2026届高三数学思想方法大合集-点到直线的距离公式讲义

公式定理72点到直线的距离公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 点到直线的距离公式是高考解析几何的基础核心考点，属高频必考内容.常以选择、填空或解答题形式考查，重点涉及距离计算、位置关系判断（如平行或垂直条件）、三角形面积求解及最值问题（如动点到直线距离的最小值）. 2.在解题中的作用 点到直线的距离公式在解题中具有核心作用，主要用于快速计算点与直线间的最短距离.其优势在于简化复杂几何运算，避免坐标差平方开根的繁琐步骤，同时可与向量投影、直线方程联立等知识结合，高效解决动态几何问题（如平行线间距离一致性验证）或优化代数与几何思维的转化路径. 【内容展示】 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【证明过程】 证法一： 过点与直线垂直的直线方程为， 由得， 即． 证法二： 直线的方向向量为，设是直线上的任意一点，． 因为，所以． 【内涵外延】 与距离有关的公式： ①两点间的距离公式：两点和间的距离为：. ②平行线间的距离公式：两条平行直线的一般式方程为 ，则它们的距离为：. ③点到平面的距离公式：若平面方程为，点 ，则点 到平面的距离为：. ④平行平面间的距离公式：两个平行平面的标准方程为 ，则它们的距离为：. 灵活应用一 点到直线的距离公式的正用 典例1 已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 【详细解析】设，连接，则，可得， 所以， 即，可得， 所以的最小值为点到直线：的距离． 故答案为： 【题后反思】本题通过数形结合把动点间的最短距离问题转化为点到直线的距离问题. 【举一反三】 1．求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 灵活应用二 点到直线的距离公式的逆用 典例2 已知实数满足，则的取值范围是 ． 【详细解析】，记， 如图，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为，所以，， 则． 【题后反思】求的最值，可将其凑成，转化为点到直线的距离来分析．本题也可用三角换元来处理． 【举一反三】 2．过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【详解】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC 灵活应用三 点到直线的距离公式的变形用 典例3‌ 已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【详细解析】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【题后反思】由点到直线的距离公式推导出平行线间的距离公式，在使用时应注意直线中的系数必须对应相同. 【举一反三】 3．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 灵活应用四 点到直线的距离公式的综合用 典例4‌ 已知直线，求的最小值． 【详细解析】可以看作是直线上任意一点到原点的距离的平方，其最小值为． 【题后反思】点到直线的距离是该点与直线上任意一点的距离的最小值，本题就是用几何的视角解决问题，大大简化了解题过程． 【举一反三】 4．已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】画出图像，找到所求距离的几何关系图，再结合抛物线的几何性质和点到直线的距离公式求出. 【详解】过点作直线与直线垂直，垂足为， 点为抛物线的焦点，则，， 过点作直线与垂直，垂足为， 则，    当且仅当，，三点共线时等号成立，即， 所以， 即的最小值是13． 故答案为：13 （逆用公式） 5．已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. （综合应用） 6．已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长的表达式，进而可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 直线，即， 则圆心到直线的距离为， 所以，则， 因为，则， 当时，取得最大值1，此时， 当或时，，此时趋近于4，所以无最大值. 故选：A. （逆用公式） 7．已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. （逆用公式） 8．在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 因为直线：即为， 令，可得，即直线过定点， 根据对称性可知，直线过定点，斜率为， 则直线：，即， 则，整理可得，解得. 故选：C. （综合应用） 9．函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当时，将函数转化为直线上点P到直线的距离与到点的距离之和，作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可. 【详解】当时，，可视为与两点间的距离，则P是直线上的动点，，可视为点到直线的距离，设与y轴交于点，过点P作，垂足为B，画出示意图如下： 则待求为的最小值，当三点共线，且时，点A到直线的距离为所求的最小值，此时，. 故选：B. （正用公式） 10．点到直线距离的最大值为 . 【答案】 【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为. 【详解】解：直线恒过点， 则点到直线的距离的最大值为点到点的距离， ∴点到直线距离的最大值为： . 故答案为：. （综合应用） 11．已知，是椭圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，，将椭圆问题转化为圆的问题，设，，利用数量积的坐标运算及夹角公式求得，设的中点为，由圆的性质求得，利用点到直线距离求得圆心到直线的距离，将目标转化为点E和点O到直线的距离之和的倍，利用几何法求解即可. 【详解】令，，将椭圆转化为圆． 由得． 设，是圆上两点，则，， 则，所以，故． 如图，设的中点为， 即，所以圆心到直线的距离， 又圆心到直线的距离为， 所以 ． 故答案为： （正用公式） 12．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离即可求解； （2）求出的长，用面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的方程为：，即. 故点到直线的距离即为边上的高的长，    所以. （2）因为 ， 所以的面积为：. （综合应用） 13．已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. （综合应用） 14．在平面直角坐标系中，直线经过点P（-2,2）. （1）当直线平行于直线时，求直线的方程； （2）当点A（-1,5）到直线的距离等于1时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）可设直线方程为，将点代入即可求解； （2）可设直线方程为，再利用点到直线距离公式进行求解，还需考虑直线斜率不存在的情况； 【详解】（1）设直线方程为，将P（-2,2）代入得，即直线方程为：； （2）设直线方程为，化成一般式得，点A（-1,5）到直线的距离等于1即，解得，则直线方程为：； 当直线斜率不存在时，，此时点A（-1,5）到直线距离也为1，故直线方程为：或 【点睛】本题考查由两直线平行求直线方程，由点到直线距离公式求直线方程，在设点斜式时，需要单独讨论斜率不存在情况，属于中档题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理72点到直线的距离公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 点到直线的距离公式是高考解析几何的基础核心考点，属高频必考内容.常以选择、填空或解答题形式考查，重点涉及距离计算、位置关系判断（如平行或垂直条件）、三角形面积求解及最值问题（如动点到直线距离的最小值）. 2.在解题中的作用 点到直线的距离公式在解题中具有核心作用，主要用于快速计算点与直线间的最短距离.其优势在于简化复杂几何运算，避免坐标差平方开根的繁琐步骤，同时可与向量投影、直线方程联立等知识结合，高效解决动态几何问题（如平行线间距离一致性验证）或优化代数与几何思维的转化路径. 【内容展示】 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【证明过程】 证法一： 过点与直线垂直的直线方程为， 由得， 即． 证法二： 直线的方向向量为，设是直线上的任意一点，． 因为，所以． 【内涵外延】 与距离有关的公式： ①两点间的距离公式：两点和间的距离为：. ②平行线间的距离公式：两条平行直线的一般式方程为 ，则它们的距离为：. ③点到平面的距离公式：若平面方程为，点 ，则点 到平面的距离为：. ④平行平面间的距离公式：两个平行平面的标准方程为 ，则它们的距离为：. 灵活应用一 点到直线的距离公式的正用 典例1 已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 【详细解析】设，连接，则，可得， 所以， 即，可得， 所以的最小值为点到直线：的距离． 故答案为： 【题后反思】本题通过数形结合把动点间的最短距离问题转化为点到直线的距离问题. 【举一反三】 1．求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 灵活应用二 点到直线的距离公式的逆用 典例2 已知实数满足，则的取值范围是 ． 【详细解析】，记， 如图，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为，所以，， 则． 【题后反思】求的最值，可将其凑成，转化为点到直线的距离来分析．本题也可用三角换元来处理． 【举一反三】 2．过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 灵活应用三 点到直线的距离公式的变形用 典例3‌ 已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A．1    B．2    C．3    D．4 【详细解析】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【题后反思】由点到直线的距离公式推导出平行线间的距离公式，在使用时应注意直线中的系数必须对应相同. 【举一反三】 3．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 灵活应用四 点到直线的距离公式的综合用 典例4‌ 已知直线，求的最小值． 【详细解析】可以看作是直线上任意一点到原点的距离的平方，其最小值为． 【题后反思】点到直线的距离是该点与直线上任意一点的距离的最小值，本题就是用几何的视角解决问题，大大简化了解题过程． 【举一反三】 4．已知点是抛物线上的一个动点，则的最小值是 ． （逆用公式） 5．已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． （综合应用） 6．已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 （逆用公式） 7．已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 （逆用公式） 8．在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． （综合应用） 9．函数（）的最小值（    ） A．4 B． C．5 D． （正用公式） 10．点到直线距离的最大值为 . （综合应用） 11．已知，是椭圆上两个不同的点，且满足，则的最大值为 ． （正用公式） 12．已知的顶点坐标为，，. (1)求边上的高的长. (2)求的面积. （综合应用） 13．已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． （综合应用） 14．在平面直角坐标系中，直线经过点P（-2,2）. （1）当直线平行于直线时，求直线的方程； （2）当点A（-1,5）到直线的距离等于1时，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$