湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期模拟考试（三）数学试题

南雅中学2025届高三模拟试（三）数学参考答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，，则平面图形中对角线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4.若函数为偶函数，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 6.数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 7.已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】， 当时，，结合图像可得，解得， 所以实数的取值范围是． 8. 已知函数且满足，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】因为函数且满足，即，所以， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以，解得：，所以． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设两个随机变量X、Y满足X服从正态分布，Y服从二项分布，则（   ） （若随机变量，） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于A，，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，，，D正确. 10.已知函数，则下列判断正确的是（   ） A．函数的图象关于轴对称B．函数的最小值为2，无最大值 C．函数在上单调递增D．不等式的解集为 【答案】ABD 11.已知的三个顶点分别是点，，，以下正确的是（   ） A 的外接圆的标准方程． B P是抛物线上的动点,,则PA的最小值是4 C 同时和三角形三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于36 D P是的内切圆上的动点,,则点P到三顶点的距离的平方和的取值范围是[18,22] 答案ACD 【详解】A：由题意知，为圆的直径，设圆心为，则中点即为， 所以半径为， 故外接圆的标准方程为：. B ：PA的最小值是根号15 C ：一个内切圆和三个旁切圆半径分别为1,2,3,6. D：设点的参数形式可得总平方和=20-2cosa 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.椭圆的离心率为________. 【答案】 13.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 14.空间直角坐标系中有一点，其中均为正整数，若，则称点P具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点P共有________个. 【答案】90 【解析】将2025分解为，设，，， 则， 法一：的取值为0，0，4时，有3种取法，的取值为0，1，3时，有6种取法， 的取值为0，2，2时，有3种取法，的取值为1，1，2时，有3种取法， 故的取值共有15种； 的取值为0，0，2时，有3种取法，的取值为0，1，1时，有3种取法， 故的取值共有6种； 由于每一个不同的点P都唯一对应一组，的取值， 故具有性质“2025高考大捷”的不同的点P共有个. 法二：方程的解的个数为， 方程的解的个数为， 故具有性质“2025高考大捷”的不同的点P共有个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） ABC内角A,B,C的对边分别为,已知2+b=2ccosB, （1）求角C （2）若CD是角C的平分线, , ，求的长. 16.（本小题满分15分） 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， （1）求动点M的轨迹． （2）过动点作上述轨迹的切线与两直线分别交于两点, 证明:三角形的面积是定值。 （1）根据题意得．将上式两边平方，并化简， （2）设点M坐标为，则切线方程为， 与联立得，与联立得， 故 17. （本小题满分15分） 在直三棱柱中，，，， （1）若，求的值； （2）若二面角与二面角的大小相等，求的值. 【解析】（1）连接AB1交A1B于点E，连接DE， ∵，，， ∴，又∵E是AB1的中点，故D是B1C1的中点，∴； （2）即二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法E 过B1作BF⊥A1B，垂足为F，连接DF、C1F， ∵， ∴，∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴， ∴二面角和二面角的平面角分别为，分别记作， 易知，，即，解得，F 又，解得，所以. 法二：建系法 以B为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 则，易知平面A1BB1的法向量， 设平面A1BD与平面A1BC1的法向量分别为， 设二面角与二面角的平面角分别为， 则，， 则，， 则，故，得 18. （本小题满分17分）设函数在处的切线经过坐标原点， （1）求k； （2）是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）若恒成立，求c的取值范围. 【解析】（1），，， 切线方程为，代入得； （2）存在满足题意，证明如下： ，， 故函数关于直线对称； （3）时，恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 故在上单调递减，注意到， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 故，故，得； 下证且时，恒成立， 即证恒成立，只需证恒成立， 构造函数，则， ，，单调递减，，，单调递增， 故，所以，所以，证毕； 综上所述，c的取值范围为. 19. （本小题满分17分） 已知等差数列的第2项为3，其前5项和为25. 数列是公比大于0的等比数列， ． （1）求和的通项公式； （2）记， （i）证明是等比数列；（ii）证明. 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（I），得，公差为， 所以； 设等比数列的公比为，故，解得（舍），故； （II）（i）由题意，，所以， 所以，且，所以数列是等比数列； （ii）由题意知，，所以，所以， 设，则， 两式相减得， 所以，所以. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 南雅中学 2025 届高三模拟试卷（三） 科目：数学 命题人：高三数学备课组 审题人： 本试题卷共 19 道题，共 4页。时量 120 分钟，满分 150 分。 一､选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合� = �∣ − 1 ≤ �3 ≤ 1 ， }02|{ 2  xxxB Z ，则� ∩ � =（ ） A． −1,0,1 B． 1,2 C． −2, − 1,0 D． 0,1 2. 复数 z满足 zi + 1 = 2z + i，则在复平面内，复数 z对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.如图所示，梯形�'�'�'�'是平面图形����用斜二测画法得到的直观图， �'�' = 2，�'�' = �'�' = 1，则平面图形����中对角线��的长度为（ ） A． 5 B． 3 C． 2 D．2 4.若函数� � = cos � − �3 + � 为偶函数，则�的值可以是（ ） A. 5�6 B. 4� 3 C. � D. � 2 5.已知向量 � = 2，� 在� 上的投影向量为−2� ，则� ⋅ � =（ ） A．−8 B．8 C．4 D．−4 6.数列 na 是公比不为 1的等比数列，前 n项积为 nT ，则“ *Nn  ， 5TTn  ”是“ 15 a ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知函数�(�) = ( 3sin� + cos�)cos� − 12，若�(�)在区间[ − � 4 , �]上的值域为[ − 3 2 , 1]，则实数�的取值 范围是（ ） A. [ �6 , � 2 ) B. [ � 6 , � 2 ] C. [ � 6 , 7� 12 ) D. � 6 , 7� 12 8. 已知函数�(�) = ��(� > 0 且� ≠ 1)满足�(1) > 1，且函数� = log� �2 − �� − 1 在[2,3]上单调递增，则 实数�的取值范围为（ ） A. (1, + ∞) B. (1,4] C. 1, 32 D. 3 2 , 4 第 2页 二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.设两个随机变量 X、Y满足 X服从正态分布�(0,1)，Y服从二项分布�(2, 1 2 )，则（ ） （若随机变量�~�(�, �2)，�(� − � ≤ � ≤ � − �) ≈ 0.6826） A. �(�) < �(�) B. �(�) < �(�) C. �(� ≤ 0) > �(� ≤ 0) D. �(� ≤ 1) > �(� ≤ 1) 10.已知函数 )(,2cos)( ||2 Rxxexf x  ，则下列判断正确的是（ ） A．函数  f x 的图象关于 y轴对称 B．函数  f x 的最小值为 2，无最大值 C．函数  f x 在  ,  上单调递增 D．不等式 )()1( xfxf  的解集为 ），（  2 1 11.已知△ ���的三个顶点分别是点� 4,0 ，� 0,0 ，� 0,3 ，以下正确的是（ ） A．△ ���的外接圆的标准方程 � − 2 2 + � − 3 2 2 = 25 4 B．P是抛物线�2 = 6�上的动点，则 PA的最小值是 4 C．同时和△ ���三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 36 D．P是△ ���的内切圆上的动点，则点 P到三顶点的距离的平方和的取值范围是[18,22] 三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.椭圆 2 2 : 1 25 9 x yC   的离心率为________. 13.已知函数 3)1ln()( 2  xxxxg ，若 ( 2 2) 3xg ax e   在 (0, )x  上恒成立，则实数 a的取值范 围为________. 14.空间直角坐标系中有一点�(�, �, �)，其中�, �, �均为正整数，若��� = 2025，则称点 P具有性质“2025高 考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点 P共有________个. 第 3页 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13分） 设 ABC内角 A,B,C的对边分别为�, �, �，已知 2�+b=2ccosB, （1）求角 C； （2）若 CD是角 C的平分线，�� = 2 7 , �� = 7，求��的长. 16.（本小题满分 15分） 已知动点�(�, �)与定点�(3 2, 0)的距离与它到定直线�: � = 3 2 2 的距离的比是常数 2， （1）求动点 M的轨迹； （2）过上述轨迹上一点 P作轨迹的切线与两直线� =± �分别交于�、�两点，证明：三角形���的面积是 定值. 17. （本小题满分 15分） 在直三棱柱��� − �1�1�1中，�� ⊥ ��，�� = 1，��1 = 3，�� = 6，�1� = ��1�1 (0 < � < 1)， （1）若��1 ∥ 平面�1��，求�的值； （2）若二面角�1 − �1� − �与二面角� − �1� − �1的大小相等，求�的值. 第 4页 18. （本小题满分 17分） 设函数 21)( kxexf x   在 1x 处的切线经过坐标原点， （1）求 k； （2）是否存在实数�, �使得函数 axexfxg x  )()( 关于直线 bx  对称，若存在，求出�, �的值，若不存 在，说明理由； （3）若 xcxf )( 恒成立，求 c的取值范围. 19. （本小题满分 17分） 已知等差数列 �� 的第 2项为 3，其前 5项和为 25. 数列 �� 是公比大于 0的等比数列，�1 = 4, �3 + �2 = 80． （1）求 �� 和 �� 的通项公式； （2）记�� = �2� + 1 �� , � ∈ �∗， （i）证明 ��2 − �2� 是等比数列； （ii）证明     n i ii ii Nn cc aa 1 * 2 2 1 ,22 .