理数的概念逐个判断即可解答． 【完整解答】解：是负整数，错误； 非正数包括和负数，正确； 非负数就是正数和，错误； 正整数、正分数和都属于非负有理数，正确； 其中正确的个数是个， 故选：C． 15．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【完整解答】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 【答案】 【思路引导】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【完整解答】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 【答案】 【思路引导】考查的是有关正数、负数在生活中应用，熟练掌握考查的是有关正数、负数在生活中应用的知识是解题的关键； 根据正数、负数在生活中应用即可求解； 【完整解答】解：某一天的最高气温为零上，记作， 最低气温零下可以记作， 故答案为： 18．（24-25七年级上·广西桂林·期中）某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【思路引导】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【完整解答】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 19．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 正数集合{                                } 负数集合{                               } 整数集合{                                } 正有理数集合{                                } 负有理数集合{                                } 【答案】见详解. 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数和分数的定义划分即可求解，掌握有理数的有关定义是解题的关键； 【完整解答】解：由题意可得， 正数集合{1，，，， ，，，（每两个1之间依次多1个0）} 负数集合{，，，} 整数集合{1，0，，，} 正有理数集合{1，，，，，，} 负有理数集合{，}． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 【答案】，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、非负整数、正分数、有理数的定义解答即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【完整解答】解：正数集合：{，，，，，，，}； 负数集合：{，，，}； 非负整数集合：{，，，}； 正分数集合：{，，，，}； 有理数集合：{，，，，，，，，，，}； 故答案为：，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，，． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$