专题05 二次函数（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题05 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数与方程、不等式 题型04 二次函数图象的变换 题型05 二次函数的应用 题型06 二次函数的实际应用 ( 题型01 )二次函数的图象与性质 1．（2025·四川达州·三模）若，则定义，即的取值为a，b，c的中位数．如：，．则函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 2．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 3．（2025·四川绵阳·三模）若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴用含的式子表示； (2)若，自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且求的值； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 5．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数（，是常数），若该函数图象经过， (1)求这个二次函数的表达式． (2)若该图象经过，，当时，求的取值范围． 6．（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南驻马店·三模）若二次函数的图象经过点，，，则和的大小关系是 ． 8．（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为 ； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ． 9．（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 11．（2025·安徽六安·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 12．（2025·安徽马鞍山·三模）设a，b，c均为实数，且，下列判断正确的是（   ） A．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小 B．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大 C．若b为一个负值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 D．若b为一个正值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 13．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线L的解析式为()，则下列说法正确的是（   ） A．若点与点都在抛物线L上，且，则有 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则 D．当时，y有最小值为1，则a的值为或 ( 题型0 2 )二次函数图象与系数的关系 1．（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A．②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若，且，则．其中结论正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 5．（2025·陕西延安·三模）已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列说法：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． E． 7．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 8．（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 3 )二次函数与方程、不等式 1．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 3．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数（是常数）． (1)求二次函数图象经过的定点的坐标； (2)已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 4．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 5．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 6．（2025·四川南充·三模）二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ． ( 题型0 4 )二次函数图象的变换 1．（2025·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 3．（2025·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 4．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 5．（2025·四川宜宾·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． ( 题型0 5 )二次函数的应用 1．（2025·宁夏中卫·三模）如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点B坐标为，点坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线BC于点，设点P的横坐标为m. (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线上，求点的坐标. 2．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 4．（2025·安徽·三模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 5．（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 6．（2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 8．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． ( 题型0 6 )二次函数的实际应用 1．（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； (2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 4．（2025·浙江金华·三模）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，点F在的延长线上，连接，．点P从点D出发，沿运动到点F，在边上找一点Q，连接，使得，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 5．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 6．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 7．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 8．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 9．（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 10．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 10 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质 题型02 二次函数图象与系数的关系 题型03 二次函数与方程、不等式 题型04 二次函数图象的变换 题型05 二次函数的应用 题型06 二次函数的实际应用 ( 题型01 )二次函数的图象与性质 1．（2025·四川达州·三模）若，则定义，即的取值为a，b，c的中位数．如：，．则函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查函数中的新定义类问题，画出函数的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可． 【详解】解：画出函数的图象，如图， ， 所以，函数的最小值为1， 故选：A． 2．（2025·贵州毕节·三模）已知抛物线，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示） (2)当时，求顶点纵坐标的最大值与最小值； (3)当时，y的值随x值的增大而减小，且当时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，；当时，； (3)． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据． （1）利用二次函数顶点坐标公式求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意先求出的范围，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：设， 则． ， 当时，；当时，． （3）解：由题可知， ， 当时，总有， 要使则有． 时，的值随值的增大而减小，时，的值随值的增大而增大， 且， 当时，，当时，， ，即． 令，解得． 又的系数是， 当时， 的取值范围是． ． 3．（2025·四川绵阳·三模）若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先确定二次函数的对称轴，再根据函数的增减性和点到对称轴的距离判断函数值大小． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，根据二次函数开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大来判断的大小关系． 【详解】解：对于二次函数，根据配方法， ∴该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图数开口向上， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴对应的函数值． 故选：A． 4．（2025·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴用含的式子表示； (2)若，自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且求的值； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，该抛物线的对称轴为直线，求解作答即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，如图，当时，即，此时函数的最大值为，最小值为，当时，，当时，，如图，当，即时，同理可得：，，如图，当，即时，同理可得：，，如图，当时，同理：当时，，当时，，再进一步建立方程求解即可； （3）由，可知当时，，即，由对称轴为直线，可得，且，可求；当时，，即，同理可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， ∵，当时，即， 此时函数的最大值为，最小值为， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 当，即时， 同理可得：，， ∴， 解得：（舍去） 当，即时， 同理可得：，， ∴， 解得：，（舍去）， 当时， 同理：当时，， 当时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去 综上：或； （3）解：∵， ∴，或，； ∴当，时，即， ∵的对称轴为直线， ∴，且， 解得，； 当，时，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 5．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数（，是常数），若该函数图象经过， (1)求这个二次函数的表达式． (2)若该图象经过，，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得二次函数开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远函数值越小，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象经过，，且， ∴， ∴， 当时，则，无解； 当时，则，解得，则； 当时，则，此时恒成立， 综上所述． 6．（2025·山东东营·三模）已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 7．（2025·河南驻马店·三模）若二次函数的图象经过点，，，则和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． 利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴，抛物线开口向上，离对称轴较远的点的纵坐标较大． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，且两点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 抛物线上两点和，到对称轴的距离分别为， ∴ 故答案为：． 8．（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为 ； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得顶点为，它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，即抛物线．则可求得b的值； （2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，故，即． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点为， ∴它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为， 即抛物线． 即， ∴； 故答案为：4； （2）由（1）知，， 即； 也即抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， ∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则， ∴； ∵， ∴ 即． 故答案为：1． 9．（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴， ∴， ∵抛物线（m为常数）与x轴交于点， ∴点B的横坐标大于-1，小于0； ∵点关于对称， ∴点A的横坐标大于-2，小于-1． ∵当时，， ∴． 即． ∴一次函数图像经过一、二、四象限． ∴C符合题意．． 故选C． 10．（2025·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 函数图象的顶点坐标为． （2）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数在时取得最小值，即②， ， ，在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 11．（2025·安徽六安·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线变形为，即可解答； （2）（i）由（1）知抛物线对称轴为，结合抛物线开口方向，只需令得，建立不等式组，求解即可；（ii）根据题意，求出，代入解析式令，由题意得方程的解为，求出，，得到抛物线解析式为，再利用抛物线性质结合题意即可解答． 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且， ∴， 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴不存在此种情况； 当时，解得：， 此时，，解得：， ∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意， ∴， ∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，， 两式相减：，解得， 则，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2， 令，则， 解得：或， ∴当时，，则； 当时，，则； 综上，的取值范围为． 12．（2025·安徽马鞍山·三模）设a，b，c均为实数，且，下列判断正确的是（   ） A．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小 B．若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大 C．若b为一个负值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 D．若b为一个正值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质．将原式整理成，可看成c是关于a的一次函数，或二次函数，根据二次函数的性质或一次函数的性质即可解答． 【详解】解： ， 若a为一个定值，且时，则，不变，故选项A和B都不符合题意； 若b为一个负值，则c是关于a的二次函数，且开口向下，当时，c的值一定随着a的值增大而增大，故选项C符合题意； 若b为一个正值，则c是关于a的二次函数，且开口向上，当时，c的值一定随着a的值增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：C． 13．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线L的解析式为()，则下列说法正确的是（   ） A．若点与点都在抛物线L上，且，则有 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则 D．当时，y有最小值为1，则a的值为或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，一般式化为顶点式，求出抛物线的对称轴和与轴的交点，分，，结合二次函数的图象和性质，逐项进行分析，判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴抛物线过，对称轴为直线， ∵a正负性不知， ∴存在多种情况 ①当时，抛物线开口向上，根据近小远大，到对称轴远，2到对称轴近， ∴；故A错误 ②∵顶点坐标为，利用勾股定理可知，解得或，故B错误； ③若抛物线只过两个象限，当时，抛物线开口向上，则顶点在x轴上方或x轴上，，则， 当时，则抛物线必过四个象限，故C错误； ④当时抛物线开口向上，当时，最小值在顶点处取到，，， 当时抛物线开口向下，当时，最小值在处取到，，；故D正确； 故选D． ( 题型0 2 )二次函数图象与系数的关系 1．（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线（、、为常数，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象与几何变换，依据题意，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，进而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，将抛物线向右平移3个单位长度后得到抛物线， ∴抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，， ∴， 故选项A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故选项B错误； ∵， ∴， 故选项C正确； 将点代入得，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：C． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A．②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线可知抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧可得，，进而判定①；由抛物线过可得，进而判定②；由③可得，再根据函数图象可得，即，再将代入整理即可判定③；由题意易得，，然后整理变形即可判定④． 【详解】解：∵二次函数的抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴，即①错误； ∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，点， ∴，则，即②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴， ∴，则，即③正确； ∵点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若，且，则．其中结论正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 则， ∵对称轴为直线，则， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， 则， ∴，故①错误，不符合题意； 把代入， 得， 观察图象得， ∴，故②错误，不符合题意； ∵ ∴ 故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故④正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴关于对称轴直线对称， 即， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上所述，符合题意的是③④⑤，共3个， 故选：B． 4．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 5．（2025·陕西延安·三模）已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，则下列说法：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，最后做出选择即可． 【详解】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 故①正确； 当时，，由图象可知此时，即， 故②不正确； ∵对称轴是直线，即， ∴， 故③不正确； ∵对称轴是直线，即， ∴，而，当时，， 故顶点为， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①④，一共2个， 故选：B． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 7．（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 8．（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况分析：当时；当时；再综合选项判断即可解答． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 9．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 10．（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 11．（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． ( 题型0 3 )二次函数与方程、不等式 1．（2025·河南信阳·三模）若关于的两个函数与的图象有且只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别是进行求解．联立两个函数解析式，得到一个一元二次方程，根据，列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：由，得：， 整理得：， ∵两个函数与的图象有且只有一个交点， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 2．（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的点的坐标特征，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意表示出，，根据，求出的值，结合点与点不重合，进行判断即可． 【详解】解：已知二次函数（为常数）的图象经过点和点． ， ， ， ， 解得， 当时，，不合题意， ． 故选：B． 3．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数（是常数）． (1)求二次函数图象经过的定点的坐标； (2)已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括定点坐标、对称轴、顶点坐标以及函数最值问题．解题的关键在于熟练运用二次函数的基本公式（如对称轴公式、顶点坐标公式 ），通过分析函数的特征（如开口方向 ）以及给定的条件（如函数过定点、与直线的交点情况、自变量取值范围 ）来求解问题，对于分类讨论的情况要全面且准确分析． （1）求函数图象经过的定点坐标．对于二次函数，令含变量的项系数为，即令，此时，无论、取何值，函数都过定点 ． （2）①已知函数过和，这两点纵坐标相同，所以对称轴为 ．又因为函数图象与直线只有一个公共点，所以顶点坐标为 ．根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式（这里 ）列出方程组，求解得到 ． ②先得出函数图象顶点为 ．然后分和两种情况讨论．当时，二次函数开口向上，在（ ）这个区间内，离对称轴更远，所以时取最大值，时取最小值，二者差值为 ；当时，二次函数开口向下，时取最大值，时取最小值，二者差值为 ． 【详解】（1）解：令，则， ∴函数图象过定点； （2）解：①∵函数图象过，又函数图象过，且图象与直线只有一个公共点， ∴函数图象对称轴为直线，即顶点坐标为， ∴ ∴ ②证明：函数图象顶点为， 若，当时，取最大值为1，时，取最小值为， ∴． 若时，取最大值为时，取最小值为1， ∴， ∴函数最大值与最小值的差为． 4．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 5．（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点． （1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为； （2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点； （3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 图像的顶点坐标为； （2）解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图像与轴有两个交点； （3）解：一次函数（是常数，，）的图像为线段， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 依题意，图像与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， ∴； ②当时， ， 解得：； ③当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， ， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）； 综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点． 6．（2025·四川南充·三模）二次函数，当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用； 记，则得对称轴为直线．分；两种情况，结合二次函数z在时的增减情况即可求解． 【详解】解：， 记，则对称轴为直线． 当时，如图1．当时，随的增大而增大． 当时，．则，成立． 即．解得． ． 当时，如图2．当时，随的增大而减小． 当时，，则成立． 即．而恒成立． 综上，或时，始终成立． ( 题型0 4 )二次函数图象的变换 1．（2025·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查抛物线图象与性质，涉及抛物线的平移、将一般式化为顶点式、根据点的坐标判定所在象限等知识，先由函数图象平移得到，再将一般式化为顶点式求出抛物线顶点坐标，由点的坐标符号即可确定顶点所在象限，熟记抛物线平移、抛物线图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线， 则， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的顶点一定在第四象限， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 【答案】(1) (2)，4 (3)①或；②或 (4)或 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）联立抛物线和抛物线即可求出；当时，，求出，，即可求出的长度； （3）①首先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论，分别根据平移的性质求出点F的横坐标，然后代入解析式求解即可； ②首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，然后设出点G和点H的坐标，根据纵坐标相等列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论：当直线与抛物线只有一个交点和当直线经过抛物线与抛物线的交点时，然后分别求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为：； （2）联立抛物线和抛物线得， 解得 将代入 ∴； ∵抛物线 ∴当时， 解得， ∴， ∴； （3）①∵抛物线 ∴对称轴为直线 ∴当点A平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； ∴当点B平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； 综上所述，点F的坐标为或； ②根据题意得，， ∴ 当点D平移到抛物线上的点G时，则点B平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 当点B平移到抛物线上的点G时，则点D平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （4）如图所示，当直线与抛物线只有一个交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴联立直线与抛物线得 ，即 根据题意得， ∴； 如图所示，当直线经过抛物线与抛物线的交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴将代入得， 解得 综上所述，的值为或． 【点睛】此题考查了二次函数的平移，一次函数和二次函数的综合应用，二次函数和x轴交点问题等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)的最小值为：． (3)的坐标为：或 【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）如图，求解直线为：，可得，设，则，其中，，利用二次函数的性质可得，如图，过作交于，而轴，可得，作关于轴的对称点，则，，当于时，与轴交于点，可得，此时最小，再进一步求解即可； （3）求解，可得，可得将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，可得平移后抛物线为，如图，，，可得，过作，交原抛物线于，而轴，证明，取，连接，证明，结合，证明，过作于，求解，取的中点，作直线，同理可得：的解析式为，在上取点，使，可得，，以为圆心，为半径画圆，则，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 设，则，其中， ∴， 当时，最大， ∴， 如图，过作交于，而轴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 作关于轴的对称点，则，， 当于时，与轴交于点， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线为， ∴，解得：， ∴， ∴， 即：的最小值为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后抛物线为，对称轴为直线， 如图，矩形中，，，分别在上，且，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， 如图，，， 由原理得：， 过作，交原抛物线于，而轴， ∴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取，连接， ∴， ∴，而轴， ∴， ∵直线为， ∴， ∴， ∴， 过作于， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴，， ∴， 取的中点，作直线，同理可得：的解析式为， ∴，， 在上取点，使， ∴，， 以为圆心，为半径画圆，则 ， 设， ∴， 解得：，， ∴，， 设，而， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，轴对称的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2025·安徽合肥·三模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】(1)直线 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为一般式，再由二次函数对称轴公式计算即可得解； （2）先求出平移后的抛物线的解析式，再由该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x只有一个交点得出，计算即可得解； （3）先求出，当时，，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：将二次函数向上平移3个单位长度后得到的解析式为， ∵该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为； （3）证明：∵和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足， ∴， 整理可得：， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∵，二次函数开口向下， ∴． 5．（2025·四川宜宾·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的横坐标为 【分析】（1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值，利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴右边时和当点在轴左边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时，， 如图，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）∵， ∴，， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得， 当点Q在y轴左边时，不存在，符合题意的点； 综上所述，点的横坐标为． 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ( 题型0 5 )二次函数的应用 1．（2025·宁夏中卫·三模）如图1，二次函数与轴交于A、B两点，与y轴交于点C.点B坐标为，点坐标为，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，垂足为D，交直线BC于点，设点P的横坐标为m. (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作，垂足为，当m为何值时，最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)当m为3时，最大，最大值是 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意设，则，从而可求出的长，根据勾股定理可求出．易证，得出，代入数据，结合二次函数的性质求解即可； （3）设，抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，．当点恰好落在该矩形对角线上时画出图形，利用轴对称的性质，锐角三角函数分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标为，点C坐标为， ∴，解得：， ∴该二次函数的表达式为：； （2）解：设的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：． ∵点P的横坐标为m， ∴，则， ∴． ∵，轴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∴当m为3时，最大，最大值是； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点Q在抛物线的对称轴上， 故可设． 设抛物线的对称轴交x轴于点H，交于点G，则，，． ∵点恰好落在该矩形对角线上，如图，则垂直平分，即， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、对称性质、锐角三角函数以及勾股定理等知识，解答的关键是掌握相关知识的联系与运用． 2．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，顶点为C，连接，D是线段上一动点（不与点A，B重合），过点D作x轴的垂线交于点E，交抛物线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段AB上一动点（不与点A，B重合）且始终保持，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式，设，则，然后求出，即可得到点E和F的坐标，利用点F在抛物线上得到方程解题即可； （3）利用勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，然后过点B作，使，连接，，则有，则可得到当，G，C三点共线时，取得最小值，然后解题即可． 【详解】（1）解： 抛物线过点， 解得． ． （2）解：设，则， 由，得， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 点在直线上， ， ． 将代入， 解得（不合适的值已舍去）， ． （3）解：如图，连接， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，． 过点作，使，连接， ． ， ． 要使的值最小，则的值最小， 当三点共线时，取得最小值． 又， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为6． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点、两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)已知点抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标： (3)若抛物线上仅存在一个点，使得，若，求的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)P点的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）根据对称轴求出，利用求出，得到，即可得到函数解析式； （2）设与y轴交于点D，利用面积得到或，求出一次函数解析式，求出与对称轴的交点即可； （3）由题意得：，仅存在一个点，使得，即抛物线与直线仅有一个交点，得到，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得即， 把代入得， 解得， ， ， ∴顶点坐标为 （2）设与y轴交于点D， ， 又，对称轴为直线， ， 或， 设直线，由得 解得 ∴， 当时， ∴， 由同理可得得，得到 综上P点的坐标为或． （3）由题意得：， 仅存在一个点，使得， 抛物线与直线仅有一个交点， ， 整理得， ， ， 又，当时，随着的增大而减小， ∴时，n最大为． 4．（2025·安徽·三模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)的最大值的， (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，解方程组后求出和的值，进而得到抛物线表达式和点的坐标； （2）确定直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于点点横坐标的函数表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，设出点坐标，通过相似三角形等知识结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为，点的坐标为； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交轴于点，设， 则点的横坐标为． 设直线的解析式为，过点，， ∴，，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，且点的横坐标为， ∴将代入，得：， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴开口朝下且， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∵原抛物线为：， ∴向左平移个单位后为：， 当时，得：， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在的上方时， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（不合题意舍去）或， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积，二次函数图象平移的规律，相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 5．（2025·江苏无锡·三模）已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．（2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形为平行四边形，见解析 (3)抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【分析】（1）把点、代入抛物线求出b和c的值即可； （2）求出，得出，证出，即可得出四边为平行四边形； （3）求出，分情况讨论：①当点O为直角顶点时，证明，求出，即可得出P的坐标；②当点F为直角顶点时，同理可求出，，即可得出P的坐标；③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，由直角三角形斜边上的中线性质得出的长，若点P在上方，得到；若点P在下方时，则；即可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：四边形为平行四边形． ∵此抛物线与y轴交于点C， ∴， 又∵， ∴， 又∵抛物线的对称轴为：， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴， ①当点O为直角顶点时，如图1所示： 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ②当点F为直角顶点时，如图2所示： 同理可得， ∴， ∴， ∴； ③当点P为直角顶点时，由勾股定理得， 又∵是斜边上的中线， ∴， 若点P在上方，如图3所示： 则， ∴； 若点P在下方时，如图4所示： 则， ∴； 综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． 7．（2025·四川绵阳·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，与交于点，过点 作，先证明是等腰直角三角形，进而可得，设，可得，再根据中点坐标公式求出，代入解析式即可求出点，即可得出，，根据两点距离公式求出对角线，结合菱形面积公式可得. （3）先构造，根据，求出,由三角形是等腰直角三角形，所以，求出，进而可得直线解析式是，联立抛物线与直线解析式即可求出. 【详解】（1）解：已知点，代入抛物线解析式为 解得 ∴抛物线解析式为 （2）连接，与交于点，过点 作， 由抛物线解析式为可得， 又∵， ∴直线解析式为，， 若四边形为菱形，则，且 ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得： 解得（舍），， ∴，，， ∴ 所以菱形的面积 （3）延长至，过点作，与直线交于点，作轴，与x轴交于点H， 因为，即 ∴， 因为，，所以 又， ∴， 又∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形，所以 又∵，所以， 又，所以直线解析式是 联立抛物线与直线解析式得 解得（舍）， 所以． 8．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为(-1，2)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ， ， ， 解得， ； （3）解：令， 或， ， 又， ， ． 设长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或时符合题意． ( 题型0 6 )二次函数的实际应用 1．（2025·河南新乡·三模）如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” (1)夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； (2)请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）求出夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解； （2）设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得求出，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为， 故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为； 故答案为：40 （2）解：设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， 由题意可得：，， 解得：， 此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， ∵， ∴当时，最大，为， 故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为． 2．（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 3．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．（2025·浙江金华·三模）如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，点F在的延长线上，连接，．点P从点D出发，沿运动到点F，在边上找一点Q，连接，使得，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】解求出的长，连接，中点结合中位线定理得到，，解求出的长，分点在线段上运动和点在上移动两种情况，进行讨论，当点在线段上运动得到点从点移动到点，路径长为，当点在上移动，设，证明，得到，进而求出的最大值，得到点先从点移动到的位置，再返回到点，进而求出总的路径长即可． 【详解】∵在中，， ∴， 连接， ∵点D，E分别是边上的中点， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴，， ①当点在线段上运动时， ∵， ∴， ∴当点从点移动到点时，点从点移动到点，路径长为； ②当点在上移动时，如图， ∵， ∴， 设，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为：， ∴当点从点移动到点时，点先从点移动到的位置，再返回到点， ∴点的总的路径长为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，二次函数求最值，中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 5．（2025·陕西商洛·三模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米． (1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式； (2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【答案】(1) (2)满足安装设计要求，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出，代入求解即可作答． （2）先作图：延长交抛物线于一点H，然后令，则，把代入，得，求出点到地面距离为米，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为， 设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， ， ． 将代入，得， 解得． 该隧道截面所在抛物线的函数表达式为， （2）解：满足安装设计要求，过程如下． 依题意米，米． 如图，延长交抛物线于点． 当米时，则． 把代入，得． 点到地面距离为（米）． ， 满足安装设计要求． 6．（2025·河南信阳·三模）某厂商因故将某款外销商品转内销．经分析发现某款商品日销售量y（万件）在三月上旬x（日）的关系满足：（，x为整数），每件产品的利润z（元）与日期x（日）的关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z（元）与日期x（日）的关系式； (2)若日利润w（万元）=当日销售量y（万件）×当日每件产品的利润z（元），求日利润w（万元）与日期x（日）的关系式： (3)当x为何值时，日利润w有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)，（，x为整数） (2)（，x为整数）； (3)，最大值为144 【分析】（1）观察表格中与的数值变化，判断为一次函数关系，通过找两组对应值，利用待定系数法或直接分析规律得出与的关系式． （2）根据日利润的定义，将（1）中得到的与的关系式，和已知的与的关系式相乘，展开化简得到与的关系式． （3）对（2）中得到的二次函数关系式进行配方，转化为顶点式，结合的取值范围（且为整数 ），求出最大值及对应的值． 本题主要考查了一次函数、二次函数的实际应用，熟练掌握函数关系式的推导方法以及二次函数的性质（配方求最值 ）是解题的关键． 【详解】（1）解：根据表格可知：当的整数时，； z与x的关系式为： ，（，x为整数）． （2）解：（，x为整数）； （3）解：当时，， 时，w有最大值为144． 7．（2025·河北唐山·三模）如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当时， ①求抛物线的表达式； ②求排球是否能过球网？是否出边界？ (2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②可以过球网，不出边界 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意列出函数关系式． （1）①由题知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，把点代入解析式求出a即可． ②求出时y的值，若则能过网，求出时y的值，若，则不出边界． （2）设击出的排球轨迹为，当该轨迹经过球网的顶端坐标时，，此时；当该轨迹经过右边界的坐标时，，此时，即可得h的取值范围是． 【详解】（1）解：①因为排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m，， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴； ②当时， ， ∴可以过球网， 当时，， ∴排球不出边界； （2）解：设击出的排球轨迹为， 当该轨迹经过球网的顶端坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； 当该轨迹经过右边界的坐标时， ， 解得， ∴， 令得，即此时； ∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是． 8．（2025·山西大同·三模）综合与实践 为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分． (1)求a的值． (2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？ (3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？ （提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移） 【答案】(1) (2)不能 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形； （1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可； （2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达； （3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上， 代入中得， ， 解得：； （2）解：不能，理由如下： ∵ ∴抛物线解析式为： ∵该楼距离地面21米处出现一个起火点， ∴代入抛物线中， 得：， 整理： 解得：， ∴， ∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点； （3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且， 设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米． 则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：， 根据题意得： 当时， ，即， 解得：， 当时， ，伸缩臂长为米， ∵，符合题意． 当时， ，伸缩臂长为米， ∵>10， 不符合题意，舍去． 故伸缩臂应伸长米． 9．（2025·河南信阳·三模）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 10．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把代入，再由计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用配方求最值即可； （3）由题可知当时，设函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）解：对于，当时， ∴， ∴当时，， ， 解得：； （2）解：， ， ， ∵，且 ∴当时，最大，最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）解：当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令，即， 解得， ， ∴的最小值为． 93 / 93 学科网（北京）股份有限公司 $$