精品解析：宁夏回族自治区银川市景博中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

景博中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 班级：_______ 姓名：_______ 考号: _______ 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,故. 故选：C 4. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案. 【详解】由已知及正弦边角关系有，则， 三角形中，则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，则由题意可得，求出，从而可求出高，进而可求出圆锥的体积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，解得， 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积为， 故选：A. 6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】设向量与的夹角为，则所求投影向量为． 因为，所以，又因为，，所以， 所以， 故选：B 7. 如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图， 一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 8. 如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. 的实部是2 B. 的虚部是 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 先由复数除法运算可得，再结合复数的实部、虚部的概念及共轭复数及复数模的运算即可得解. 【详解】解：， 即的实部是1，虚部是，故A错误，B错误， 又，， 故C，D均正确. 故选：CD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了共轭复数及复数模的运算，属基础题. 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 不共面的四点中任意三点不共线 B. 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C. 若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如若相交，且、不相交，则此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 12. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若则外接圆的半径等于1 B. 若，则此三角形为直角三角形 C. 若，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，三角形个数的判断方法，以及和差化积公式和辅助角公式即可求解. 【详解】根据正弦定理， ， 所以， 则外接圆的半径等于1， 故选项A正确； ， 所以， 所以, 所以， 所以， 在三角形中， 所以， 所以， 则此三角形为直角三角形， 故选项B正确； 因为， 所以， 所以， 则解此三角形只有一解， 故选项C错误； 因为是锐角三角形， 所以，所以，所以，即，同理 则，故选项D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图复原为原图，求出相关线段长，即可求得答案. 【详解】由题意知在直观图等腰梯形，，， 则； 将直观图复原为原图，如图示： 则， 作于，则， 故四边形的周长为． 故答案为：. 14. 为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则该建筑物的高度______米． 【答案】300 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再在直角三角形中求解即得. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得， 在中，，则， 所以该建筑物的高度米. 故答案为：300 15. 如图所示，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，作出图形，利用圆台和球体体积公式可求得几何体的体积. 【详解】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，如下图所示， 其中圆台的体积为， 半球的体积，则所求体积为． 故答案为：. 16. 已知分别为内角的对边，且.角_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理进行角化边，最后得到，最后利用正切值求解角度即可. 【详解】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为 【解析】 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 设为的中心，延长交于点，连接，，则底面，为的中点．可得，，．利用即可得出． 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 设为的中心，延长交于点，连接，，则底面，为的中点． ，， ． ． 18. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数． 【小问1详解】 ，是实数， ，即， ． 【小问2详解】 ． 是纯虚数， ，即， ，的共轭复数为． 19. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可； （2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 ，，且与夹角为， ，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， ， 又， 所以，即与的夹角为． 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 21. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． （1）若，求x－y的值； （2）求的取值范围； （3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果； （2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果； （3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果． 【小问1详解】 解：（1）∵，所以 ∵， 又， ∴，∴； 【小问2详解】 解：设，（） 因为在三角形中，，，， ∴， ∴ ； 又，所以， 故的取值范围为 【小问3详解】 解：∵三点共线， ∴存在实数，使得， ∵为的中点， ∴， 又三点共线，∴存在使得， ∴， ∴，解得， . 22. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. （1）求的长度； （2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）根据正弦定理将边化角，再由三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 在中，， 所以， 由正弦定理， 即，解得，故的长度为. 【小问2详解】 由题可知， 在中， ∴，， ∴ ， ∴，， ∵，∴， ∴， 所以当，即时取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 景博中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 班级：_______ 姓名：_______ 考号: _______ 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ） A B. C. 1 D. 2 4. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 5. 已知圆锥底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，在四边形中，，向量夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 若复数满足（其中是虚数单位），则（ ） A. 的实部是2 B. 的虚部是 C. D. 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 不共面的四点中任意三点不共线 B. 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C. 若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D. 依次首尾相接的四条线段必共面 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 12. 的内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若则外接圆的半径等于1 B. 若，则此三角形为直角三角形 C. 若，则解此三角形必有两解 D. 若是锐角三角形，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为__________． 14. 为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则该建筑物的高度______米． 15. 如图所示，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_________. 16. 已知分别为的内角的对边，且.角_____________. 四、解答题（共70分） 17. 已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积和体积. 18. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 19. 已知，，且与夹角为求： （1）； （2）与夹角． 20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 21. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． （1）若，求x－y的值； （2）求的取值范围； （3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． 22. 如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. （1）求的长度； （2）记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$