专题06 三角形与四边形（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题06 三角形与四边形 题型概览 题型01 三角形有关的线段 题型02 勾股定理 题型03 全等的判定与性质 题型04 相似的判定与性质 题型05 多边形的角、边、对角线 题型06 平行四边形的判定与性质 题型07 矩形的判定与性质 题型08 菱形的判定与性质 题型09 正方形的判定与性质 SHAPE \* MERGEFORMAT 三角形有关的线段 1．（2025·宁夏银川·三模）现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 ．找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从长度分别为3，5，8，10，的四条线段中任选三条有如下4种情况：3、5、8；3、5、10；3、8、10；5、8、10； 能组成三角形的结果有2个（3、8、10，5、8、10，）， ∴能构成三角形的概率为 故答案为： ． 2．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为 小木棒与两根长度分别为 的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定 的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得 ， 所以x的取值范围是 ． 故答案为：4（答案不唯一）． 3．（2025·福建泉州·三模）若 的对角线 ， ，则边 的长可以是（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质求出 和 ，在 中，根据三角形三边关系定理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ∴ ， 在 中，由三角形三边关系定理得： ， 即 ， ∴ 的长可以是7， 故选：B． 4．（2025·山西长治·三模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边大小关系，三角形的中位线定理，解题的关键是构造三角形的中位线． 取 的中点 ，连接 、 ，由三角形中位线定理得到 ，然后分类讨论，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 、 ， ∵ 分别为 中点， ∴ 是 的中位线， 是 的中位线， ， 当 时， ， 当 、 不平行时， ， 综上所述： ， 故选：A． 5．（2025·山东聊城·三模）若使用如图所示的 、 两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有 可以 B．只有 可以 C． ， 都可以 D． ， 都不可以 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．依此即可求解． 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为 和 的细木条做一个三角形的框架，可以把 的细木条分为两截． 理由： ，满足两边之和大于第三边． 故选：A． 6．（2025·安徽六安·三模）已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和为 ，则菱形 的边长为（   ） A． B． C． D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出 ，求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可． 【详解】解：如图， 由题意得 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∴ ， 解 ， 解得： 或 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 7．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作 的边 上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】 解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 8．（2025·吉林松原·三模）图 、图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图 中画出 边上的中线 ； (2)在图 中画出 边上的高线 ； (3)在图 中的 边上找到一点 ，使 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）由矩形性质可得可得 ，即 即为所求； （ ）根据网格可得 ， （ ）证明 ， ，同理 ，则 ，从而求解． 【详解】（1）解：如图，根据网格可得， 即为所求； ， 理由：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ 即为所求； （2）解：如图，根据网格可得 ， ∴ 即为所求； （3）解：如图，点 即为所求； 理由：∵ ， ∴ ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， ∴点 即为所求． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在 中， ，若从顶点 作高线 和角平分线 ， 与 的夹角为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分 和 两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当 时，如图①， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ； 当 时，如图②， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ； 综上， EMBED Equation.DSMT4 的度数为 或 ， 故答案为： 或 ． 10．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，若 ，则 的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，首先求出矩形 的面积为 ，得到 ，进而求解即可． 【详解】∵矩形 ， ， ∴矩形 的面积为 ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ． 故选：A． 11．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上，将 沿直线l翻折，得到 ，点 A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)在图中画出直线l； (2)仅用无刻度的直尺在 上找一点P，连接 ，使得 平分 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，矩形的性质，轴对称的性质，熟知相关性质是作图的前提． （1）连接对应点的连线，即可求得对称轴直线 ； （2）根据矩形的性质可得 的中点P，即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线 即为所求； （2）解：如图，根据矩形的性质可得点 是 的中点，故点 即为所求． 12．（2025·湖北·三模）如图，在面积为24的平行四边形 中，对角线 绕着它的中点 按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交 于点E，F，若 ，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 如图：连接 ，根据平行四边形的性质求出 的面积，根据 求出 的面积，同理得到 的面积，然后求和即可． 【详解】解：如图：连接 ， ∵点O是 的中点， ∴点O在 上，且点O是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理可得： ， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：C． 13．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在 中， 与 相交于点Q，点Q是 的重心，D是 的中点， 与 相交于点P．若 ，则 的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．连接 ，根据重心的定义可得 为 的中位线，从而得到 ，进而得到 ，再由D是 的中点，可得 为 的中位线，从而得到 ，进而得到 ，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵点Q是 的重心， ∴ 为 的中线， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵D是 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 故选：C SHAPE \* MERGEFORMAT 勾股定理 1．（2025·河北石家庄·三模）如图， 中， ， 平分 ，点E为 的中点，经过点E作 于点F，交 于点G，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作 ，分别交 ， 于点M，N．证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，即可求出结果． 【详解】解：如图，作 ，分别交 ， 于点M，N． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ∵点E为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 2．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 寸，则 的直径 为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由 垂直 得到点 为 的中点，由 寸可求出 的长，再设出圆的半径 为 寸，表示出 的长，根据勾股定理建立关于 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ 为 的直径， ，且 寸， ∴ 寸， 设圆 的半径 的长为 寸，则 EMBED Equation.DSMT4 寸， ∵ 寸， ∴ 寸， 在直角三角形 中，根据勾股定理得： ∴ ， 解得 ， ∴ 寸， 故答案为：26． 3．（2023·陕西西安·三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ． 【答案】 【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），根据所给的二组数找规律可得结论． 【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ． 则弦为 ， 故答案为： ． 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键． 4．（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段 短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出对应线段的长，再比较出各线段的长短即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴比线段 短的是线段 ， 故选；A． 5．（2025·四川泸州·三模）如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ，连接 ， ，若 ， ，则正方形 的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了等腰三角形三线合一定理，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得 是等腰直角三角形，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解： ∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴正方形 的边长是 ， 故选：D 6．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中 ， ，点 在 上且 ， ．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据 ， 在 上且 ，求出 的值，然后在 中，求出 的值，在 中，求出 的值，在根据三角形的三边的关系，判断出 与 的大小即可． 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， ， 在 上且 ， ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 7．（2025·河北唐山·三模）已知：整式 ，且整式 ． (1)若 ，求整式 、 的值； (2)若 、 、 的值均为正数，则以整式 、 、 为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1) 或 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要查求代数式的值，勾股定理的逆定理： （1）把 代入 ，可得 ，然后把 分别代入A，B，即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ； 当 时， ； 综上所示： 或 ； （2）解：以整式 、 、 为边长的三角形是直角三角形，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴这个三角形是直角三角形． 8．（2025·浙江衢州·三模）如图， 中，D，E分别是 的中点．若 ，则 的长等于 ． 【答案】15 【分析】本题考查斜边上的中线，与三角形的中位线有关的计算，勾股定理逆定理，得到 为直角三角形， ，斜边上的中线得到 ，三角形的中位线定理得到 ，进而得到 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， ， ∵D，E分别是 的中点， ∴ ， ∴ ； 故答案为：15． 9．（2025·山东青岛·二模）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，交 于点 ，已知 ， ， ，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，再由平行四边形性质结合平行线分线段成比例得到 ，最后由直角三角形斜边中线等于斜边一半确定 ，数形结合即可得到 的周长． 【详解】解：在 中， ， ， ，则 ， ， ， ，即 是直角三角形，且 ， 在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由平行线分线段成比例可知 ，即 ， 在 中， 是斜边 上的中线，则 ， EMBED Equation.DSMT4 的周长为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及勾股定理的逆定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例、直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识．熟记相关几何性质是解决问题的关键． SHAPE \* MERGEFORMAT 全等的判定与性质 1．（2025·吉林·三模）如图所示，在 的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出 ，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： (1)图①中所画的三角形与 组成的图形是轴对称图形． (2)图②中所画的三角形与 组成的图形是中心对称图形． (3)图③中所画的三角形与 的面积相等，但不全等． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查了利用轴对称的性质，中心对称的性质，以及三角形的面积作图，熟练掌握轴对称的性质与中心对称的性质是作图的关键，要注意对称轴与对称中心的确定． (1)先确定出对称轴，再根据轴对称图形的性质作出即可； (2)确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可； (3)根据格点的特点，作出的底边与这边上的高分别是 ， 或 ， 的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，所画的三角形与 组成的图形是轴对称图形，答案不唯一； （2）解：如图，所画的三角形与 组成的图形是中心对称图形，答案不唯一； （3）解：如图，所画的三角形与 的面积相等，但不全等，答案不唯一． 2．（2025·山西长治·三模）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的 的两边分别取 ，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面 内，则 平分 ．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出 ．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得 ， ，结合 即可证明 ，即可得证 ． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 4．（2025·浙江绍兴·三模）如图，已知 ， ， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 ， ， ， 与 交于点 ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，先证明 得出 ，则 ，设 ，则 ，进而勾股定理求得 ， ，取 的中点 ，连接 ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出 四点共圆，进而证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； ∵ ， ， ， ， ∴ ； 如图，取 的中点 ，连接 ， ∴ ， ∴ 四点共圆， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 5．（2025·福建福州·三模）如图， 是等边三角形， 是 上的点，点 在 外，且 ， ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到 ，然后证明出 ，进而证明出 ． 【详解】证明： 为等边三角形， ， ， ， 在 和 中， ． 6．（2025·陕西咸阳·三模）（1）计算： ． （2）如图， ， ．求证： ． 【答案】（1）1（2）见解析 【分析】本题考查了化简绝对值，零次幂，二次根式的减法运算，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简零次幂，绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先通过 ，得 ，再结合 ，证明 ，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）证明： ， ． 在 和 中， ． 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，已知 这四个点在同一条直线上，且 ， ， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 根据平行线的性质以及全等三角形的判定定理证明 ，即可得出结论． 【详解】证明：∵ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （ ）． ∴ ． 8．（2025·山西朔州·三模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖 与矩形瓷砖 之间用三角形瓷砖 与三角形瓷砖 拼接，点 ， ， 与点 ， ， 分别在同一直线上．小雅发现 与 全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： ，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到 ， ，即可由 证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖 与矩形瓷砖 ，且规格相同， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：C． 9．（2025·陕西榆林·三模）如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明 ，进而得出 为等腰直角三角形即可求出． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ． 故选：A． 10．（2025·福建福州·三模）如图， ，求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用 证明 ，即可解决问题．解决本题的关键是得到 ． 【详解】证明： ， 在 和 中， ， ， ． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上， ， ，若选择______，则 ． 请从① ；② ；③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择②或③，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据题意可证明 ，则选择②可得 ，可利用 证明 得到 ；选择③可利用 证明 得到 ，选择①不能证明 得到 ． 【详解】解：选择②，理由如下： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 与 中， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 选择③，理由如下： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 在 与 中， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； 选择①是错误的，边边角不能作为判定全等三角形的条件 12．（2025·陕西西安·三模）如图，在 和 中， ，请你添加一个条件，使得 ．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等、全等三角形的判定等知识点；灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据题意添加符合题意的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）添加的条件是 ． （2）证明：在 和 中， ， ， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 相似的判定与性质 1．（2025·浙江金华·三模）如图， ，若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到 ，根据 即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ， 故选：D． 2．（2025·浙江金华·三模）如图，点 ， ， 分别在 的边上， ，点G是 的中点，连接 并延长交 于点H，已知 ，则 的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．先证明 ， ，得出 ，求出 ，设 ，则 ，证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ， ∵点G是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 3．（2025·江西南昌·三模）（1） 解不等式组 （2） 已知， 如图， 在 中， 点D在 边上， 点E在 边上， 且 ．求证： ． 【答案】（1） ；（2）见解析 【分析】本题考查的是解不等式组及相似三角形的判定， （1）先分别求两个不等式解集，进而求出不等式组解集； （2）先证明 ，进而证明结论． 【详解】（1）解： 解不等式 ，得： ，    解不等式   ，得： ，   故不等式组的解集为： ；    （2）证明： ∵ ， ∴ ，    ∵ ，   ∴ ． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， ，且 ，垂足为F，G为 的中点，连接 ， ．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用 是角平分线，证明 ，得 ，证明 ，故 ，结合 是中线，G为 的中点，得 是 中位线，故 ，代入数值整理得 ，在 和 中， 为公共角，但 和 ， 和 均不相等，相应边不成比例，故 和 ，即可作答． 【详解】解：∵ 是角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ ， 故A选项正确，不符合题意； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故B选项正确，不符合题意； ∵ 是中线， ∴ ， ∵G为 的中点， ∴ ， ∴ 是 中位线， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故C选项正确，不符合题意； 在 和 中， 为公共角， 但 和 ， 和 均不一定相等，相应边不成比例， 故 和 不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 5．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形 中，点 ， 分别是 ， 边上的点，连接 ， ， ，若 ，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出 ，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出 ，然后得出 即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵ ， ， ， 在矩形 中， ， 又 ， ， 故选：C． 6．（2025·山东济宁·三模）如图， 中，P是 上一点，连接 ．请你补充一个条件 ，使 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，要使 ，观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即 ，根据相似三角形的判定，还需有另一组角对应相等或者夹此角的两边对应成比例即可，熟练利用相似三角形的判定是解题的关键 【详解】解： 当 或者 或者 时， ． 故答案为： （答案不唯一） 7．（2025·河南漯河·三模）如图，已知 ，添加下列各选项中的条件后，不能判定 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 选项A，添加 ，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证 ． 选项B，添加 ，用两角分别相等的两个三角形相似，可证 ． 选项C，添加 ，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证 ． 选项D，添加 ，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定 ． 故选：D． 8．（2025·安徽滁州·三模）已知 ， 和 的周长分别为 和 ，且 ， ，求 和 的长． 【答案】 ， 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的性质． 先根据相似三角形的性质列出比例式，转化为待求线段的方程求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 9．（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为 ，较小的三角形的周长是 ，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为 ， 所以两个相似三角形的相似比为 ， 所以两个三角形的周长比等于 ． 因为较小的三角形的周长是 ， 所以另一个三角形的周长为 ． 故答案为：150． 10．（2025·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ，连接 ，D为 的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与 相似，则点P的坐标为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分情况讨论，即点P在 轴上和在 轴上的情况，利用相似三角形的性质分别求解即可，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解： 四边形 为矩形， ， ， 如图，当点P在 轴上，且 时， 此时 , ， D为 的中点， ， , ； 如图，当点P在 轴上，且 时， 此时 , ， D为 的中点， ， ， , ； 如图，当点P在 轴上，且 时， ， ， ， 是 的垂直平分线， ， , ， ， ， ； 当点P在 轴上，且 时，不成立， 综上，点 的坐标为 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 11．（2025·重庆·三模）如图，已知 与 位似，位似中心为O，且 的面积与 的面积之比为 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得 ， ， ，再证明 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ 与 位似，位似中心为O，且 的面积与 的面积之比为 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 12．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1， 和 相交于点 ，且 ， ， ①则 ______ （填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的 绕点 旋转，当点 在 外部，点 在 内部时，求证： ； 【变式探究】 （2）如图3，在 与 中， ， ．猜想 ， 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形 中， ， ，若 ，求 ， 两点间的最大距离．    【答案】（1）① ；②见解析；（2） ，证明见解析；（3）10 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出 ，即可求解． ②由①可知， ， ，进而证明 ，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明 ，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接 ，在 的上方取点 ，证明 ，进而证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∴ ∴ ，即 故答案为： ； ②证明：由①可知， ， ， ，即 ， 又 ， ， ； （2） ；理由如下： ， ， 又 ， ， ； （3）如图，连接 ，在 的上方取点 ，    使 ， ． ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， ， 两点间的距离最大， ， 两点间的最大距离为10． 13．（2025·云南楚雄·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上， ，则 与 的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得到 ， ，则可判断 ，然后根据相似三角形的性质解决问题．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 与 的周长比 ． 即 与 的周长之比为 。 故答案为： ． 14．（2025·河北石家庄·三模）如图，水平地面上放置盛有液体的容器， 是液面线，经测量， ，把长为 的木棍 的一端 探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分 的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得 ，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得： ， ∴ ， ∴ ， 由题意， ， 解得 ， 故答案为： ． 15．（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离 的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆 ，在点A处架设一根横杆 ，杆 可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得 与 之间的距离 为 ，小凌绕点A转动杆 ，通过观测发现当点D恰好位于点 时（此时点C位于点 ），雕塑的顶端P在 的延长线上．测得 ，点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ， ， ， ，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形判定与性质，矩形的判定与性质；根据题意证出 ，利用相似三角形的性质得出 ，即可求出结果． 【详解】解：延长 交 于点G，过点 分别向 作垂线，垂足分别是E、F， 则四边形 是矩形，四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴《长恨歌》群雕最高点到地面距离 的长为 ． 16．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这栋楼高x丈， 由题意得， ， 解得 ， ∴这栋楼高12丈， 故答案为：12． 17．（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段 是由线段 位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接 并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 并延长，可知交点为 ， ∴位似中心是 ， 故选： ． 18．（2025·浙江金华·三模）如图，以点O为位似中心的 与 的周长比为 ，则 的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到 ， ，得到 ，根据相似三角形的性质计算即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 与 是以点 为位似中心的位似图形， 与 的周长比为 ， ， ，且相似比为 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 故选：C． 19．（2025·安徽滁州·三模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中给出了格点 （顶点是网格线的交点）． (1)将 向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的 ． (2)以点O为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，请在y轴右侧画出 ，并求出 的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图 平移变换、位似变换，勾股定理，熟练掌握平移、位似的性质是解答本题的关键． （1）将 三个顶点向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据位似的性质作出 缩小为原来的 的对应点 、 、 ，顺次连接即可；根据勾股定理即可求出 的长度． 【详解】（1）如图所示， 即为所求； （2）如图所示， 即为所求． ∴ ． 20．（2025·安徽合肥·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ． (1)画出线段 关于 轴对称的线段 ； (2)以原点 为位似中心，将线段 在第一象限内放大为原来的2倍得 ，画出线段 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，位似作图，掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质画出 即可； （2）根据位似图形的性质画出 即可． 【详解】（1）解：线段 ，如图所示； （2）解：线段 ，如图所示． 21．（2025·四川内江·三模）在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为 ，则其对应点 的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ． 根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵ 和 是关于原点O的位似图形，相似比等于 ，点A的坐标为 ， ∴点 的坐标为 或 ，即 或 ， 故答案为： 或 ． 22．（2025·甘肃陇南·三模）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以O为位似中心的位似图形，若 ， ， ，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换，掌握位似变换的性质成为解题的关键． 先根据点 的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质即可解答． 【详解】解：∵ 与 是以O为位似中心的位似图形， ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ 且相似比为 ， ∵点A的坐标为 ， ∴点C的坐标是 ，即 ． 故答案为： ． 23．（2025·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知点 ，以原点 为位似中心，相似比为2，把 放大，则点 的对应点 的坐标是（　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】A 【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ． 据此即可求解点 的对应点 的坐标． 【详解】解：已知点 ，以原点 为位似中心，相似比为2，把 放大，则点 的对应点 的坐标为： 或 ，即 或 ， 故选：A． 24．（2025·安徽合肥·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，已知 ． (1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，请画出 ； (2)以坐标原点 为位似中心，在 轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比为 ． (3)在 轴上找一点 ，使得 ，并直接写出点 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似变换、旋转变换、等腰三角形的性质等知识点，掌握位似变换和旋转变换的定义是解题的关键． （1）先利用旋转的性质确定 的对应点 的位置，然后再顺次连接即可； （2）先利用旋转的性质确定 的对应点 的位置，然后再顺次连接即可； （3）先根据等腰三角形的性质求得点M的位置，然后再写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图： 即为所求． （2）解：如图： 即为所求． （3）解：如图： 轴上的点 ，使得 ，此时M的坐标为 ． 25．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 的正方形网格图中， 与 的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点 位似． (1)在图中标出位似中心点 ；（保留作图痕迹） (2) 与 的相似比是 ； (3)将 平移到 的内部得到 ，在图中画出 （ 的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接 、 、 ，交点即为所求； （2）由图可得 ， ，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【详解】（1）解：如图，点 即为所求； （2）解：由图可得： ， ， 故 与 的相似比是 ； （3）解：如图， 即为所求， ． SHAPE \* MERGEFORMAT 多边形的角、边、对角线 1．（2025·山东济南·三模）如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是求多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．根据多边形的内角和 ，其中 为正多边形的边数，计算即可 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选：A． 2．（2025·广东珠海·三模）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，根据垂线的定义得到 ，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 3．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是 边形． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由内角和公式可得 解得 ， 故答案为6． 4．（2025·山东聊城·三模）如图，将一个含 的直角三角板 的直角顶点H放在正六边形 的边 上，点G恰好落在边 上，边 分别交 于点J，K，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，三角形外角的性质，连接 并延长到 ，由正多边形内角和定理可得 ，根据三角形外角的性质可得 ，则可得到 ，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 并延长到 ， ∵六边形 是正六边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 5．（2025·陕西西安·三模）笑笑同学用4个全等的正n边形硬纸板和一个正方形硬纸板拼成了一个如图所示的平面图形（部分），这5个硬纸板的拼接处无空隙，不重叠，则n的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形的内角的定理，多边形的外角和定理，正多边形的性质，解题关键是掌握多边形的内角和公式． 先求出正n边形的每个内角的度数，再根据多边形内角和公式列出方程求解． 【详解】解：由图可知，正n边形的每个内角的度数为 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ． 故答案为：8． 6．（2025·云南玉溪·三模）一个n边形的每个外角都是 ，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和是 是解题的关键．根据多边形的外角和是 即可得到答案． 【详解】解：∵ 边形的每一个外角都是 ， ∴ ， 故答案为：8． 7．（2025·云南临沧·三模）“读万卷书，行万里路．”走同样的路，每个人的感受却不尽相同．春日实践将学校传统课堂延伸至户外的广阔天地，莘莘学子在感知历史、拥抱自然的过程中，成长为有情怀、有担当的社会主义建设者和接班人!某校举办了“寻迹古滇，趣动四月”主题研学活动．宣纸轻覆雕版刻章，拓印千年古滇文明印记．小南以正八边形为边框，拓印了如图所示的作品，则此正八边形作品一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，熟练掌握多边形的外角和为360°360°是解题的关键．根据多边形的外角和定理解答即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和是 ∴正八边形的每一个外角是 ． 故选：C． 8．（2025·山西大同·三模）如图，线段 ， ， 是一个正多边形的三条边，延长 ， 交于点M，若 ，则这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的外角，三角形内角和定理和等边对等角，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为 ， ∴这个正多边形是正八边形． 故选：D． 9．（2025·湖南邵阳·三模）已知一个正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的边数是（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角和的性质，掌握外角和的性质是关键． 根据正多边形的外角和为 ，每个外角都相等即可求解． 【详解】解：一个正多边形的一个外角是 ，正多边形的外角和为 ， ∴ ， ∴这个正多边形的边数是12， 故选：B ． 10．（2025·重庆·三模）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个多边形的边数是n，则这个多边形的内角和为 ，再根据多边形外角和为 ，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ， 解得 ， 故选：C． 11．（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形 的边 为一边，向内作等边三角形 ，连接 ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等边三角形性质得到 ， ，进而由正五边形性质得到相关角度与边的关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值求解即可得到答案． 【详解】解： 以正五边形 的边 为一边，向内作等边三角形 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 是正五边形， ，且 ， ， ， ， 在等腰 中， ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及等边三角形的性质、正多边形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正多边形内角与外角关系．数形结合，准确表示各个角度是解决问题的关键． 12．（2025·陕西咸阳·三模）用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的边数，先求出正五边形的内角度数，进而求出中间形成的正多边形的内角度数，再根据多边形内角和公式列出方程解答即可求解，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正五边形的内角度数为 ， ∴中间形成的正多边形的内角度数为 ， 设中间形成的正多边形的边数为 ， 则 ， 解得 ， ∴中间形成的这个正多边形的边数为 ， 故答案为： ． 13．（2025·陕西西安·三模）如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镶嵌，正多边形的内角，先求出正五边形的每个内角度数，进而根据图形求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形的性质求出底角度数即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为 ，正三角形的每个内角度数为 ， ∴等腰三角形的顶角度数为 ， ∴等腰三角形的一个底角度数为 ， 故答案为： ． 14．（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的内接正五边形，若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接 、 、 、 ，由题意可得 ， ， ，由圆周角定理计算得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接 、 、 、 ， 由题意可得： ， ， ， ∴ ， ∴若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为 ， 故选：A． 15．（2025·安徽滁州·三模）如图，在 的圆内接正五边形 中，过点D作 交 于点F，则 的度数为 ． 【答案】 /18度 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接 ， ，根据圆内接正五边形 ，得到 ， ，则 ，得到 ，根据等腰三角形得到 ，再由 得到 ，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接 ， ， ∵在 的圆内接正五边形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 16．（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形 中，若 ，则该多边形的内角和为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，正多边形内角和问题，根据 ，得出该正多边形的中心角为 ，从而求出该多边形为十边形，然后通过内角和公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴该正多边形的中心角为 ， ∴该多边形为十边形， 由 得其内角和为 ， 故答案为： ． 17．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设 的半径为1，若用如图所示的 的内接正十二边形的面积来近似估计 的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正多边形与圆，含 角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含 角直角三角形的性质求出 的内接正十二边形的面积为 ，即可求出答案． 【详解】解：如图，在 中， ，作 于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的内接正十二边形的面积 ， ∴产生的正误差为 ， 故选：D 18．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边 ．以点 为圆心， 为半径画圆．则扇形 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，根据正多边形内角和公式求出 的度数，利用扇形面积公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由正五边形和正六边形可得： ， ， ∴ ， ∴扇形 的面积为 ， 故答案为： ． 19．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（ ）的直径为 ，通光直径（正六边形最长的对角线长）为 ，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接 ，过点O作 于点H，由题意易得 是等边三角形，然后可得 ，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接 ，过点O作 于点H， ∵六边形 是正六边形， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 的直径为 ， ∴ ， ∴ ； 故选C． 20．（2025·湖北十堰·三模）在正方形 中， ，点 在正方形外，且 ， ，① ； ②请直接写出点 到 的距离为 ． 【答案】 或3 【分析】本题考查了正方形与圆，圆周角定理，勾股定理；以 中点为圆心 为直径作正方形的外接圆，根据题意可得 在 上，根据圆周角定理可得 ，过点 作 于点 ，得出 是等腰直角三角形，勾股定理求得 ，设 ，则 ，在 中， ，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，以 中点为圆心 为直径作正方形的外接圆， ∵ ∴ 在 上， ， ∴ 过点 作 于点 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵在正方形 中， ， ∴ 在 中， 设 ，则 在 中， ∴ 解得； 故答案为： ， 或 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 平行四边形的判定与性质 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在 中， 于点 ，连接 ，则线段 的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质. 先根据勾股定理得到 ，再分两种情况讨论即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， 如图，当E在线段 上时， ∴ 如图，当D在线段 上时， ∴ 故答案为 或 2．（2025·湖北荆州·三模）如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ，给出下列结论：① ② ③ ④ ．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理等． 根据根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，可判定①③正确，②错误，由勾股定理的逆定理可判定④不正确. 【详解】解：∵平行四边形 ， ∴ ， ， ，故结论①正确，结论②错误， ∴ ，故结论③正确， ∵ ，故 ，故结论④错误， 综上所述：其中正确的结论是①③. 故选A. 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在 ， 相交于点 ， ．过点 作 的垂线交 于点 ，记 长为 长为 ．当 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点 作 ，交 的延长线于点 ，证明 ，得到 ， ，由 ， ，推出 ，得到 ，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 的值发生变化时， 的值不变， 故选：B． 4．（2025·山东济南·三模）如图，在平行四边形 中，点 、 分别在 ， 上，点 、 在 上， ， ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，内错角相等两直线平行， 根据平行四边形的性质可得 ，再说明 ，可根据“边角边”证明 ，即可得出 ，然后根据邻补角的定义得 ，则答案可得． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ． ． ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 5．（2025·湖南衡阳·三模）如图，点 是 的边 延长线上一点， ．连接 ，交 于点 ．设 ， 的面积分别为 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得 ，从而可得 ，推出 ，再证明 得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由四边形 是平行四边形，可得 ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（2025·江苏宿迁·三模）如图， 是四边形 的对角线，点 为 的中点， ．从① ，② ，③ 等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形 为平行四边形，并说明理由． 【答案】① ，证明见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先证明 ，得到 ， ，推出 ，添加① ，得到 ，可证明四边形 是平行四边形；添加③ ， 由 ，可证明四边形 是平行四边形． 【详解】解： 点 为 的中点， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 添加① ，理由如下， ， ， 四边形 是平行四边形； 添加③ ，理由如下， ， 四边形 是平行四边形． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，利用平行四边形的定义及判定方法逐一分析即可得到答案，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解： 、添加 ，不能不能判定四边形 是平行四边形，原选项符合题意； 、∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形，原选项不符合题意， 故选： ． 8．（2025·云南楚雄·三模）如图，在 中， ， ，延长 至点E，使 ．过点E作 交 的延长线于点F，连接 ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)若 ， ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先证 ，推出 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）由等腰三角形三线合一可得 ，再根据勾股定理求出 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形． （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 9．（2025·河北邢台·三模）如图，平行四边形 的对角线交于点 ，点 分别在 的四条边上（不与顶点重合）．如下方案中，不能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A．使 B．使 ， 均经过点 C．使 经过点 ，且 D．点 分别为各自所在边的中点 【答案】C 【分析】本题围绕平行四边形 ，判断四边形 是否为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理（如两组对边分别相等、对角线互相平分等 ），结合已知条件对每个选项逐一分析，本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形全等、中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理（如两组对边分别相等、对角线互相平分 ）是解题的关键． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， （ ）， （ ）． ， ∴四边形 是平行四边形， 能判定四边形 是平行四边形； 的对角线交于点 均经过点 ．则四边形 是平行四边形， 能判定四边形 是平行四边形； 经过点 ， ， 的位置未知，故 不能判定四边形 是平行四边形； 点 分别为各自所在边的中点，则据中位线定理可判定四边形 是平行四边形， 故选： ． 10．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是 ， 边上的点，且 ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)连接 ，若 平分 ，求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明 ，因为 ，则 ，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可作答． （2）根据四边形 是平行四边形，则 ，即 ，因为 平分 ，所以 ，结合 ，运用勾股定理算出 ，根据面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形 为平行四边形， ． ， ． ． ，即 ． ， 四边形 是平行四边形． （2）解： 四边形 是平行四边形， ． ． 平分 ， ． ． ． ， 在 中， ． ∴ ． 11．（2025·山东淄博·三模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O，点E，F分别为 ， 的中点，连接 ， ， ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)若 ， ，求线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，难度不大，灵活运用所学是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到 ， ，再根据点E，F分别为 ， 的中点得到四边形 的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出 ，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出 即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ∵ 分别是 的中点， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵点E为 的中点， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 12．（2025·陕西西安·三模）如图，在 中，点D为 的中点，点H为 上一点，连接 ，点E、F分别为 的中点，连接 ，若 ，则 的长为（    ） A．5 B．8 C．16 D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键：由点E、F分别为 的中点，可得到 为 的中位线，由此可得到 ，结合点D为 的中点，可得到 ，即可． 【详解】解：∵点E、F分别为 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∵点D为 的中点， ∴ ； 故选B． 13．（2025·陕西商洛·三模）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 在边 上，且 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质得到 ，得到 是 的中位线，利用三角形中位线定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 平分 交 于点 ， ， ∴ ， ， ∵ 为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ； 故选：B． 14．（2025·山西晋中·三模）如图， 中， 在 的延长线上，连接 为 的中点． (1)尺规作图：在 内部求作一点 ，使点 到点 的距离都相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若直线 与线段 交于点 ，连接 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，及垂直平分线的性质，中位线的判定和性质，掌握垂直平分线的性质，中位线的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，分别作线段 的垂直平分线即可； （2）根据题意得到 是 的中位线，结合中位线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如答图所示，运用尺规作线段 的垂直平分线，交于点 ， ∴点 即为所求作． （2）证明：由（1）中所作的图形可知： ， ， 为线段 的垂直平分线， ， 为 的中点， ， 是 的中位线， ，即 ． 15．（2025·湖南长沙·三模）如图，在 中， ， 为边 的中线，E为 上一点，连接 ，F为 的中点，且 平分 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． （1）根据三角形的中位线性质得到 ，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明； （2）根据三角形的中位线性质得到 ，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 为边 的中线， ∴D为 的中点， ∵F为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由（1）知 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵D是斜边 中点， 是直角三角形， ∴ ， ∴ ． SHAPE \* MERGEFORMAT 矩形的判定与性质 1．（2025·河南驻马店·三模）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形的性质判断即可，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 2．（2025·安徽合肥·三模）下列几何体的三视图中，不可能出现矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，掌握三视图的确定方法成为解题的关键． 根据三视图的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、该几何体的主视图是矩形，故本选项不符合题意； B、该几何体的视图中有矩形，故本选项不符合题意； C、该几何体的主视图有矩形，故本选项不符合题意； D、该几何体的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，即三视图不可能出现矩形，故本选项符合题意， 故选：D． 3．（2025·安徽亳州·三模）如图，已知矩形 与矩形 ，矩形 的顶点 ， 分别在矩形 的边 ， 上，点 与点 重合． （1）若 ，则 ； （2）若矩形 与矩形 的面积之差为 ，点 是 的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查垂直的性质和矩形的性质，设 与 相交于点 ，由矩形的性质得 ， ，可得出 ，由 EMBED Equation.DSMT4 可得结论；连接 ,可得 ，由点 是 的中点得 ． 【详解】解：设 与 相交于点 ，连接 , ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 又 ， ∴ ， ∴ ； 由等底等高得： ∴ ， ∵点 是 的中点， ∴ ，即阴影部分的面积为 ． 故答案为： ；7． 4．（2025·陕西延安·三模）在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，若 ，则 的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出 ，确定 为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到 ，根据三角形内角和，结合已知 ，通过 计算出 的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形 是矩形， ∴ ． 在 中， ， 则 是等腰三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：70． 5．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 作 的垂线与 、 的延长线相交于点 、 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 及 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) ， 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用矩形的性质得出 ， ，得出 ，再利用 ，得出 ，即可证明； （2）利用四边形 是矩形， ， ，得出 ， ， ， ， ，利用勾股定理即可求 ，则可求出 ，再证明 ，利用相似性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）解：∵四边形 是矩形， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 6．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形 中，分别以点B，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 与 ， 分别交于点E，F，连接 ．已知 ， ，则 的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，线段的垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据基本作图，得到直线 是线段 的垂直平分线，设 ，则 ，根据勾股定理列式解答即可． 【详解】解：根据基本作图，得到直线 是线段 的垂直平分线， 故 ， 矩形 ， ， ， 得 ， ， 设 ， 则 ， 由勾股定理，得 ， 解得 ． 故选：B． 7．（2025·福建三明·三模）如图，在矩形 中， ，对角线 ， ，相交于点 ， 是 上一点， ，垂足为 ，点 在 延长线上， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，正切函数等； （1） 与 交于 ，由矩形的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ，由余角的性质得 ，即可求解； （2）过 作 交于 ，由正切函数得 EMBED Equation.DSMT4 ，结合等腰三角形的性质可求 ， ，设 ， ，可得 ，由三角形的面积即可求解； 掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用正切函数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明： 与 交于 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过 作 交于 ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， 解得： ， ， ， ． 8．（2025·山东东营·三模）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点D作 交 的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，先判断 是平行四边形，然后根据矩形和平行四边形的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：∵ 是矩形， ∴ ， ， ， 又∵ ， ∴ 是平行四边形， ∴ ， ， 故B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 9．（2025·浙江金华·三模）如图，将左边矩形纸片 沿虚线剪开并拼接成了右边正方形 ，则 ．    【答案】5 【分析】本题考查矩形与折叠，设四个直角三角形的两条直角边的长为 ，根据折叠的性质，结合正方形的性质，推出 ，再根据 ，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，大正方形由4个全等直角三角形和一个小正方形构成，小正方形的边长等于矩形纸片 中 的长，直角三角形的短直角边也等于矩形纸片 中 的长，设四个直角三角形的两条直角边的长为 ， 则：小正方形的边长 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； 故答案为：5． 10．（2025·安徽阜阳·三模）如图，将矩形纸片 的两个直角 和 分别沿直线 ， 折叠，折叠后点A，B的位置分别是点 ， ，若 ，则 的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与翻折，利用角度的转换即可解答，熟练利用翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知， ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 11．（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片 中， 为 边上一点，将 沿 折叠，得到 ．点E，F关于 对称，若 ，则 （    ） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】B 【分析】先利用矩形纸片的性质得出 ，再轴对称的性质得出 垂直平分 ，接着根据垂直平分线性质得出 ，结合 ，可证明 是等这三角形，进而求得 ，再分“点 在 上方”、“点 在 下方”两种情况分别求得 ． 【详解】解：∵矩形纸片 中， ∴ ， ， ． 连接 ， 点E，F关于 对称， 垂直平分 ， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ． ， 当点 在 上方时，如图1， ， ， 当点 在 下方时，如图2， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是利用矩形的性质、轴对称的性质证明相应的量相等 12．（2025·宁夏中卫·三模）如图，在矩形 中， ， 分别为边 上的点，将矩形 沿 翻折，使点 落在边 上，得到四边形 ，连接 . ， ．则 . 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．根据折叠的性质可知 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理可得： ，所以可得关于 的方程 ，解方程求出 的值即可得到 ，从而可得： ． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， 由折叠可知 ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 13．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段 的端点B在直线 上，过线段 上的一点O作 的平行线，分别交 和 的平分线于点C，D，连接 ，要使四边形 为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为： ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理可证： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是矩形． 故选：A． 14．（2025·福建福州·三模）如图，已知在四边形 中，对角线 交于点O，且 ，要使四边形 是矩形，添加一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴四边形 是矩形， 故选：B． 15．（2025·江苏扬州·三模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 ， 在 上， ， ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键； （1）根据菱形的性质和三角形的中位线定理可得 ，进而可得四边形 是平行四边形，结合 即可得到结论； （2）先根据矩形的性质和勾股定理求出 ，再证明 ，利用相似三角形的性质求出 ，即为 . 【详解】（1）证明：∵菱形 ， ∴ ， ∵ 是 的中点，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是矩形； （2）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，即 . 16．（2025·江苏·三模）如图，在 中， ， 的平分线交 于点D，过点D作 ，交 于点E，点F是 上一点，且 ，连接 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接 ，若 ， ，求 的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到 ，再结合 推出 ，从而得出 ．已知 ，可得到 ，根据一组对边平行且相等判定四边形 是平行四边形．最后由 ，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形 是矩形． （2）利用矩形的性质得到 ，进而推出 ， ．已知 ，则 ，在 中，根据正弦值和 求出 和 的长度，进而得到 的长度．最后在 中，根据勾股定理 求出 的长． 【详解】（1）证明：∵ 的平分线交 于点 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴四边形 为平行四边形． ∵ ， ∴四边形 为矩形． （2）解：如图所示， ∵在矩形 中， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ． ∵在 中， ， ∴ ， ． ∴ ． ∵在矩形 中， ， ∴在 中， ． 【点睛】平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、三角函数以及勾股定理．解题关键在于利用已知条件逐步推导边与角的关系，通过角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，利用矩形性质找到角的等量关系，再结合三角函数和勾股定理求解边长． 17．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形 中， ， ，对角线 交于点O，E是边 上一点，连接 交 于点F， ． (1)求证：①四边形 是矩形； (2)若 ，求 的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握矩形的性质和判定、证明三角形相似是解题的关键； （1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理可得 ， ，进而可得 ，于是可得结论； （2）根据题意可得 ，根据矩形的性质可得 ，设 ，证明 ，利用相似三角形的性质列方程求出x，进一步计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：①∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ∵ ， ∴ ， ∴四边形 为矩形． ②∵ ， ∴ ∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ， 即 （2）解：∴ ， ∴ ． ∵四边形 为矩形， ∴ ． 设 ． ∵ ， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， SHAPE \* MERGEFORMAT 菱形的判定与性质 1．（2025·福建三明·三模）如图，四边形 为 的内接四边形．若四边形 为菱形，则 的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内角四边形，圆周角定理，菱形的性质，根据菱形的性质结合圆周角定理得到 ，再根据圆内角四边形的内对角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形 为 的内接四边形，四边形 为菱形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选C． 2．（2025·陕西榆林·三模）在菱形 中，对角线 ， 交于点O，若 ，则 的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 先根据菱形的性质可得 ， ，再根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：如图所示， 四边形 是菱形， ， ∵ ， ∵ ， 故答案为：30． 3．（2025·浙江金华·三模）如图，在菱形 中 ，作 ，连结 ． (1)求菱形 的面积； (2)求 的长． 【答案】(1)80 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得 ，结合 ， ，则 ，即可作答． （2）先运用勾股定理算出 ，则 ，再运用勾股定理列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴菱形 的面积 ； （2）解：由（1）得 ， ， ∵ ∴ ， 则 ， ∴ ． 4．（2025·四川资阳·三模）已知菱形 的边长为2， ，对角线 、 相交于点 ，以点 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 轴、 轴建立如图所示的直角坐标系，以 为对角线作菱形 菱形 ，再以 为对角线作菱形 菱形 ，再以 为对角线作菱形 菱形 ， ，按此规律继续作下去，在 轴的正半轴上得到点 ， ， ， ， ，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，解直角三角形，坐标与图形．先根据菱形的性质求出 的坐标，根据勾股定理求出 的长，再由锐角三角函数的定义求出 的长，故可得出 的坐标，同理可得出 的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵菱形 的边长为2， ， ∴ ， ， ∴ ． ∵菱形 菱形 ， ∴ ， ∴ ． 同理可得 , … ∴ ． ∴点 的坐标为 ， 故答案为： ． 5．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形 是菱形， ， ， ， 分别是 和 上的动点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图,连接 ,过点 作 ,使得 ,连接 .证明 ,推出 ,推出 ,求出 即可解决问题． 【详解】解：如图,连接 ,过点 作 ,使得 ,连接 .    ∵四边形 是菱形, ∴ , ， ∴ 是等边三角形, ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ， ， ∴ 的最小值为 ． 故答案为： . 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 6．（2025·湖北荆州·三模）如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，先求出菱形的面积，再根据 解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ ， 故选： ． 7．（2025·山东济宁·三模）如图，在 中， ． (1)求作菱形 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，求菱形 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形 的面积为120． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）分别以B、C为圆心， 的长为半径画弧，二者交于点D，连接 ， ，则四边形 即为所求； （2）连接 交 于点 ，利用菱形的对角线互相垂直平分得到 ， ，利用勾股定理求出 的长，进而求出 的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，四边形 即为所要作的菱形； （2）解：如图，连接 交 于点 ， 四边形 是菱形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 8．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形 中，点 是边 的中点，连接 ，点N是边 上一点． (1)如图1，若 ， ①在图1中，尺规作图：过点 作 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证： ． (2)如图2，连接 ．若 ，求 的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①以 为圆心，取与 能有交点的长为半径，画弧，交 于两点，以这两点为圆心，大于 这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接 与该点的直线，交 于点 ，即可； ②等积法结合菱形的性质，即可得证； （2）延长 交 的延长线于 ．证明 ，推出 ，证明 ，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：①如图， 即为所求； ②∵菱形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ； （2）如图2，延长 交 的延长线于 ． 四边形 是菱形， ， ． 是边 的中点， ， ． ． ， ， ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 9．（2025·湖南衡阳·三模）如图，已知 ． (1)证明： ． (2)连接 ，线段 交 于点 ．从“① ；② ”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形 的形状是 ，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)① ；菱形；或② ，矩形，证明见解析 【分析】（1）先证明 ，再结合已知条件可得 ，即可得到结论； （2）选择条件① ，则四边形 是菱形．先证明四边形 是平行四边形，再证明 ，即可得到四边形 是菱形． 选择条件② ，则四边形 是矩形．先证明四边形 是平行四边形，再证明 ，即可得到四边形 是矩形． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． （2）解：选择条件① ，则四边形 是菱形． 理由如下：由（1）知 ， ， ， ∴ ． 又 ， 四边形 是平行四边形， 点 是对角线 ， 的中点． ， ，即 ， 四边形 是菱形． 选择条件② ，则四边形 是矩形． 理由如下：由（1）知 ， ， ， ∴ ． 又 ， 四边形 是平行四边形， 点 是对角线 ， 的中点． ， ， 四边形 是矩形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是关键． 10．（2025·陕西延安·三模）如图，点 、 分别为 的边 、 上的点， ，连接 、 ．请从① ；② 中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形 是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 【答案】选择①或②，证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，选择①，根据平行四边形的性质先证明 ，再利用 证明 ，得到 ，即可证明平行四边形 是菱形；选择②，先证明 ，再利用 证明 ，得到 ，即可证明平行四边形 是菱形． 【详解】解：选择①，证明如下： ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴平行四边形 是菱形； 选择②，证明如下： 同理可证明 ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴平行四边形 是菱形． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以 为边的菱形 ，点M、N均在小正方形的顶点上； (2)在图中线段 上取一点F，使得 ；连接 ，并直接写出线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取格点M、N，连接 ，则四边形 即为所求； （2） 与格线的交点F即为所求，证明 ，可得 ． 【详解】（1）解：如图所示，四边形 即为所求； 利用勾股定理可证明 ，则四边形 是菱形； （2）解：如图所示， 与格线的交点F即为所求， ∴ ； 可证明 ，则 ． 12．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为 的边 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F， ．求证：四边形 为菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，熟记相关结论即可． 证明 ，可得 ，从而得到 ，继而得到 ，即可求证． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ． ∵点E为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为菱形． 13．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平行四边形 中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在线段 上找一点 ，使点 到 的距离相等； ②在线段 上截取 ，使 ； (2)在（1）所作的图形中，连接 ，求证：四边形 是菱形． 【答案】(1) 见解析； 见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作线段，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①根据点 到 的距离相等，得到点 在 的角平分线上，尺规作出 的角平分线即可；②以 为圆心， 的长为半径画弧，在线段 上截取 即可； （2）先证明四边形 是平行四边形，再根据平行结合角平分线的定义，求出 ，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， ∵ ， ∴ ． ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴四边形 是菱形． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线交 边于点 ，交 边于点 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)求 的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意知 ，根据垂直平分线知 ，通过 得到 ，结合 ，证明四边形 菱形． （2）四边形 为菱形， ；设 ；在 中用勾股定理，解出 的长，在 中用勾股定理，得到 的长，由 得到 的值． 【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形， ， ， ∵对角线 的垂直平分线交 边于点 ，交 边于点 ， ， 在 和 中 ， ， ， ∴四边形 是平行四边形． ∵ ， ∴平行四边形 为菱形． （2）解：∵四边形 为菱形， ， 又 ∵ ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理．解题的关键与难点在于对平行四边形的性质的灵活运用． SHAPE \* MERGEFORMAT 正方形的判定与性质 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，正方形 中，点E在边 上，连接 ， 交 的延长线于点F，延长 与 的延长线交于点G， 平分 交 于点H，连接 ， 交 于点P，则下列结论：① ；② 垂直平分 ；③ ；④ ；⑤当 时， ．其中正确结论序号是（   ） A．③⑤ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据上述性质逐一判断即可，熟练证明三角形全等是进行整题解答的关键． 【详解】解：根据题意得不到 ，故①错误； 四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， 垂直平分 ，故②正确； ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ，故④正确； 当 时，设 ，则 ， ， 设 ， ， 根据勾股定理可得 ， 即 ， 解得 ， ，故⑤正确， 所以正确的选项为②③④⑤， 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形 中，E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，点G是 的中点，连接 并延长交 于点K． （1） ； （2）连接 ，当线段 取最小值时， 的值为 ． 【答案】 90 【分析】本题考查四边形综合题，涉及 所对的弦是直径、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． （1）由正方形的性质及全等三角形的判定得出 ，得到 ，继而根据三角形内角和 解得 即可解题； （2）根据 所对的弦是直径，得到 在以 为直径的半圆上，连接 交半圆于点 ，计算 ，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形 中， ， ， 如图所示， 在 与 中， ， ， ， ∵ 是 中点， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：90； （2）解： ， 在以 为直径的半圆 上，如图，连接 交半圆 于点 ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， 故答案为： ． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，点 ，四边形 和四边形 都是正方形，点D在点A右侧的x轴上，点C在y轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过 的中点，又经过 的中点，则正方形 的边长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，中点坐标，先由正方形的性质得 ，则 的中点坐标为 ，代入反比例函数求出 ，然后设 ，得 ， ，则 的中点坐标为 ，代入反比例函数求出 ，即可作答． 【详解】解： 点 ，四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ 的中点坐标为 ， ∵反比例函数 的图象经过 的中点， ∴ ， ∴ ， ． 设 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ， 则 的中点坐标为 ， ∵反比例函数 的图象经过 的中点， ， 解得 （负值已舍去） 故答案为： ． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形 中，E为对角线 上一点，连接 ，F是 延长线上一点， ， 交 于点G．正方形 的边长为4 （1）若 ，则线段 的长为 ； （2）若G为 的中点，则线段 的长为 ． 【答案】 【分析】（ ）证明 ，得 ，进而利用余角性质和对顶角的性质可得 ，得到 即可； （ ）过点 作 于 ，利用等腰三角形的性质可得 ，再证明 ，可得 ，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形 是正方形， 为对角线 上一点， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故答案为： ； （2）过点 作 于 ， 则 ， ∵ ， 为 中点，正方形的边长为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得 ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边 中， ， 点D为 上一点， ， 点E是 边上的动点，连接 ，以 为边作正方形 ，当 的长为整数时，正方形 的面积为 ． 【答案】1或4或9 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、动点问题、正方形的性质等知识点，正确添辅助线、确定 的取值范围是解题的关键． 如图：过点D作 于点H，连接 ，利用“直角三角形 角所对的直角边是斜边的一半”求出 的长度，再利用勾股定理求出 、 的长度，然后确定 的取值范围，继而确定 的整数值，最后求出正方形 的面积即可． 【详解】解：如图：过点D作 于点H，连接 ， ∵在等边 中， ， ， ， ， ∵ ∴ ， ， ， ， ， 当点E在点H处时， 的长最小，当点E在点B处时， 的长最大， ， ， 的长为整数， 的长为1或2或3， ∴正方形 的面积为1或4或9． 故答案为：1或4或9． 6．（2025·浙江温州·三模）将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，连接 并向两端延长分别交 于点 连结 ，证明 为等腰三角形，证得 ， ，设 ，则 ，根据正方形 的面积与 面积相等，列出 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 并向两端延长分别交 于点 连接 ，      ∵四边形 为正方形， ∴ ， ∵ 是以 为底的等腰三角形， ∴ ， ∴点E在 的垂直平分线上， ∵ ≌ ， ∴ ∴点G在 的垂直平分线上， ∵四边形 为正方形， ∴ 的垂直平分线与 的垂直平分线重合， ∴ 即为 或 的垂直平分线， ∴ ， ， ∵正方形 的边长为4，即 ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵正方形 的面积与 面积相等， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ， 故答案为： 。 7．（2025·湖北十堰·三模）如图，在正方形 中，点 ， 分别为边 ， 上的点，将 ， 分别沿 ， 折叠，点 ， 恰好落在 上的点 处，再将 沿 折叠，点 落在 上的点 处，连接 与 交于点 ． （1） ； （2）若 ，则 的长为 ． 【答案】 / 度 / 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形： （1）根据折叠的性质可得 ，由平角的定义求得 ，进而求得 ； （2）解 求得 ， ，进而求得 ，由折叠的性质可得 ， ，求得 ，再解 ，即可求得 ． 【详解】（1）解：由折叠可知 ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ； 故答案为： ； （2）解： ， ， ， 在 中， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 在 中， ， ， 故答案为： ． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形 的边长为2，点E为 边上一点(不与 重合)，连接 ，过点E作 交 于点F，若 ，则 关于 的函数图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由 ，且 为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接 ． ∵ ，则 ． 又∵ 为直角三角形， ∴ ．即 ， 整理 得 ． 该函数图象是开口向下、顶点坐标是 的抛物线． 很明显，函数对应C选项． 故选：C． 9．（2025·河南·三模）下列说法一定正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理判定，理解相关知识是解答关键． 根据平行四边形、矩形的性质和菱形、正方形的判定定理来进行判定求解． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分，故原说法错误，此项不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意； C．矩形的对角线相等，故原说法正确，此项符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，此项不符合题意． 故选：C． 10．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】有一组邻边相等或对角线互相垂直 【分析】本题主要考查特殊平行四边形（矩形、正方形）的性质这一知识点．解题关键在于清晰掌握矩形和正方形的性质，通过对比两者性质上的差异，找出能使矩形满足正方形定义的条件．本题是在特殊平行四边形知识体系中，寻找能使矩形转化为正方形的条件．需要明确矩形和正方形的性质差异，从边、角、对角线等方面去思考补充条件． 【详解】解：矩形的性质是四个角都是直角，对角线相等且互相平分 ． 正方形具有四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直、平分且相等． 对比矩形和正方形的性质，发现当矩形满足 “有一组邻边相等” 时，就满足了正方形四条边都相等的性质；当矩形满足 “对角线互相垂直” 时，结合矩形本身对角线相等且平分的性质，就符合正方形对角线互相垂直、平分且相等的性质． ∴ “有一组邻边相等” 或 “对角线互相垂直” 这两个条件能使矩形成为正方形． 故答案为：有一组邻边相等或对角线互相垂直． 11．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ， ，则下列说法错误的是（　　） A．若 ，则四边形 是矩形 B．若 平分 ，则四边形 是菱形 C．若 且 ，则四边形 是正方形 D．若 且 ，则四边形 是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明 是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， 若 ，则四边形 是矩形，故A选项不符合题意； 若 平分 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则四边形 是菱形，故B选项不符合题意； 若 且 ，则四边形 是正方形，故C选项不符合题意； 若 且 ，则四边形 是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 12．（2025·河南信阳·三模）如图，线段 的端点分别在正方形 的边 和边 上， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出一个以线段EF为对角线的正方形 ，其中点G，H分别在 和 上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中得到的四边形 是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了基本作图和正方形的判定和性质，准确作图是关键． （1）分别以点B和点D为圆心，以AE为半径画弧，与 和 分别交于点G和H，连接可得四边形 即为所求正方形； （2）证明 ，则 ，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求正方形． （2）证明： 正方形 ， ． 由作图可知， ， ． ． ． 四边形 为正方形． 13．（2025·山东青岛·三模）如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点O，点D、B是对角线 所在直线上两点，且 ，连接 、 、 、 ， ． (1)证明： ； (2)四边形 是怎样的特殊四边形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形 是正方形．理由见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定． （1）先根据菱形的性质得 ， ， ，则 ，证明四边形 是平行四边形，推出 ， ，利用 即可证明结论成立； （2）结合 ，得到四边形 是菱形，由 ，推出 ，即可作答． 【详解】（1）解：∵菱形 的对角线 和 交于点O， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； （2）解：四边形 是正方形．理由如下， ∵四边形 是平行四边形，且 ， ∴四边形 是菱形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是正方形． 14．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ， 交于点G，连接 ， ， ，则下列说法正确的个数为（   ） ① ； ② ； ③依次连接 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，则四边形 为正方形； ④ ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定得到 ，可判断①；根据全等三角形的性质得出 ， ，进而得到 ，设正方形 的边长为 ，利用勾股定理表示出 、 的长，可判断②；根据中点四边形的性质，结合 和 ，利用正方形的判定可判断③；延长 和 交于点 ，通过证明 ，得到 ，利用斜边中线定理得到 ，则有 ，再利用角的和差和等量代换可判断④，即可得出答案． 【详解】解： 正方形 ， ， ， 点 ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，即 ， 设正方形 的边长为 ，则 ， ， ， ， ，故②正确； 点 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形， ， ，即 ， 菱形 是正方形，故③正确； 延长 和 交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，说法正确的个数为4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定、中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于正方形综合题，有一定难度，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 17 / 33 _1811576280.$$ 专题06 三角形与四边形 题型概览 题型01 三角形有关的线段 题型02 勾股定理 题型03 全等的判定与性质 题型04 相似的判定与性质 题型05 多边形的角、边、对角线 题型06 平行四边形的判定与性质 题型07 矩形的判定与性质 题型08 菱形的判定与性质 题型09 正方形的判定与性质 三角形有关的线段 1．（2025·宁夏银川·三模）现有4条线段，长度依次是3，5，8，10，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 2．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为 小木棒与两根长度分别为 的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ． 3．（2025·福建泉州·三模）若 的对角线 ， ，则边 的长可以是（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 4．（2025·山西长治·三模）如图，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东聊城·三模）若使用如图所示的 、 两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有 可以 B．只有 可以 C． ， 都可以 D． ， 都不可以 6．（2025·安徽六安·三模）已知菱形 的边长是一元二次方程 的一个根，且两条对角线长的和为 ，则菱形 的边长为（   ） A． B． C． D． 或 7．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作 的边 上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·吉林松原·三模）图 、图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图 中画出 边上的中线 ； (2)在图 中画出 边上的高线 ； (3)在图 中的 边上找到一点 ，使 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在 中， ，若从顶点 作高线 和角平分线 ， 与 的夹角为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的度数为 ． 10．（2025·陕西咸阳·三模）如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，若 ，则 的面积为（   ） A．3 B．6 C．1.5 D．2 11．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上，将 沿直线l翻折，得到 ，点 A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)在图中画出直线l； (2)仅用无刻度的直尺在 上找一点P，连接 ，使得 平分 的面积． 12．（2025·湖北·三模）如图，在面积为24的平行四边形 中，对角线 绕着它的中点 按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交 于点E，F，若 ，则图中阴影部分的面积等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 13．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在 中， 与 相交于点Q，点Q是 的重心，D是 的中点， 与 相交于点P．若 ，则 的长为（    ） A． B． C． D． 勾股定理 1．（2025·河北石家庄·三模）如图， 中， ， 平分 ，点E为 的中点，经过点E作 于点F，交 于点G，则 ． 2．（2025·广西南宁·三模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为E， 寸， 寸，则 的直径 为 寸． 3．（2023·陕西西安·三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ． 4．（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段 短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．（2025·四川泸州·三模）如图，是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ，连接 ， ，若 ， ，则正方形 的边长是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较 与 的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中 ， ，点 在 上且 ， ．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 7．（2025·河北唐山·三模）已知：整式 ，且整式 ． (1)若 ，求整式 、 的值； (2)若 、 、 的值均为正数，则以整式 、 、 为边长的三角形是什么形状的三角形？并说明理由． 8．（2025·浙江衢州·三模）如图， 中，D，E分别是 的中点．若 ，则 的长等于 ． 9．（2025·山东青岛·二模）如图，在平行四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，交 于点 ，已知 ， ， ，则 的周长为 ． 全等的判定与性质 1．（2025·吉林·三模）如图所示，在 的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出 ，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： (1)图①中所画的三角形与 组成的图形是轴对称图形． (2)图②中所画的三角形与 组成的图形是中心对称图形． (3)图③中所画的三角形与 的面积相等，但不全等． 2．（2025·山西长治·三模）下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的 的两边分别取 ，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面 内，则 平分 ．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出 ．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江绍兴·三模）如图，已知 ， ， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 ， ， ， 与 交于点 ，则 的长为 ． 5．（2025·福建福州·三模）如图， 是等边三角形， 是 上的点，点 在 外，且 ， ．求证： ． 6．（2025·陕西咸阳·三模）（1）计算： ． （2）如图， ， ．求证： ． 7．（2025·湖北荆州·三模）如图，已知 这四个点在同一条直线上，且 ， ， ，求证： ． 8．（2025·山西朔州·三模）墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖 与矩形瓷砖 之间用三角形瓷砖 与三角形瓷砖 拼接，点 ， ， 与点 ， ， 分别在同一直线上．小雅发现 与 全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 9．（2025·陕西榆林·三模）如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则 （   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建福州·三模）如图， ，求证： ． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上， ， ，若选择______，则 ． 请从① ；② ；③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 12．（2025·陕西西安·三模）如图，在 和 中， ，请你添加一个条件，使得 ．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 相似的判定与性质 1．（2025·浙江金华·三模）如图， ，若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·三模）如图，点 ， ， 分别在 的边上， ，点G是 的中点，连接 并延长交 于点H，已知 ，则 的值是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·江西南昌·三模）（1） 解不等式组 （2） 已知， 如图， 在 中， 点D在 边上， 点E在 边上， 且 ．求证： ． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在 中， 是角平分线， 是中线， ，且 ，垂足为F，G为 的中点，连接 ， ．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形 中，点 ， 分别是 ， 边上的点，连接 ， ， ，若 ，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 6．（2025·山东济宁·三模）如图， 中，P是 上一点，连接 ．请你补充一个条件 ，使 ． 7．（2025·河南漯河·三模）如图，已知 ，添加下列各选项中的条件后，不能判定 的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽滁州·三模）已知 ， 和 的周长分别为 和 ，且 ， ，求 和 的长． 9．（2025·江苏泰州·三模）如果两个相似三角形的面积之比为 ，较小的三角形的周长是 ，那么另一个的三角形的周长为 ． 10．（2025·江西九江·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为矩形， ，连接 ，D为 的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与 相似，则点P的坐标为 ． 11．（2025·重庆·三模）如图，已知 与 位似，位似中心为O，且 的面积与 的面积之比为 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江西新余·三模）【初步感知】 （1）如图1， 和 相交于点 ，且 ， ， ①则 ______ （填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的 绕点 旋转，当点 在 外部，点 在 内部时，求证： ； 【变式探究】 （2）如图3，在 与 中， ， ．猜想 ， 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形 中， ， ，若 ，求 ， 两点间的最大距离．    13．（2025·云南楚雄·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上， ，则 与 的周长之比为 ． 14．（2025·河北石家庄·三模）如图，水平地面上放置盛有液体的容器， 是液面线，经测量， ，把长为 的木棍 的一端 探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分 的长为 ． 15．（2025·陕西西安·三模）小凌和数学小组的同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量华清池《长恨歌》群雕最高点到地面距离 的活动．如图，小凌在B处竖立一根竖杆 ，在点A处架设一根横杆 ，杆 可以绕着点A在平面内旋转．在工作人员的帮助下小凌测得 与 之间的距离 为 ，小凌绕点A转动杆 ，通过观测发现当点D恰好位于点 时（此时点C位于点 ），雕塑的顶端P在 的延长线上．测得 ，点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ， ， ， ，图中所有点均在同一平面内，请你求出《长恨歌》群雕最高点到地面的距离 ． 16．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 17．（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段 是由线段 位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·浙江金华·三模）如图，以点O为位似中心的 与 的周长比为 ，则 的值是（  ） A． B． C． D． 19．（2025·安徽滁州·三模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中给出了格点 （顶点是网格线的交点）． (1)将 向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的 ． (2)以点O为位似中心，将 缩小为原来的 ，得到 ，请在y轴右侧画出 ，并求出 的长度． 20．（2025·安徽合肥·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ． (1)画出线段 关于 轴对称的线段 ； (2)以原点 为位似中心，将线段 在第一象限内放大为原来的2倍得 ，画出线段 ． 21．（2025·四川内江·三模）在平面直角坐标系中， 和 的相似比等于 ，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为 ，则其对应点 的坐标是 ． 22．（2025·甘肃陇南·三模）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以O为位似中心的位似图形，若 ， ， ，则点C的坐标是 ． 23．（2025·云南·三模）在平面直角坐标系中，已知点 ，以原点 为位似中心，相似比为2，把 放大，则点 的对应点 的坐标是（　　） A． 或 B． C． D． 或 24．（2025·安徽合肥·三模）在如图所示的平面直角坐标系中，已知 ． (1)将 绕点 逆时针旋转 得到 ，请画出 ； (2)以坐标原点 为位似中心，在 轴下方，画出 的位似图形 ，使它与 的位似比为 ． (3)在 轴上找一点 ，使得 ，并直接写出点 的坐标． 25．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在 的正方形网格图中， 与 的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点 位似． (1)在图中标出位似中心点 ；（保留作图痕迹） (2) 与 的相似比是 ； (3)将 平移到 的内部得到 ，在图中画出 （ 的顶点均在小正方形的格点上） 多边形的角、边、对角线 1．（2025·山东济南·三模）如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东珠海·三模）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·三模）若一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是 边形． 4．（2025·山东聊城·三模）如图，将一个含 的直角三角板 的直角顶点H放在正六边形 的边 上，点G恰好落在边 上，边 分别交 于点J，K，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·三模）笑笑同学用4个全等的正n边形硬纸板和一个正方形硬纸板拼成了一个如图所示的平面图形（部分），这5个硬纸板的拼接处无空隙，不重叠，则n的值为 ． 6．（2025·云南玉溪·三模）一个n边形的每个外角都是 ，则 ． 7．（2025·云南临沧·三模）“读万卷书，行万里路．”走同样的路，每个人的感受却不尽相同．春日实践将学校传统课堂延伸至户外的广阔天地，莘莘学子在感知历史、拥抱自然的过程中，成长为有情怀、有担当的社会主义建设者和接班人!某校举办了“寻迹古滇，趣动四月”主题研学活动．宣纸轻覆雕版刻章，拓印千年古滇文明印记．小南以正八边形为边框，拓印了如图所示的作品，则此正八边形作品一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西大同·三模）如图，线段 ， ， 是一个正多边形的三条边，延长 ， 交于点M，若 ，则这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 9．（2025·湖南邵阳·三模）已知一个正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的边数是（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 10．（2025·重庆·三模）如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 11．（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形 的边 为一边，向内作等边三角形 ，连接 ，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西咸阳·三模）用一些全等的正五边形按如图所示的方式拼接，围成一圈后中间也形成一个正多边形，则中间形成的这个正多边形的边数为 ． 13．（2025·陕西西安·三模）如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为 ． 14．（2025·安徽合肥·三模）如图， 是 的内接正三角形，五边形 是 的内接正五边形，若线段 恰好是 的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 15．（2025·安徽滁州·三模）如图，在 的圆内接正五边形 中，过点D作 交 于点F，则 的度数为 ． 16．（2025·安徽池州·三模）如图，在正多边形 中，若 ，则该多边形的内角和为 17．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设 的半径为1，若用如图所示的 的内接正十二边形的面积来近似估计 的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·四川南充·三模）如图，正五边形和正六边形有公共边 ．以点 为圆心， 为半径画圆．则扇形 的面积为 ． 19．（2025·山西长治·三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（ ）的直径为 ，通光直径（正六边形最长的对角线长）为 ，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·湖北十堰·三模）在正方形 中， ，点 在正方形外，且 ， ，① ； ②请直接写出点 到 的距离为 ． 平行四边形的判定与性质 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在 中， 于点 ，连接 ，则线段 的长为 ． 2．（2025·湖北荆州·三模）如图，平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ，给出下列结论：① ② ③ ④ ．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在 ， 相交于点 ， ．过点 作 的垂线交 于点 ，记 长为 长为 ．当 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·三模）如图，在平行四边形 中，点 、 分别在 ， 上，点 、 在 上， ， ．求证： ． 5．（2025·湖南衡阳·三模）如图，点 是 的边 延长线上一点， ．连接 ，交 于点 ．设 ， 的面积分别为 ， ，则 （　　） A． B． C． D． 6．（2025·江苏宿迁·三模）如图， 是四边形 的对角线，点 为 的中点， ．从① ，② ，③ 等三个选项中选择一个作为添加条件，使四边形 为平行四边形，并说明理由． 7．（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·云南楚雄·三模）如图，在 中， ， ，延长 至点E，使 ．过点E作 交 的延长线于点F，连接 ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)若 ， ，求四边形 的面积． 9．（2025·河北邢台·三模）如图，平行四边形 的对角线交于点 ，点 分别在 的四条边上（不与顶点重合）．如下方案中，不能判定四边形 是平行四边形的是（    ） A．使 B．使 ， 均经过点 C．使 经过点 ，且 D．点 分别为各自所在边的中点 10．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是 ， 边上的点，且 ． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)连接 ，若 平分 ，求 的面积． 11．（2025·山东淄博·三模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点O，点E，F分别为 ， 的中点，连接 ， ， ， ． (1)求证：四边形 是平行四边形． (2)若 ， ，求线段 的长． 12．（2025·陕西西安·三模）如图，在 中，点D为 的中点，点H为 上一点，连接 ，点E、F分别为 的中点，连接 ，若 ，则 的长为（    ） A．5 B．8 C．16 D．2 13．（2025·陕西商洛·三模）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 在边 上，且 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为（    ） A．1.5 B．2.5 C．3 D．4 14．（2025·山西晋中·三模）如图， 中， 在 的延长线上，连接 为 的中点． (1)尺规作图：在 内部求作一点 ，使点 到点 的距离都相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若直线 与线段 交于点 ，连接 ，求证： ． 15．（2025·湖南长沙·三模）如图，在 中， ， 为边 的中线，E为 上一点，连接 ，F为 的中点，且 平分 ． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长． 矩形的判定与性质 1．（2025·河南驻马店·三模）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 2．（2025·安徽合肥·三模）下列几何体的三视图中，不可能出现矩形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·三模）如图，已知矩形 与矩形 ，矩形 的顶点 ， 分别在矩形 的边 ， 上，点 与点 重合． （1）若 ，则 ； （2）若矩形 与矩形 的面积之差为 ，点 是 的中点，则阴影部分的面积为 ． 4．（2025·陕西延安·三模）在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，若 ，则 的度数为 ． 5．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 作 的垂线与 、 的延长线相交于点 、 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 及 的长． 6．（2025·山东济宁·三模）如图，在矩形 中，分别以点B，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 与 ， 分别交于点E，F，连接 ．已知 ， ，则 的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．（2025·福建三明·三模）如图，在矩形 中， ，对角线 ， ，相交于点 ， 是 上一点， ，垂足为 ，点 在 延长线上， ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的面积． 8．（2025·山东东营·三模）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点D作 交 的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·浙江金华·三模）如图，将左边矩形纸片 沿虚线剪开并拼接成了右边正方形 ，则 ．    10．（2025·安徽阜阳·三模）如图，将矩形纸片 的两个直角 和 分别沿直线 ， 折叠，折叠后点A，B的位置分别是点 ， ，若 ，则 的大小是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北邢台·三模）如图，在矩形纸片 中， 为 边上一点，将 沿 折叠，得到 ．点E，F关于 对称，若 ，则 （    ） A． B． 或 C． 或 D． 或 12．（2025·宁夏中卫·三模）如图，在矩形 中， ， 分别为边 上的点，将矩形 沿 翻折，使点 落在边 上，得到四边形 ，连接 . ， ．则 . 13．（2025·河南周口·三模）如图所示，线段 的端点B在直线 上，过线段 上的一点O作 的平行线，分别交 和 的平分线于点C，D，连接 ，要使四边形 为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 14．（2025·福建福州·三模）如图，已知在四边形 中，对角线 交于点O，且 ，要使四边形 是矩形，添加一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏扬州·三模）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 ， 在 上， ， ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求 的长． 16．（2025·江苏·三模）如图，在 中， ， 的平分线交 于点D，过点D作 ，交 于点E，点F是 上一点，且 ，连接 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)连接 ，若 ， ，求 的长． 17．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形 中， ， ，对角线 交于点O，E是边 上一点，连接 交 于点F， ． (1)求证：①四边形 是矩形； (2)若 ，求 的值． 菱形的判定与性质 1．（2025·福建三明·三模）如图，四边形 为 的内接四边形．若四边形 为菱形，则 的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·陕西榆林·三模）在菱形 中，对角线 ， 交于点O，若 ，则 的度数为 ． 3．（2025·浙江金华·三模）如图，在菱形 中 ，作 ，连结 ． (1)求菱形 的面积； (2)求 的长． 4．（2025·四川资阳·三模）已知菱形 的边长为2， ，对角线 、 相交于点 ，以点 为坐标原点，分别以 ， 所在直线为 轴、 轴建立如图所示的直角坐标系，以 为对角线作菱形 菱形 ，再以 为对角线作菱形 菱形 ，再以 为对角线作菱形 菱形 ， ，按此规律继续作下去，在 轴的正半轴上得到点 ， ， ， ， ，则点 的坐标为 ． 5．（2025·陕西榆林·三模）如图，四边形 是菱形， ， ， ， 分别是 和 上的动点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 6．（2025·湖北荆州·三模）如图，在菱形 中， 与 相交于点 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东济宁·三模）如图，在 中， ． (1)求作菱形 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，求菱形 的面积． 8．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形 中，点 是边 的中点，连接 ，点N是边 上一点． (1)如图1，若 ， ①在图1中，尺规作图：过点 作 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证： ． (2)如图2，连接 ．若 ，求 的长． 9．（2025·湖南衡阳·三模）如图，已知 ． (1)证明： ． (2)连接 ，线段 交 于点 ．从“① ；② ”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形 的形状是 ，并说明理由． 10．（2025·陕西延安·三模）如图，点 、 分别为 的边 、 上的点， ，连接 、 ．请从① ；② 中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得四边形 是菱形．你添加的条件是：______（只填写一个序号），并写出证明过程． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以 为边的菱形 ，点M、N均在小正方形的顶点上； (2)在图中线段 上取一点F，使得 ；连接 ，并直接写出线段 的长． 12．（2025·陕西西安·三模）如图，点E为 的边 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F， ．求证：四边形 为菱形． 13．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平行四边形 中， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在线段 上找一点 ，使点 到 的距离相等； ②在线段 上截取 ，使 ； (2)在（1）所作的图形中，连接 ，求证：四边形 是菱形． 14．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线交 边于点 ，交 边于点 ． (1)求证：四边形 是菱形； (2)求 的长． 正方形的判定与性质 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，正方形 中，点E在边 上，连接 ， 交 的延长线于点F，延长 与 的延长线交于点G， 平分 交 于点H，连接 ， 交 于点P，则下列结论：① ；② 垂直平分 ；③ ；④ ；⑤当 时， ．其中正确结论序号是（   ） A．③⑤ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②③④⑤ 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形 中，E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，点G是 的中点，连接 并延长交 于点K． （1） ； （2）连接 ，当线段 取最小值时， 的值为 ． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，点 ，四边形 和四边形 都是正方形，点D在点A右侧的x轴上，点C在y轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过 的中点，又经过 的中点，则正方形 的边长为 ． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形 中，E为对角线 上一点，连接 ，F是 延长线上一点， ， 交 于点G．正方形 的边长为4 （1）若 ，则线段 的长为 ； （2）若G为 的中点，则线段 的长为 ． 5．（2025·江西南昌·三模）如图， 在等边 中， ， 点D为 上一点， ， 点E是 边上的动点，连接 ，以 为边作正方形 ，当 的长为整数时，正方形 的面积为 ． 6．（2025·浙江温州·三模）将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为 ． 7．（2025·湖北十堰·三模）如图，在正方形 中，点 ， 分别为边 ， 上的点，将 ， 分别沿 ， 折叠，点 ， 恰好落在 上的点 处，再将 沿 折叠，点 落在 上的点 处，连接 与 交于点 ． （1） ； （2）若 ，则 的长为 ． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形 的边长为2，点E为 边上一点(不与 重合)，连接 ，过点E作 交 于点F，若 ，则 关于 的函数图象大致是(    ) A． B． C． D． 9．（2025·河南·三模）下列说法一定正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 10．（2025·河南驻马店·三模）小欣同学在梳理《特殊平行四边形》一章的知识点时，画出如图所示的知识框图．请帮她在（？）处填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 11．（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ， ，则下列说法错误的是（　　） A．若 ，则四边形 是矩形 B．若 平分 ，则四边形 是菱形 C．若 且 ，则四边形 是正方形 D．若 且 ，则四边形 是正方形 12．（2025·河南信阳·三模）如图，线段 的端点分别在正方形 的边 和边 上， ． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出一个以线段EF为对角线的正方形 ，其中点G，H分别在 和 上．（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明（1）中得到的四边形 是正方形． 13．（2025·山东青岛·三模）如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点O，点D、B是对角线 所在直线上两点，且 ，连接 、 、 、 ， ． (1)证明： ； (2)四边形 是怎样的特殊四边形？请说明理由． 14．（2025·安徽合肥·三模）如图，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， ， 交于点G，连接 ， ， ，则下列说法正确的个数为（   ） ① ； ② ； ③依次连接 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，则四边形 为正方形； ④ ． A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 17 / 33 $$