精品解析：湖南省长沙市周南中学2025届高三模拟考试（三）数学试题

长沙市周南中学2025 届高三模拟试卷数学（三） 命题人:长沙市周南中学高三数学备课组 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，那么＝（ ） A 2＋i B. 2－i C. 1＋2i D. 1－2i 3. 已知向量，且，那么（  ） A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 4. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A B. C. 9 D. 16 5. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数 ，方程 的根的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 的定义域为 ，若 ，且对任意 ，满足 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.75和，则甲组数据的线性相关性更强 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 10. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ） A. 当 时，曲线 在 处的切线方程为 B. 当 时， 有极小值 C. 若 时， 恒成立，则 在 单调递增 D. 若 时， 恒成立，则 的极小值为 11. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，点在底面ABCD内（包含边界），且直线底面ABCD，记直线PA与底面ABCD所成角为，PB与底面ABCD所成角为，二面角P-CD-A的平面角为，则（ ） A. 若，则在AB的垂直平分线上 B. 若，则的轨迹长度为 C. 若，则的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则当与面积之比为时， 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 13. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为________. 14. 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则________； ________，（用含n的式子表示，）． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求； （3）若为上一点，且的面积为，求． 16. 随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 . （1）现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. （i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率； （ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 . 17. 如图，在三棱柱 中，底面 是正三角形， . （1）求证:三棱锥 是正三棱锥； （2）若三棱柱 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 . （1）求的方程； （2）过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点. （i）证明: ； （ii）若点是外心，求面积的最大值. 19. 若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”. （1）已知函数在区间上是一个 “ 函数”，求； （2）证明: 函数在区间上是一个 “ 函数”; （3）证明: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2025 届高三模拟试卷数学（三） 命题人:长沙市周南中学高三数学备课组 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，监考员将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B. 2. 复数z满足，那么＝（ ） A. 2＋i B. 2－i C. 1＋2i D. 1－2i 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：， 所以. 故选：B 3 已知向量，且，那么（  ） A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到，求出模长即可. 【详解】由，且，得，解得， 故， 所以. 故选：B 4. 已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ） A. B. C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 5. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、三角不等式及充分不必要的定义即可判断. 【详解】因为，，所以， ，即， 所以是钝角三角形， 当是钝角三角形，且时， 当为钝角时，，此时. 所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：. 6. 已知函数 ，方程 的根的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 7. 已知圆锥的母线长为 1，其侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥内切球半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆半径，圆锥内切球半径为，利用弧长公式求出和高线的长，结合圆锥的轴截面面积列出方程，求解即得. 【详解】如图，设圆锥的底面圆半径，则， 解得 ，于是圆锥的高. 设该圆锥内切球的球心为点，由对称性可知点在高线上， 设该圆锥内切球半径为， 因圆锥的轴截面为等腰三角形，故其面积为， 解得 . 故选： A 8. 设函数 的定义域为 ，若 ，且对任意 ，满足 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得出的具体表达式，再利用累加法求出的值，最后结合的值求出. 【详解】由 ，可得 ， 因为 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 . 故选: D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.75和，则甲组数据的线性相关性更强 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的概率可判断A，根据线性相关系数的意义可判断B，根据正态分布参数的意义可判断C，根据极差和方差的性质可判断D. 【详解】对A，由于抽样的等可能性知，个体被抽到的概率是，故A正确； 对B，线性相关系数的绝对值越接近于1，则数据的线性相关性越强， 所以乙组数据的线性相关性更强，故B错误； 对C，根据正态分布参数的意义，越小表示随机变量的分布越集中， 则该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故C错误； 对D，新数据的极差为，方差为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ） A. 当 时，曲线 在 处的切线方程为 B. 当 时， 有极小值 C. 若 时， 恒成立，则 在 单调递增 D. 若 时， 恒成立，则 的极小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义易求得切线方程判断A项；对于B，判断当，时，推得恒成立，继而在上单调递增，排除B项；利用条件易得在上恒成立，即可判断；对于D，由条件判断与方程 有相同的根，求出，代入原方程，求导判断函数单调性得函数极值即可. 【详解】对于A，当 时，，则且， 则，故曲线 在 处的切线方程为，即，故 正确； 对于B，当 时，，当时，恒有， 此时函数在上单调递增，故没有极值，即B错误； 对于C，当时，由题设易得，即函数在上单调递增，故C正确； 对于D，，因 时， 恒成立， 故与方程 有相同的根，即 的两个实数根为1，2， 由可得，故， 则， 由 得 或，由 可得 ， 故在和上单调递增；在上单调递减， 故函数在 处取得极大值，在 处取得极小值，故D正确. 故选： ACD. 11. 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，点在底面ABCD内（包含边界），且直线底面ABCD，记直线PA与底面ABCD所成角为，PB与底面ABCD所成角为，二面角P-CD-A的平面角为，则（ ） A. 若，则在AB的垂直平分线上 B. 若，则的轨迹长度为 C. 若，则的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则当与面积之比为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可得，即可判断；对于B，建系后利用推出，求出点P0的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，结合图形求出轨迹圆弧所对的圆心角，即可求得答案；对于C，利用条件，根据抛物线定义即可判断；对于D，建系后，易得点P0的轨迹方程为，利用条件推得，继而求出直线的斜率，利用抛物线焦半径计算公式即得. 【详解】 对于A，如图1，因直线底面ABCD，则 是直线PA，PB与底面ABCD所成角， 由，可知，则在AB的垂直平分线上，故A正确； 对于B，由可得，即. 如图以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设点，则，则得， 化简得，即点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆， 如图2所示，该圆交棱AD于点F，则，， 故的轨迹长度为，故B错误； 对于C，当时，到点A的距离等于到CD的距离， 由抛物线的定义，可知的轨迹是抛物线的一部分，故C正确； 对于D，如图3，以AD的中点为G为原点，GA所在直线为x轴，以过点G且与AD垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 因，直线的方程为，由C可得：点的轨迹方程为， 过作垂直于CD，垂足为M，过作垂直于AD，垂足为N， 由当与面积之比为时，， 因，则，则， 则由抛物线的焦半径公式，可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 13. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为________. 【答案】 【解析】 分析】根据已知条件及双曲线定义得出，再应用离心率公式计算. 【详解】因为，， 所以设所以， 则，所以， 所以，又因为，所以， 则双曲线C的离心率为. 故答案为：. 14. 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知n维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则________； ________，（用含n的式子表示，）． 【答案】 ①. 14 ②. 【解析】 【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为，根据乘法原理和加法原理得到；考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据和的展开式的加减得到的通项公式. 【详解】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到. 当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相减得到； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为， 根据乘法原理和加法原理得到， ， ， 两式相加得到. 综上所述：. 故答案为：14，． 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求； （3）若为上一点，且的面积为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在和中，分别用余弦定理得到方程，结合，得到，求出答案； （2）由（1）可知，故，在中，由正弦定理得到方程，求出，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到； （3）由的面积和三角形面积公式得到方程，求出． 【小问1详解】 在中， 由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得 ，② 又， 所以，③ 由①②③得， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 又，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得，所以， 所以． 【小问3详解】 由的面积为，得， 解得． 16. 随着 2025 年春节档电影《哪吒》与《封神榜》的播出，中学生中掀起了一股对 “中国神话故事”的讨论热潮.某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “中国神话故事”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各 50 名作为样本，设事件 “喜欢中国神话故事”， “学生为女生”，据统计 . （1）现采用分层抽样从 50 名女生样本中选出 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，求 的概率分布列和期望; （2）将样本的频率视为概率. （i）求该校任意一名学生喜欢中国神话故事的概率； （ii）现从全校的学生中随机抽取 名学生，设其中喜欢中国神话故事的学生人数为 ，且当 时， 取得最大值，求从全校学生中抽取的人数 . 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i） ；（ii） 或 40或41 【解析】 【分析】（1）的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）（i）由条件概率公式即可求解；（ii）由二项分布概率最大可列不等式求解. 【小问1详解】 ，所以 5 个女生中喜欢神话故事和不喜欢神话故事的人数分别为 3 人和 2 人，故的取值范围是 ， ， 的分布列为 1 2 3 P 故 的期望为 ； 【小问2详解】 （i） 因为已知 ，女生有 50 人，所以喜欢神话故事的女生人数为 30 人， 又因为 ，所以喜欢神话故事的人数为 45 人，可得 . （ii） 随机变量 ， 令 ， 解得 ， 因为 ，所以 或 40或41. 17. 如图，在三棱柱 中，底面 是正三角形， . （1）求证:三棱锥 是正三棱锥； （2）若三棱柱 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作 平面 于点 ，利用条件证明平面，推得，同理即可证得点 是 的垂心，则可得证； （2）由三棱柱的体积，结合，求得三棱柱的高，如图建系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式，计算即得. 【小问1详解】 过点 作 平面 于点 ， 平面 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 又 平面 则， 同理可证 ，故 是 的垂心， 又 是正三角形，则 是 的中心， 因此三棱锥 是正三棱锥. 【小问2详解】 因为三棱柱 的体积为 ， 因，故底面的面积为 ， 所以三棱柱的高， 以 的中点 为坐标原点，以 为 轴的正方向，过且与平行的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量为 ， 因为 ，， 则 ，取 ，则 ， 又 ， 设直线 与平面 所成角 ， 故. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 . （1）求方程； （2）过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点. （i）证明: ； （ii）若点是的外心，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理得证； （ii）结合（i）求出点的坐标，进而求出三角形面积表达式，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，，解得，则， 所以椭圆方程 ; 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，， 由，整理得， 由，得， ，， 若轴，由，解得，则， 此时的斜率，即，不合题意，则，的斜率均存在， 因此， 所以. （ii） 设的中点为，则， 点，线段的垂直平分线为， 由（i）知，点关于轴对称，令，得，则， 于是的面积， 令，设， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 19. 若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个 “ 函数”. （1）已知函数在区间上是一个 “ 函数”，求； （2）证明: 函数在区间上是一个 “ 函数”; （3）证明: . 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列出恒成立的不等式，再分离参数，结合反比例函数单调性求解. （2）由给定的定义，利用导数证明及在上恒成立. （3）利用（2）的信息及结论可得在上成立，取，利用裂相消法求和推理得证. 【小问1详解】 由 在区间上是一个 “ 函数”， 则任意恒成立，即恒成立， 而当时，，因此，解得， 所以. 【小问2详解】 要证在区间上是一个“ 函数”， 需证时，，证明如下: 令 ，求导得， 令，求导得，即在上单调递增，且 ， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 因此，即； 令，求导得， 令，求导得， 当或时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减， 又， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，因此，即， 所以，即函数在区间上是一个 “ 函数”. 【小问3详解】 当，则，由（2）知且，则， 因此，即当时，，令，， 则， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $