圆锥曲线的切点弦公式讲义-2026届高三数学一轮复习

公式定理77圆锥曲线的切点弦公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 圆锥曲线切点弦公式是高考解析几何的重要考点，主要用于处理外点与圆锥曲线切线的关联问题.在椭圆、双曲线、抛物线大题及选填中高频出现，是突破外点切线类问题的核心工具，属解析几何高频考点. 2.在解题中的作用 圆锥曲线切点弦公式通过极线方程直接给出外点对应的切点弦直线方程，避免了先求切线再联立的繁琐步骤，将外点与切点的几何关系快速转化为代数方程，是解决切点弦方程、参数求解及轨迹问题的关键工具，显著提升解题效率. 【内容展示】 已知圆锥曲线和曲线外一点，过该点向曲线引两条切线，两切点的连线称为切点弦． 切点弦公式：过圆锥曲线（，不同时为0）外一点作曲线的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为． 【证明过程】 引理：过圆锥曲线（，不同时为0）上一点的切线方程为． 引理的证明：设切线方程为，代入并化简得 ， 当时，判别式，解得， 化简得切线方程为． 由引理可得切线． 因为，所以， 同理，， 所以，都满足方程． 【内涵外延】 圆锥曲线方程 切线方程或切点弦直线方程 圆 椭圆 双曲线 抛物线 灵活应用一 圆锥曲线的切点弦公式的正用 典例1已知椭圆与直线．过直线上的点作椭圆的两条切线分别为，，，为切点，是坐标原点．若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值． 【详细解析】如图，设点，， 则直线的方程为． 将代入可得，即，故直线过定点． 因为，所以点在以为直径的圆上， 故存在定点，使得为定值． 【题后反思】当曲线外一点在定直线上运动时，过点往曲线引两条切线，其切点弦方程必过定点．从而得到垂足的轨迹是一个圆，为圆的半径，是定值． 【举一反三】 1．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为 . 灵活应用二 圆锥曲线的切点弦公式的逆用 典例2过引抛物线的切线，切点分别为.若的斜率等于2，则（ ） A．    B．     C．1    D．2 【解题思路】因为的斜率等于2，所以设的方程为， 又因为抛物线，由圆锥曲线的切点弦公式得直线的方程为， 所以， 故. 故选：C. 【题后反思】已知切线的斜率，可以先设方程，再由圆锥曲线的切点弦公式得到直线的方程和斜率，解出参数即可. 【举一反三】 2．已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为. (1)求的方程； (2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上. 灵活应用三 圆锥曲线的切点弦公式的变形用 典例3‌已知双曲线，过点分别作双曲线的左、右两支的切线，切点分别为，，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左、右两支的切线，切点分别为，．求证：点，，在同一条直线上． 【详细解析】如图，因为，， 所以切点弦的方程为． 联立整理可得， 需满足，，， 则的中点， 从而切点弦的方程为， 整理得，即， 所以直线恒过点，所以点，，在同一条直线上． 【题后反思】由切点弦公式可写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，进而可求出直线的方程，由直线经过点即可求解． 【举一反三】 3．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 灵活应用四 圆锥曲线的切点弦公式的综合用 典例4‌经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围． 【详细解析】由切点弦公式得直线的方程为． 由，结合，利用，同时消得， ∴， ∴． 又∵点到直线的距离． ， 又，∴记，∴． 【题后反思】本题先用点表示出切点弦方程，从而写出面积表达式，再利用，满足的关系式消元成单变量函数求解． 【举一反三】 4．以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，则直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围． （正用公式） 5．过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． （正用公式） 6．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． （综合应用） 7．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． （逆用公式） 8．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． （综合应用） 9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值． （正用公式） 10．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为直线上的定点时，求直线的方程. （综合应用） 11．已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. （公式变形） 12．设点在直线上，过点P作双曲线的两条切线，切点为A、B，定点． (1)过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程； (2)求证A、M、B三点共线． （综合应用） 13．设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． （综合应用） 14．如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理77圆锥曲线的切点弦公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 圆锥曲线切点弦公式是高考解析几何的重要考点，主要用于处理外点与圆锥曲线切线的关联问题.在椭圆、双曲线、抛物线大题及选填中高频出现，是突破外点切线类问题的核心工具，属解析几何高频考点. 2.在解题中的作用 圆锥曲线切点弦公式通过极线方程直接给出外点对应的切点弦直线方程，避免了先求切线再联立的繁琐步骤，将外点与切点的几何关系快速转化为代数方程，是解决切点弦方程、参数求解及轨迹问题的关键工具，显著提升解题效率. 【内容展示】 已知圆锥曲线和曲线外一点，过该点向曲线引两条切线，两切点的连线称为切点弦． 切点弦公式：过圆锥曲线（，不同时为0）外一点作曲线的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为． 【证明过程】 引理：过圆锥曲线（，不同时为0）上一点的切线方程为． 引理的证明：设切线方程为，代入并化简得 ， 当时，判别式，解得， 化简得切线方程为． 由引理可得切线． 因为，所以， 同理，， 所以，都满足方程． 【内涵外延】 圆锥曲线方程 切线方程或切点弦直线方程 圆 椭圆 双曲线 抛物线 灵活应用一 圆锥曲线的切点弦公式的正用 典例1已知椭圆与直线．过直线上的点作椭圆的两条切线分别为，，，为切点，是坐标原点．若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值． 【详细解析】如图，设点，， 则直线的方程为． 将代入可得，即，故直线过定点． 因为，所以点在以为直径的圆上， 故存在定点，使得为定值． 【题后反思】当曲线外一点在定直线上运动时，过点往曲线引两条切线，其切点弦方程必过定点．从而得到垂足的轨迹是一个圆，为圆的半径，是定值． 【举一反三】 1．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设出点坐标，根据相切关系分析得到的直线方程，由此表示出的坐标并表示出的面积，再根据在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值. 【详解】设，点坐标为，点坐标为， 因为， 所以化简可得，所以是方程的两个解， 所以直线的方程为，所以且， 所以的面积，且， 所以，所以，取等号时，即或， 综上可知：面积的最小值为， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下： （1）过圆上一点作圆的切线，则切线方程为； （2）过圆外一点作圆的切线，切点为，则直线的方程为. 灵活应用二 圆锥曲线的切点弦公式的逆用 典例2过引抛物线的切线，切点分别为.若的斜率等于2，则（ ） A．    B．     C．1    D．2 【解题思路】因为的斜率等于2，所以设的方程为， 又因为抛物线，由圆锥曲线的切点弦公式得直线的方程为， 所以， 故. 故选：C. 【题后反思】已知切线的斜率，可以先设方程，再由圆锥曲线的切点弦公式得到直线的方程和斜率，解出参数即可. 【举一反三】 2．已知双曲线的右焦点为，过与轴垂直的直线交于两点，且，离心率为. (1)求的方程； (2)已知圆上点处的切线方程是，利用类比思想可知双曲线上点处的切线方程为.过点分别作双曲线的左､右两支的切线，切点分别为，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为，证明：点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知先表示，结合已知及双曲线性质即可求解； （2）由已知直线与圆相切可求得直线与双曲线相切的方程，可求出的直线方程，联立直线与双曲线方程，进而可求出直线的方程，可得直线经过点，即可求解. 【详解】（1）在中， 令，得， 所以， 则，解得. 所以的方程为. （2）由类比思想可知双曲线在处的切线方程为， 同理，在处的切线方程为， 又因为两切线的交点为， 所以满足， 从而得到直线的方程为. 联立方程，整理可得，需满足 所以， 即可得线段的中点， 设， 根据已知可得在两点处的切线方程分别为 又两切线交点为， 所以， 可得直线的方程为， 整理得， 即， 直线恒过点， 所以点在同一条直线上. 【点睛】关键点睛：本题考查了直线与双曲线位置关系的应用，考查了方程思想的应用，属于中档题. 解题关键是把双曲线在处的切线方程设出来，结合两切线的交点,可把直线的方程求出来，联立双曲线方程，运用韦达定理可求出中点的坐标.同理把双曲线在处的切线方程设出来，结合交点可求出直线的方程，根据直线的方程，即可判断直线恒过点，即点在同一条直线上. 灵活应用三 圆锥曲线的切点弦公式的变形用 典例3‌已知双曲线，过点分别作双曲线的左、右两支的切线，切点分别为，，连接，并过线段的中点分别再作双曲线左、右两支的切线，切点分别为，．求证：点，，在同一条直线上． 【详细解析】如图，因为，， 所以切点弦的方程为． 联立整理可得， 需满足，，， 则的中点， 从而切点弦的方程为， 整理得，即， 所以直线恒过点，所以点，，在同一条直线上． 【题后反思】由切点弦公式可写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，进而可求出直线的方程，由直线经过点即可求解． 【举一反三】 3．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）易知点、，故， 因为椭圆的离心率为，故，， 因此，椭圆的方程为； （2）设点为椭圆上一点， 先证明直线的方程为， 联立，消去并整理得，， 因此，椭圆在点处的切线方程为. 在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 因为，则，即，整理可得， 所以，，因为，，故，， 所以，直线的方程为，即. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切. 灵活应用四 圆锥曲线的切点弦公式的综合用 典例4‌经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围． 【详细解析】由切点弦公式得直线的方程为． 由，结合，利用，同时消得， ∴， ∴． 又∵点到直线的距离． ， 又，∴记，∴． 【题后反思】本题先用点表示出切点弦方程，从而写出面积表达式，再利用，满足的关系式消元成单变量函数求解． 【举一反三】 4．以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，则直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围． 【答案】 【分析】利用圆的切点弦公式写出直线的方程，再利用圆的弦长公式以及椭圆的弦长公式得出和，再通过换元借助导数即可求解. 【详解】    由题意可得圆的方程为． 设点，由切点弦公式得点满足方程， 则到的距离，， 下面计算：联立方程组，则， 设点，点，， ， ， 不妨设，则， 设，， 设，，令，则， 在单调递增，，即 （正用公式） 5．过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为、（、不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为、，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】先求出直线的方程为，可得出、的表达式，再由可计算得出为定值. 【详解】设点、，先证明出直线的方程为， 由题意可知，联立可得， 故，所以，直线的方程为， 同理可知，直线的方程为， 由题意可得， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 由题意可知，直线经过点、，所以，即， 由题意可知，即， ，即为定值． （正用公式） 6．已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，为切点，求直线的方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的切线方程（或切点弦方程）的结论直接代入即可得直线的方程. 【详解】如下图所示： 方法一： 根据题意，设切点坐标为， 根据结论：若点在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程是． 则可得切线的方程分别为，； 又因为在切线上，可得，； 因此在方程的两根， 可知直线的方程为，也即. 方法二： 可直接利用结论：若点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点为点，则切点弦的直线方程是； 可得直线的方程为，也即 （综合应用） 7．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以， 其中，即． 当时，． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； （逆用公式） 8．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点. (1)证明：点P在一条定直线上； (2)求的面积最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）先求出，进而可得抛物线的方程，由题意可得直线l的斜率存在，则设直线l的方程为，设，，将直线方程代入抛物线方程中消去，利用根与系数的关系，利用导数的几何意义求出切线的方程，联立求出点的坐标即可证明； （2）利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，再利用弦长公式求出，从而可表示出的面积，进而可求出其最小值. 【详解】（1）由题意可得:，解得：，所以抛物线的方程为； 由抛物线焦点，易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为． 由，消去y并整理，得．． 设，，则，． 对求导，得，∴直线的斜率，则直线AP的方程为，即． 同理得直线的方程为． 设点，联立直线与的方程，，即． 即点P在直线上； （2）由， 点P到直线的距离， 得的面积，当且仅当时等号成立． 所以面积的最小值为16，此时直线l的方程为． （综合应用） 9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值． 【答案】3 【分析】设，，表示出和的方程，进而可得的方程，确定所过定点坐标；联立和抛物线方程，由韦达定理表示出，，进而表示出，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 设过点的切线方程为， 则联立方程，化简可得， 因为直线与抛物线相切，则，得， 而为抛物线上一点，则， 代入可得，得， ，即， 即切线方程为． 设，， 由上式可知切线的方程为，的方程为， 又均过， ，， 故的方程为，由此可得恒过定点， 由得，， ， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立 的最小值为3． 故答案为：3. （正用公式） 10．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为直线上的定点时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设拋物线的方程为，利用点到直线的距离，求出，得到抛物线方程； （2）直接由切点弦公式解得. 【详解】（1）依题意，设拋物线的方程为，由, 结合，解得，所以拋物线的方程为. （2）拋物线的方程为， 切线均过点， 所以直线的方程为. （综合应用） 11．已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，从而得到点的坐标为，再根据点是抛物线上任一点，代入方程，整理可得； （2）设，，，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，同理可得，从而得到直线的方程为，再由点到直线的距离公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）设，因为为的中点，所以点的坐标为， 又点是抛物线上任一点，所以， 整理得，即的方程为； （2）设，，，则，，， 由抛物线的方程为，即，则， 所以的方程为，即， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以点到直线的距离的最小值为. （公式变形） 12．设点在直线上，过点P作双曲线的两条切线，切点为A、B，定点． (1)过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程； (2)求证A、M、B三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立垂线与直线的方程求出，根据重心公式求出点坐标，代入双曲线得解 （2）将切线方程与双曲线联立，根据判别式为0求出、的方程， 根据在上，得点都在直线上 又也在直线上，得证. 【详解】（1）设，垂线的方程为：， 由得垂足， 设重心 所以 解得， 由 可得即为重心所在曲线方程． （2）设，由已知得到，且，， 设切线的方程为：由得 从而,解得 因此的方程为： 同理的方程为： 又在上，所以， 即点都在直线上 又也在直线上，所以三点共线 （综合应用） 13．设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与方程可得与横坐标有关韦达定理，结合弦长公式计算即可得解； （2）借助导数可得、，从而得到，结合韦达定理可表示出，结合圆的纵坐标的范围即可得解. 【详解】（1）设点， 由，可得， 则，， ，解得， 即抛物线； （2）设点，，，其中，， 由，即，， 则，， 则有， 即，都在直线上， 化简得， 将直线的方程代入得， 则，， 则 ， 又为的一点，则，故． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. （综合应用） 14．如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．    【答案】． 【分析】设，，则切点弦的方程为，与抛物线方程联立即可求出，进而求出，再求切线方程即可求出，化简求出四边形的面积，最后结合的范围求一元二次函数的最值即可. 【详解】设点，，则切点弦的方程为， 设，联立，得， 从而， 则， 点到直线的距离为， 则， 由，得，则， 则直线， 则，同理可得，， 故， 故四边形的面积为 ， 当时，，， 当且仅当时，两个等号同时成立， 故四边形的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$