1.2.1（第2课时）充要条件（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

2.1　必要条件与充分条件 第2课时　充要条件 知识点一 充要条件的判断 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 2．条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 注意： (1)分类： ①p⇒q，q不能推出p⇔p是q的充分不必要条件； ②q⇒p，p不能推出q⇔p是q的必要不充分条件； ③p⇒q且q⇒p⇔p是q的充要条件； ④p不能推出q且q不能推出p⇔p是q的既不充分也不必要条件． (2)传递性： ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件． 3. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点二 充要条件的证明 ★1．充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点三 充分、必要条件的应用 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 题型一、充要条件的证明 解题技巧提炼 探求充要条件的方法 (1)等价转化法:将原命题进行等价变形或转化，直至获得使原命题成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的,所以此时不需要再分开证明充分性和必要性. (2)非等价转化法:先探求出该命题成立的必要条件，然后务必证明该条件也是该命题成立的充分条件，方可得出该命题成立的充要条件. 1．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得或， 所以“”是“或”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义和传递性，逐个判断，可得结论. 【详解】由是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件， 可得，推不出，，， 所以，故是的充要条件，①正确； ，推不出，故是的充分不必要条件，②正确； ，故是的充要条件，③错误； ，故是的充要条件，④错误. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题干直接判断即可. 【详解】因为，且 ， 所以， 所以是的充要条件. 故选：C 4．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且，D正确， 故选：BD． 题型二、探求命题为真的充要条件 解题技巧提炼 (1)有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论，谁是谁的什么条件.由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性 (2)证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性.要弄清它的叙述格式,是证明“p是q的充要条件”还是证明“p的充要条件是q”,避免在论证时将充分性错当必要性证，将必要性错当充分性证. (3)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 5．（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用维恩图求解. 【详解】因为，则关系如图， 由图可知BCD选项错误，正确. 故选：A 6．（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 7．（多选）（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 【答案】ABD 【分析】根据集合、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，集合，集合， 所以两个集合不是同一个集合，所以命题是假命题. B选项，当“为空集”时，可能， 此时都不是空集，所以命题是假命题. C选项，根据交集和并集的定义可知，恒成立，命题是真命题. D选项，由于集合的元素不相同，所以两个集合不相等，所以命题是假命题. 故选：ABD 8．（多选）（23-24高一上·湖北恩施·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 B．“”的一个必要不充分条件是“” C．“是实数”的一个充分不必要条件是“是有理数” D．“”是“”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据充分、必要条件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A：由“四边形是正方形”可推出“四边形是菱形”，反之不一定成立，故A选项正确； B：方程，解或， 所以，“”的一个必要不充分条件是“”，故B选项正确； C：“是有理数”可以推出“是实数”，反之不一定成立，故C选项正确； D：解方程，得，则“”是“”必要不充分条件，故D选项错误. 故选：ABC 题型三、根据充要条件求参数 解题技巧提炼 从以下两点考虑: (1)从集合角度认识条件与结论的关系;(2)根据集合之间的包含关系,寻找参数满足的条件. 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 10．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 11．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得， 所以，. 故答案为：. 12．（22-23高三上·陕西西安·期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 【答案】 /0.5 【分析】分别根据充要条件以及必要不充分条件的含义即可求解. 【详解】因为A是B的充要条件，则解集相同.，得，因为，则，解得；因为A是B的充分不必要条件，即 ，又因为，且，则，需要，解得，即 故答案为：； 13．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果； （2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果. 【详解】（1）若，则， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则， 所以，解得． 又，所以， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则， 所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 14．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1　必要条件与充分条件 第2课时　充要条件 知识点一 充要条件的判断 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． 2．条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 注意： (1)分类： ①p⇒q，q不能推出p⇔p是q的充分不必要条件； ②q⇒p，p不能推出q⇔p是q的必要不充分条件； ③p⇒q且q⇒p⇔p是q的充要条件； ④p不能推出q且q不能推出p⇔p是q的既不充分也不必要条件． (2)传递性： ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件． 3. 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合之间的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点二 充要条件的证明 ★1．充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 知识点三 充分、必要条件的应用 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 题型一、充要条件的证明 解题技巧提炼 探求充要条件的方法 (1)等价转化法:将原命题进行等价变形或转化，直至获得使原命题成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的,所以此时不需要再分开证明充分性和必要性. (2)非等价转化法:先探求出该命题成立的必要条件，然后务必证明该条件也是该命题成立的充分条件，方可得出该命题成立的充要条件. 1．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题： ①是的充要条件；        ②是的充分不必要条件； ③是的必要不充分条件；    ④是的充分不必要条件. 正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）是的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（多选）（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 题型二、探求命题为真的充要条件 解题技巧提炼 (1)有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论，谁是谁的什么条件.由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性 (2)证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性.要弄清它的叙述格式,是证明“p是q的充要条件”还是证明“p的充要条件是q”,避免在论证时将充分性错当必要性证，将必要性错当充分性证. (3)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 5．（23-24高一上·河南·期中）已知U为全集，集合A，B为U的两个子集，则“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 7．（多选）（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（    ） A．集合与集合是同一个集合 B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件 C．对于任何两个集合A，B，恒成立 D．，，则 8．（多选）（23-24高一上·湖北恩施·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 B．“”的一个必要不充分条件是“” C．“是实数”的一个充分不必要条件是“是有理数” D．“”是“”的充要条件 题型三、根据充要条件求参数 解题技巧提炼 从以下两点考虑: (1)从集合角度认识条件与结论的关系;(2)根据集合之间的包含关系,寻找参数满足的条件. 9．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 11．（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 12．（22-23高三上·陕西西安·期中）集合，其中b是实数，若A是B的充要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一个即可） 13．（22-23高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 14．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$