北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 一、选择题 1．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,…,我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示,从上到下,顶上一层1个球,第二层3个球,第三层6个球…）,若一“落一形”三角锥垛有20层,则该锥垛第18层球的个数为( ) A.190 B.171 C.153 D.136 2．已知等差数列满足：,则的公差为( ) A.1 B.2 C. D. 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4．展开式中的常数项为( ) A.10 B. C.80 D. 5．已知a,b为实数,随机变量X,Y的分布列如下: X 0 1 P Y 0 1 P a b c 若,随机变量满足,其中随机变量X,Y相互独立,则取值范围的是( ) A. B. C. D. 6．已知随机变量，若，，则( ) A. B. C. D. 7．某校有7名同学获省数学竞赛一等奖,其中男生4名,女生3名.现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲.假设事件A为“选取的两名学生性别相同”,事件B为“选取的两名学生为女生”,则( ) A. B. C. D. 8．为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节.某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法的种数为( ) A.240 B.360 C.480 D.540 9．两批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则这件产品是次品的概率为( ) A.0.036 B.0.044 C.0.966 D.0.956 10．五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有( ) A.12种 B.24种 C.48种 D.96种 二、填空题 11．已知圆周率,用四舍五入法把精确到0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001的近似值分别为,,,,,从这5个近似值中任取3个,记这3个值中大于的个数为X,则________. 12．随机变量的取值为0、1、2，若，，则________. 13．如图，用4种不同颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种. A D B C 三、双空题 14．某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是______，该学生在面试时得分的期望值为______分. 15．在二项式的展开式中,常数项是___________,系数为有理数的项的个数是__________. 四、解答题 16．已知数列的前n项和, (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前多少项和最大. 17．已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式中的一次项的系数． 18．某小区物业公司为进一步提升服务质量,随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按,,,依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率,绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值； (2)求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访,则第一组,第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 19．某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名,其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名. (1)根据所给数据,完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人） 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 乙 合计 并依据小概率值的独立性检验,分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好; (2)根据疗效按照分层抽样的方法,从这200名患者中抽取8名患者,再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查,记抽取到未治愈患者人数为X,求X的分布列及数学期望. 参考公式:,其中. 0.15 0.10 0.05 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 7.879 10.828 20．已知椭圆的离心率为,长轴长为,上顶点为C,右焦点为F. （1）求的标准方程; （2）过C作直线,分别交于A,B两点,交x轴于D,E两点,其中,在的两侧,且.设直线,斜率分别为,,求; （3）在第（2）问基础上证明:直线过定点. 21．对于数列,且,则称数列为的“四分差数列”.已知数列为数列的“四分差数列”. (1)若,求,,的值. (2)设. ①求的通项公式； ②若数列满足,且的前n项和为,证明：. 参考答案 1．答案：B 解析：设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始,依次往下的各层球的个数形成数列, ,,,,,…, 由此得,即,则, 所以若一“落一形”三角锥垛有20层,则该锥垛第18层球的个数为171. 故选:B. 2．答案：D 解析：设等差数列的公差为d, 由, 可知当时,则有, 当时,则有, 解得, 所以, 解得. 故选：D. 3．答案：B 解析：由题意可得，，， ，，，，，，…，按照此规律下去， 可得，，，， 令，解得，. 故选：B. 4．答案：D 解析：展开式的通项为,. 令,解得, 所以展开式中的常数项为. 故选：D. 5．答案：B 解析：由知,,即,又,所以; 因为,b,,所以,解得.又, 且X,Y相互独立,,所以. 故选:B. 6．答案：B 解析：随机变量，则有，，由，解得，，所以.故选B. 7．答案：C 解析：由题意得,事件A包含的样本点数, 事件A和B包含的样本点数,所以. 故选：C. 8．答案：C 解析：因为每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生. 若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从5个男生中抽取一个男生，有种，剩余的6人分成两组，共有种分法，所以共有种分法.若将6个男生和3个女生，分为3组，且每组中两个男生和一个女生，共有种分法.所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法共有种.又因为每组中的两名男生有2种不同的分配情况， 所以不同的安排方法的种数为.故选C. 9．答案：B 解析：设事件B为“取到的产品是次品”,（,2）为“取到的产品来自第i批”,则,,,,由全概率公式,可得.所以这件产品是次品的概率为0.044.故选B. 10．答案：B 解析：甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的1人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：B. 11．答案：/0.36 根据已知求出,,,,的值,比较得出大于的个数,进而得出X可能取值情况,根据超几何分布概率公式求出分布列,根据期望公式得出,进而代入方差公式求解即可得出答案. 解析：由已知可得,,,,,. 所以,,,,. 所以,从这5个近似值中任取3个,记这3个值中大于的个数可能为0,1,2, 显然X服从超几何分布, 所以,,, 所以,, . 故答案为:. 12．答案： 解析：设，，则，即， 则，， 由， 整理得，而，解得，， 所以. 故答案为：1.2. 13．答案：48 解析：按照分步计数原理， 第一步：涂区域1，有4种方法； 第二步：涂区域2，有3种方法； 第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法； 所以不同的涂色种数有种． 故答案为：48 14．答案：①.；②.30 解析：因为每道题相互不影响，且每道题答对的概率都为， 所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率是， 设该学生在面试时答对题数为X，则随机变量， 所以该学生在面试时答对题目数的期望为， 又由每道题答对的概率都为，所以答一道试题得分的期望值为分， 所以该学生在面试时得分的期望值为分. 故答案为：；30. 15．答案：;5 解析：该二项展开式的第项为,当时,第1项为常数项,所以常数项为;当时,展开式的项的系数为有理数,所以系数为有理数的项的个数为5. 16．答案：(1) (2)前16项的和最大 解析：(1)当时,; 当时,; 所以：; (2)因为; 所以前16项的和最大. 17．答案：(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得，解得. (2)由(1)知，展开式的第项为 令得. 此时，所以展开式中的一次项的系数为. 解析： 18．答案：(1) (2)74 (3)2,4,8. 解析：(1)由题意可得,解得. (2)由题意可知：, 所以业主评分平均数的估计值为74. (3)评分低于70分的三组频率之比为, 故第一组抽到的人数为,第二组抽到的人数为,第三组抽到的人数为, 即第一组,第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2,4,8. 19．答案：(1)答案见解析；乙种疗法的效果比甲种疗法好 (2)答案见解析； 解析：(1) 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 35 65 100 乙 15 85 100 合计 50 150 200 假设：疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异, 根据列联表中的数据可得, 根据小概率值的独立性检验,乙种疗法的效果比甲种疗法好. (2)由分层抽样可得,从200名患者中抽取8名患者, 其中抽取到未治愈的人数为人, 抽取到治愈的人数为人, 且抽取到未治愈患者人数为X,则, 则, , , 则分布列为 X 0 1 2 P 则期望. 20．答案：（1） （2） （3）证明见解析 解析：（1）设焦距为2c, 则,,且, 解得,, 因此的标准方程为. （2）在,中分别由正弦定理, 得,, 又由,及, 得, 故. 又直线,的斜率分别为,, 则两直线的方程分别为, 则F到这两条直线的距离相等, 即,平方得, 化简得,又, 则. （3）证明:设直线,,, 与椭圆方程联立得, 消去y,得, 即,, 则,, 因此 , 化简得,由,解得. 因此直线过定点. 21．答案：(1),, (2)①；②证明见详解 解析：(1)由题意可设：,则, 若,则, 且,可得, 所以,,. (2)①由(1)可得, 若,则, 且,可得, 所以的通项公式； ②因为,即, 则, 可得, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$