样本方差公式讲义-2026届高三数学一轮复习

公式定理65样本方差公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 样本方差公式在高考中属统计核心考点，常考题型包括直接计算、比较数据稳定性（如“分析两组误差范围”）及与均值联动考查（如结合直方图分析分布特征）.题目多涉及实际场景（如经济波动、实验误差），几乎每年必考，覆盖选择、填空及解答题. 2.在解题中的作用 样本方差公式在解题中用于量化数据离散程度，是分析数据波动性的核心工具.通过计算各数据与均值偏差的平方均值，可比较不同组数据的稳定性（如“实验组与对照组误差差异”），或结合均值判断数据分布特征（如“高均值低方差”）. 【内容展示】 样本方差公式：如果一个样本中个体的变量值分别为，，，…，，样本平均数为，则称为样本方差．通常也用计算样本方差． 【证明过程】 ． 【内涵外延】 1.公式的解读 方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．方差是标准差的平方． 2.公式的拓展 ①分组数据方差计算：针对频数分布表，需用组中值代替原始数据，结合频数计算加权方差：其中为组频数，为样本均值. ②一组数据同时加（或减）一个数时，方差不变； 一组数据同时乘一个数时，方差要乘以二次根号； 一组数据同时除以一个数时，方差要乘以； 灵活应用一 样本方差公式的正用 典例1 甲、乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表： 甲 9 8 16 15 15 14 乙 7 8 13 15 17 22 ，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A．，        B．，         C．，        D．， 【详细解析】依题意，， ， ， ， 所以，．故选B． 【题后反思】方差和标准差都能反应数据的集中或分散程度． 【举一反三】 1．下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 【答案】D 【分析】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均值和方差来得出答案. 【详解】对于A： 数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0. 对于B：平均数为，方差为. 对于C： 平均数为，方差为. 对于D： 平均数为，方差为. 通过比较可知，选项D的方差最大. 故选：D. 灵活应用二 样本方差公式的逆用 典例2 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A．6    B．6.5    C．7    D．7.5 【详细解析】因为这组得分的中位数和极差均为6， 可设这组得分从小到大分别为， 因为平均数为6，可得 又因为，，所以，所以， 所以，故. 当时，这组得分分别为2，6，6，8，8. 方差： 当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9， 方差: ， 此时方差最大. 又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5. 故选：D. 【题后反思】此题逆向使用样本方差公式，可通过分类讨论求解． 【举一反三】 2．若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 ． 【答案】80 【分析】确定数据的方差，根据方差的计算公式化简，即可得答案. 【详解】由题意可设这10个数据为，其方差为， 则 ， 故， 故答案为：. 灵活应用三 样本方差公式的变形用 典例3 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A．12    B．    C．6    D．36 【详细解析】的方差为4，故的方差为， 故标准差为. 故选：C 【题后反思】 一组数据同时加上或减去同一个数，方差不变；一组数据同时乘除同一个数，方差乘除该数的平方. 【举一反三】‌ 3．已知样本数据的平均数为6，方差为16；样本数据的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为（    ） A．18 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】由题可得， 所以 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为：. 故选：B. 灵活应用四 样本方差公式的综合用 典例4 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为 ． 【详细解析】平均数反应平均水平，方差反应稳定性，越小，越稳定； 结合数据可知：丙的平均数最大，方差最小，所以应选丙． 故答案为：丙 【题后反思】在对两组数据进行决策时，可先比较平均数，平均数体现了数据的整体水平；若平均数相同，则比较方差，方差体现了数据分散和集中程度. 【举一反三】 4．某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． 【答案】(1)甲车间的平均数150，乙车间的平均数140，甲车间的方差1360，乙车间的方差2760，甲车间工作效率比较稳定 (2)0.1978 (3)答案见解析 【分析】（1）计算甲车间该日生产订单的平均数，乙车间该日生产订单的平均数，甲车间该日生产订单的方差，乙车间该日生产订单的方差； （2）计算甲、乙2个车间都不合格的概率； （3）比较2个车间的平均数、方差和合格率. 【详解】（1）甲车间该日生产订单的平均数为， 乙车间该日生产订单的平均数为， 甲车间该日生产订单的方差为， 乙车间该日生产订单的方差为， 因为甲车间该日生产订单的方差小于乙车间该日生产订单的方差， 所以甲车间工作效率比较稳定； （2）甲、乙2个车间都不合格的概率为； （3）平均数上甲车间的该日生产订单更大，方差更小，乙车间合格率更大，但是差别并不大，所以甲车间工作效率更高. （正用公式） 5．在一组数据中，出现的频率分别为，则这组数据的方差为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出平均数，再根据方差公式计算即可. 【详解】这组数据的平均数. 方差. 故选：B. （正用公式） 6．近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（    ）. 月 3 4 5 6 7 甲 70 80 95 105 130 乙 55 60 70 75 85 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先计算甲和乙的平均数和方差公式，再代入总体平均数和方差公式，即可求解. 【详解】，， ，故A正确； ，， 故，故D正确. 故选：AD （公式变形） 7．已知数据的方差为16，则数据的方差为 . 【答案】36 【分析】根据以及方差性质即可得解. 【详解】因为， 又数据的方差为16， 所以由方差性质得数据的方差为. 故答案为：36. （逆用公式） 8．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ． 【答案】 2 10或15 【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可. 【详解】组的平均数， 组的平均数， 则组的方差为 ， 则组的方差为 ， 解得或15. 故答案为：2；10或15. （逆用公式） 9．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 ． 【答案】## 【分析】设原来4个数据依次为，，，，根据平均数和方差得到方程，并求出加入数据8和10后的平均数和方差. 【详解】设原来4个数据依次为，，，，则， 因为方差为5，所以， 即， 所以， 则． 现加入数据8和10，则其平均数为， 则这6个数据的方差为 ． 故答案为： （正用公式） 10．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 . 【答案】 【分析】先由原7个数的方差求出，再求出加入一个新数据2后所得8个数的平均数，即可根据方差公式求出新方差. 【详解】原7个数的方差为，即， 加入一个新数据2后所得8个数的平均数为， 所以这8个数的方差为. 故答案为: . （公式变形） 11．有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为 ． 【答案】24 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】由题意，得新数据的平均数为， 设其方差为．因为， 所以．所以． 故答案为：24 （逆用公式） 12．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为 ． 【答案】84 【分析】将9个数据按由小到大分成前4后5两段，利用分层抽样的平均数、方差公式列式并建立不等关系求解. 【详解】设这9名学生成绩从低到高依次为，即， 则9名学生成绩的中位数为，设的平均值为m，方差为S，的平均值为n，方差为T， 依题意，，则， 因此， 当且仅当时取等号，即，整理得， 解得，即当，且时，， 此时n，也就是的最大值为84，则当时，9名学生成绩的中位数的最大值为84. 故答案为：84. （正用公式） 13．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 【答案】 【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算. 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： （综合应用） 14．某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差. 【答案】(1)上四分位数为，方差 (2) 【分析】（1）根据频率和为1运算求的值，再结合上四分位数的概念和方差的概念运算求解. （2）利用总样本方差计算公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：每组的频率依次为， 则，则，解得， 因为，则成绩的上四分位数为分. 平均值为：， 方差为： （2）样本A的， 样本B的， 所以500人的平均分为， 混合后样本的方差为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理65样本方差公式 【地位作用】 1.在高考中的地位 样本方差公式在高考中属统计核心考点，常考题型包括直接计算、比较数据稳定性（如“分析两组误差范围”）及与均值联动考查（如结合直方图分析分布特征）.题目多涉及实际场景（如经济波动、实验误差），几乎每年必考，覆盖选择、填空及解答题. 2.在解题中的作用 样本方差公式在解题中用于量化数据离散程度，是分析数据波动性的核心工具.通过计算各数据与均值偏差的平方均值，可比较不同组数据的稳定性（如“实验组与对照组误差差异”），或结合均值判断数据分布特征（如“高均值低方差”）. 【内容展示】 样本方差公式：如果一个样本中个体的变量值分别为，，，…，，样本平均数为，则称为样本方差．通常也用计算样本方差． 【证明过程】 ． 【内涵外延】 1.公式的解读 方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．方差是标准差的平方． 2.公式的拓展 ①分组数据方差计算：针对频数分布表，需用组中值代替原始数据，结合频数计算加权方差：其中为组频数，为样本均值. ②一组数据同时加（或减）一个数时，方差不变； 一组数据同时乘一个数时，方差要乘以二次根号； 一组数据同时除以一个数时，方差要乘以； 灵活应用一 样本方差公式的正用 典例1 甲、乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表： 甲 9 8 16 15 15 14 乙 7 8 13 15 17 22 ，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A．，        B．，         C．，        D．， 【详细解析】依题意，， ， ， ， 所以，．故选B． 【题后反思】方差和标准差都能反应数据的集中或分散程度． 【举一反三】 1．下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 灵活应用二 样本方差公式的逆用 典例2 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A．6    B．6.5    C．7    D．7.5 【详细解析】因为这组得分的中位数和极差均为6， 可设这组得分从小到大分别为， 因为平均数为6，可得 又因为，，所以，所以， 所以，故. 当时，这组得分分别为2，6，6，8，8. 方差： 当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9， 方差: ， 此时方差最大. 又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5. 故选：D. 【题后反思】此题逆向使用样本方差公式，可通过分类讨论求解． 【举一反三】 2．若10个数据的平均数是2，标准差是2，则这10个数据的平方和是 ． 灵活应用三 样本方差公式的变形用 典例3 设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ） A．12    B．    C．6    D．36 【详细解析】的方差为4，故的方差为， 故标准差为. 故选：C 【题后反思】 一组数据同时加上或减去同一个数，方差不变；一组数据同时乘除同一个数，方差乘除该数的平方. 【举一反三】‌ 3．已知样本数据的平均数为6，方差为16；样本数据的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为（    ） A．18 B．24 C．26 D．28 灵活应用四 样本方差公式的综合用 典例4 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 8.5 8.7 8.8 8.0 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则参加奥运会的最佳人选应为 ． 【详细解析】平均数反应平均水平，方差反应稳定性，越小，越稳定； 结合数据可知：丙的平均数最大，方差最小，所以应选丙． 故答案为：丙 【题后反思】在对两组数据进行决策时，可先比较平均数，平均数体现了数据的整体水平；若平均数相同，则比较方差，方差体现了数据分散和集中程度. 【举一反三】 4．某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A，B，C，D，E5组．下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题： A B C D E 甲车间 100 120 150 180 200 乙车间 50 120 200 150 180 (1)求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？ (2)设甲车间合格率为0.54，乙车间合格率为0.57，求甲、乙2个车间都不合格的概率； (3)你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析． （正用公式） 5．在一组数据中，出现的频率分别为，则这组数据的方差为（    ） A．2 B．2.4 C．3 D．4 （正用公式） 6．近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（    ）. 月 3 4 5 6 7 甲 70 80 95 105 130 乙 55 60 70 75 85 A． B． C． D． （公式变形） 7．已知数据的方差为16，则数据的方差为 . （逆用公式） 8．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为 ，若，两组数据的方差相同，试写出一个值 ． （逆用公式） 9．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 ． （正用公式） 10．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为 . （公式变形） 11．有一组样本数据5，，，，，已知它的平均数为5，方差为20，则新数据的方差为 ． （逆用公式） 12．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为 ． （正用公式） 13．李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． （综合应用） 14．某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$