样本均值公式讲义-2026届高三数学一轮复习

公式定理64样本均值公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 样本均值公式在高考中属统计核心考点，​重要性体现在其作为数据集中趋势的基础度量，常考题型包括直接计算、分析增减数据对均值的影响及与方差等统计量的综合应用.题目多结合经济指标、实验数据等现实场景，考查逻辑推理与数学建模能力.​几乎每年必考，覆盖选择、填空及解答题，是连接数学理论与实际问题的关键纽带. 2.在解题中的作用 样本均值公式的题型在解题中主要用于量化数据集中趋势，是统计分析的基础工具.通过计算均值，学生能快速比较不同数据组的平均水平，分析增减数据对整体趋势的影响. 【内容展示】 样本均值公式：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数． 【内涵外延】 1.公式的解读 平均数是刻画“中心位置”的量，描述了一组数据的集中程度，我们往往根据样本数据的集中趋势估计总体的集中趋势． 2.公式的拓展 （1）在分层抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层抽取的样本量分别为和．用表示第1层样本的各个个体的变量值，平均值记为；用表示第2层样本的各个个体的变量值，平均值记为，则总体样本平均数为． （2）在频率分布直方图中，我们无法知道组内的数据的分布．此时，通常假设它们在组内均匀分布，所以样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （3）数据的均值为，数据的均值为为常数．如果满足，则． 灵活应用一 样本均值公式的正用 典例1已知样本的平均数为，样本的平均数为，则样本的平均数为（    ） A．                B．            C．            D． 【详细解析】总体平均数，故选B． 【题后反思】求平均数时，直接运用公式计算即可，对于加权平均数一定要注意各个数据的数量． 【举一反三】 1．在 “好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85  86 92   87   89   95   82   91   85 小组B：95  93  51   88   90   89   91   92   94 分别求两组评委打分的平均分． 灵活应用二 样本均值公式的逆用 典例2 某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是 . 【详细解析】由，可得. 所以数据从小到大为，显然中位数为16. 故答案为：16 【题后反思】对于公式逆用，本质是解一元一次方程的根． 【举一反三】 2．某选手参加比赛，9名评委的评分结果如下：87，91，90，87，90，94，99，9*，91，其中9*是模糊成绩．在去掉一个最高分，去掉一个最低分后，剩余7个得分的平均数为91，则9*是 ． 灵活应用三 样本均值公式的变形用 典例3‌ 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为 ． 【详细解析】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为. 故答案为：19. 【题后反思】 一组数据加减平均数公式的变形规则如下‌： ①一组数据都加上（或减去）同一个数，所得新数据的平均数等于原平均数加上（或减去）这个数‌. ②一组数据都变为原来的m倍，所得新数据的平均数等于原数据平均数的m倍‌. 【举一反三】 3．已知数据，，…，的平均数为4，那么数据，，…，的平均数为（    ） A． B． C．1 D．17 灵活应用四 样本均值公式的综合用 典例4中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【详细解析】（1）由题意可得， 解得. （2）， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁. 【题后反思】在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形面积（即频率）与其底边中点横坐标（组中值）乘积的总和. 【举一反三】 4．学校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．求的值，并估计此次校内测试分数的平均值. （综合应用） 5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则 A． B． C． D． （公式变形） 6．样本数据，，，，，的平均数为5，若，则数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 （逆用公式） 7．一个样本容量为4的样本的平均数为18，现样本加入新数8，此时样本数据的和为（   ） A．26 B．60 C．72 D．80 （综合应用） 8．下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（   ） A． B． C． D． （逆用公式） 9．某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． （综合应用） 10．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . （综合应用） 11．为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） （正用公式） 12．某学生每天坚持阅读课外书籍，他连续记录了两周中每天阅读的页数，如下表所示. 第n天 1 2 3 4 5 6 7 页数 5 4.5 6 4 6 8 10 第n天 8 9 10 11 12 13 14 页数 4.5 6.5 5 5.5 7 9 9.5 假设平均一本书有200页，该学生一年可以看完多少本书？ （综合应用） 13．某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高？（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） （综合应用） 14．某校有高中生2000人，其中男女生人数之比约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案． 方案一：采用比例分配的分层随机抽样法，抽取了样本量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图． 身高 频数 6 4 方案二：采用分层随机抽样法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的平均数为170，女生样本的平均数为160． (1)根据图表信息，求并将频率分布直方图补充完整，估计该校高中生身高的平均数．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表） (2)计算方案二中总样本的平均数． (3)计算两种方案总样本平均数的差，并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理64样本均值公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 样本均值公式在高考中属统计核心考点，​重要性体现在其作为数据集中趋势的基础度量，常考题型包括直接计算、分析增减数据对均值的影响及与方差等统计量的综合应用.题目多结合经济指标、实验数据等现实场景，考查逻辑推理与数学建模能力.​几乎每年必考，覆盖选择、填空及解答题，是连接数学理论与实际问题的关键纽带. 2.在解题中的作用 样本均值公式的题型在解题中主要用于量化数据集中趋势，是统计分析的基础工具.通过计算均值，学生能快速比较不同数据组的平均水平，分析增减数据对整体趋势的影响. 【内容展示】 样本均值公式：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数． 【内涵外延】 1.公式的解读 平均数是刻画“中心位置”的量，描述了一组数据的集中程度，我们往往根据样本数据的集中趋势估计总体的集中趋势． 2.公式的拓展 （1）在分层抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层抽取的样本量分别为和．用表示第1层样本的各个个体的变量值，平均值记为；用表示第2层样本的各个个体的变量值，平均值记为，则总体样本平均数为． （2）在频率分布直方图中，我们无法知道组内的数据的分布．此时，通常假设它们在组内均匀分布，所以样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （3）数据的均值为，数据的均值为为常数．如果满足，则． 灵活应用一 样本均值公式的正用 典例1已知样本的平均数为，样本的平均数为，则样本的平均数为（    ） A．                B．            C．            D． 【详细解析】总体平均数，故选B． 【题后反思】求平均数时，直接运用公式计算即可，对于加权平均数一定要注意各个数据的数量． 【举一反三】 1．在 “好声音”校园歌手决赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：85  86 92   87   89   95   82   91   85 小组B：95  93  51   88   90   89   91   92   94 分别求两组评委打分的平均分． 【答案】88；87 【分析】运用平均值公式计算即可. 【详解】记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. 灵活应用二 样本均值公式的逆用 典例2 某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是 . 【详细解析】由，可得. 所以数据从小到大为，显然中位数为16. 故答案为：16 【题后反思】对于公式逆用，本质是解一元一次方程的根． 【举一反三】 2．某选手参加比赛，9名评委的评分结果如下：87，91，90，87，90，94，99，9*，91，其中9*是模糊成绩．在去掉一个最高分，去掉一个最低分后，剩余7个得分的平均数为91，则9*是 ． 【答案】94 【分析】利用平均数的计算公式列方程求解即得. 【详解】设模糊成绩为．根据题意可知，去掉的最低分为87，最高分为99， 剩余7个得分为87，90，90，91，91，，94， 则由题意得， 解得，则所求的分数是94． 故答案为：94. 灵活应用三 样本均值公式的变形用 典例3‌ 若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为 ． 【详细解析】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为. 故答案为：19. 【题后反思】 一组数据加减平均数公式的变形规则如下‌： ①一组数据都加上（或减去）同一个数，所得新数据的平均数等于原平均数加上（或减去）这个数‌. ②一组数据都变为原来的m倍，所得新数据的平均数等于原数据平均数的m倍‌. 【举一反三】 3．已知数据，，…，的平均数为4，那么数据，，…，的平均数为（    ） A． B． C．1 D．17 【答案】B 【分析】结合题意，由平均数的计算可得. 【详解】由题意可得，即 所以. 故选：B. 灵活应用四 样本均值公式的综合用 典例4中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）. 【详细解析】（1）由题意可得， 解得. （2）， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁. 【题后反思】在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形面积（即频率）与其底边中点横坐标（组中值）乘积的总和. 【举一反三】 4．学校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．求的值，并估计此次校内测试分数的平均值. 【答案】分 【分析】先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出 【详解】，∴， 所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为： 分. （综合应用） 5．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即＝5.5,5出现的次数最多，故＝5，≈5.97 于是得. 考点：统计初步. （公式变形） 6．样本数据，，，，，的平均数为5，若，则数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据平均数定义计算可得，代入计算可得结果. 【详解】依题意可知，又可得， 因此数据，，，，的平均数是： . 故选：C （逆用公式） 7．一个样本容量为4的样本的平均数为18，现样本加入新数8，此时样本数据的和为（   ） A．26 B．60 C．72 D．80 【答案】D 【分析】根据平均数的概念求出原数据的和，即可得解. 【详解】设这个样本容量为4的样本数据分别为，则， 所以，现样本加入新数8，此时样本数据的和为80， 故选：D． （综合应用） 8．下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解. 【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误； 对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误； 对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确． 故选：D. （逆用公式） 9．某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. （综合应用） 10．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为 . 【答案】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. （综合应用） 11．为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求相应人数和频率，即可得结果； （2）分析可知从该校日均户外活动时长低于1小时、不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为、，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （3）根据题意结合加权平均数公式分别求，比较大小即可得结果. 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． （3）由题意可知：日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为， 则原数据的平均数为， 采取措施一后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 采取措施二后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 因为，所以. （正用公式） 12．某学生每天坚持阅读课外书籍，他连续记录了两周中每天阅读的页数，如下表所示. 第n天 1 2 3 4 5 6 7 页数 5 4.5 6 4 6 8 10 第n天 8 9 10 11 12 13 14 页数 4.5 6.5 5 5.5 7 9 9.5 假设平均一本书有200页，该学生一年可以看完多少本书？ 【答案】本 【分析】利用平均数的代表意义，进行估算即可得解. 【详解】这为学生2周阅读页数的平均数为 页， 这位学生估计一年可阅读页，平均一本书有200页， 所以该学生一年可以看完本书. （综合应用） 13．某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高？（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】(1)11 (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 【分析】（1）根据均值公式可求； （2）根据（1）中的结果判断是否成立后可得伸缩率是否有显著提高. 【详解】（1）， ， ． （2）由（1）知，，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． （综合应用） 14．某校有高中生2000人，其中男女生人数之比约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案． 方案一：采用比例分配的分层随机抽样法，抽取了样本量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图． 身高 频数 6 4 方案二：采用分层随机抽样法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的平均数为170，女生样本的平均数为160． (1)根据图表信息，求并将频率分布直方图补充完整，估计该校高中生身高的平均数．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表） (2)计算方案二中总样本的平均数． (3)计算两种方案总样本平均数的差，并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗？为什么？ 【答案】(1)50；16；平均数为167.2cm． (2)165 (3)2.2；答案见解析 【分析】（1）由图可求，进而得到，即可补全频率分布直方图，利用频率分布直方图求均值的公式可求； （2）利用分层抽样均值的计算可求总样本的平均数； （3）由题知方案二没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差，所以不适合. 【详解】（1）因为身高在区间内的频率为，频数为4， 所以， 故， ， ， 所以身高在区间内的频率为，在区间内的频率为，由此可补充完整频率分布直方图： 由频率分布直方图可知，样本的平均数为． 因此可估计该校高中生身高的平均数为167.2cm． （2）把男生样本记为，其平均数记为；把女生样本记为，其平均数记为， 则总样本平均数． （3）两种方案总样本平均数的差为． 用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计不合适， 原因：没有按照等比例进行分层随机抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$