2026届高三数学思想方法大合集-等比数列通项公式讲义

公式定理79等比数列通项公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 等比数列通项公式是高考数列高频考点，常考求通项、中项性质、下标和规律及综合应用.作为等比数列核心基础，支撑求和、函数关联等问题，贯穿选择、填空及大题，是考查数学运算与逻辑推理的核心载体. 2.在解题中的作用 等比数列通项公式是解题的核心基础工具，通过首项与公比直接表示任意项，是反推基本量、推导中项性质的前提.它为前项和计算、实际应用（如增长率建模）提供代数模型，贯穿数列解题全过程，连接已知条件与所求结论，是数列问题求解的关键桥梁. 【内容展示】 首项为，公比为的等比数列的通项公式：． 【证明过程】 由等比数列的定义：当，时，，，，…，， 由累乘法可得，则． 当时满足上式，所以等比数列的通项公式为． 【内涵外延】 公式的拓展和变式： ①公式的推广：． ②等比数列通项公式可以整理为，当且时，点表示指数型函数的图像上的孤立的点． ③等比中项：若三个数 构成等比数列（即 成等比），则 称为 与 的等比中项.根据等比数列的定义，公比满足，因此 ，即等比中项的公式为：. 已知任意实数 、，则等比中项的个数为： 当 时， 与存在两个等比中项（一正一负）； 当 时， 与不存在有效的等比中项； 当 时， 与不存在实数等比中项. ④下标和性质：若，则. 灵活应用一 等比数列通项公式的正用 典例1 在正项等比数列中，已知，，，求的值． 【详细解析】设等比数列的公比为． （方法一）因为所以． 又因为，所以． 因为，所以，所以，所以． （方法二）由得． 因为，所以，所以，所以． 【题后反思】等比数列的通项公式涉及4个量：，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个；方法二是利用等比数列通项公式的推广． 【举一反三】 1．设数列为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 灵活应用二 等比数列通项公式的逆用 典例2设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； 【详细解析】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 【题后反思】通过把递推公式变形得到数列是等比数列，从而利用等比数列的通项公式求解，注意验证第一项是否成立. 【举一反三】 2．已知数列满足，探究数列的单调性. 灵活应用三 等比数列通项公式的变形用 典例3‌ 已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ） A．    B．4    C．    D．5 【详细解析】由和是方程的两个根，得， 又数列为各项均为正数的等比数列，则， 所以. 故选：B 【题后反思】根据给定条件，利用等比数列下标和性质，结合对数运算求得答案. 【举一反三】 3．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（    ） A．1或 B． C．2或 D．1 灵活应用四 等比数列通项公式的综合用 典例4‌ 已知正项等比数列的公比为3，若，求的最小值． 【详细解析】因为正项等比数列的公比为3，， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为． 【题后反思】本题将等比数列通项公式与不等式相关知识进行跨单元综合，需要学生灵活转化条件、整合知识，还要注意不等号成立的条件等问题． 【举一反三】 4．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中p，m，q成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （正用公式） 5．在等比数列中，，又，则（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 （综合应用） 6．已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （综合应用） 7．设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （综合应用） 8．在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （正用公式） 9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是（    ） A． B． C． D． （公式变形） 10．若等比数列中的，是方程的两个根，则 ． （综合应用） 11．已知三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，这三个数构成的数列是 ． （正用公式） 12．在等比数列中，已知，，求公比和数列的通项公式． （综合应用） 13．已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.求数列和的通项公式. （逆用公式） 14．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理79等比数列通项公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 等比数列通项公式是高考数列高频考点，常考求通项、中项性质、下标和规律及综合应用.作为等比数列核心基础，支撑求和、函数关联等问题，贯穿选择、填空及大题，是考查数学运算与逻辑推理的核心载体. 2.在解题中的作用 等比数列通项公式是解题的核心基础工具，通过首项与公比直接表示任意项，是反推基本量、推导中项性质的前提.它为前项和计算、实际应用（如增长率建模）提供代数模型，贯穿数列解题全过程，连接已知条件与所求结论，是数列问题求解的关键桥梁. 【内容展示】 首项为，公比为的等比数列的通项公式：． 【证明过程】 由等比数列的定义：当，时，，，，…，， 由累乘法可得，则． 当时满足上式，所以等比数列的通项公式为． 【内涵外延】 公式的拓展和变式： ①公式的推广：． ②等比数列通项公式可以整理为，当且时，点表示指数型函数的图像上的孤立的点． ③等比中项：若三个数 构成等比数列（即 成等比），则 称为 与 的等比中项.根据等比数列的定义，公比满足，因此 ，即等比中项的公式为：. 已知任意实数 、，则等比中项的个数为： 当 时， 与存在两个等比中项（一正一负）； 当 时， 与不存在有效的等比中项； 当 时， 与不存在实数等比中项. ④下标和性质：若，则. 灵活应用一 等比数列通项公式的正用 典例1 在正项等比数列中，已知，，，求的值． 【详细解析】设等比数列的公比为． （方法一）因为所以． 又因为，所以． 因为，所以，所以，所以． （方法二）由得． 因为，所以，所以，所以． 【题后反思】等比数列的通项公式涉及4个量：，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个；方法二是利用等比数列通项公式的推广． 【举一反三】 1．设数列为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 灵活应用二 等比数列通项公式的逆用 典例2设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； 【详细解析】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 【题后反思】通过把递推公式变形得到数列是等比数列，从而利用等比数列的通项公式求解，注意验证第一项是否成立. 【举一反三】 2．已知数列满足，探究数列的单调性. 灵活应用三 等比数列通项公式的变形用 典例3‌ 已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ） A．    B．4    C．    D．5 【详细解析】由和是方程的两个根，得， 又数列为各项均为正数的等比数列，则， 所以. 故选：B 【题后反思】根据给定条件，利用等比数列下标和性质，结合对数运算求得答案. 【举一反三】 3．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（    ） A．1或 B． C．2或 D．1 灵活应用四 等比数列通项公式的综合用 典例4‌ 已知正项等比数列的公比为3，若，求的最小值． 【详细解析】因为正项等比数列的公比为3，， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为． 【题后反思】本题将等比数列通项公式与不等式相关知识进行跨单元综合，需要学生灵活转化条件、整合知识，还要注意不等号成立的条件等问题． 【举一反三】 4．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中p，m，q成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （正用公式） 5．在等比数列中，，又，则（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 （综合应用） 6．已知等比数列前3项的积为27，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （综合应用） 7．设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （综合应用） 8．在正项等比数列中，，，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （正用公式） 9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是（    ） A． B． C． D． （公式变形） 10．若等比数列中的，是方程的两个根，则 ． （综合应用） 11．已知三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，这三个数构成的数列是 ． （正用公式） 12．在等比数列中，已知，，求公比和数列的通项公式． （综合应用） 13．已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列.求数列和的通项公式. （逆用公式） 14．已知数列满足，，设. (1)写出，，并证明是一个等比数列： (2)求数列的通项公式； (3)是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$