暑假作业14 平行四边形的性质与判定（13大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业14 平行四边形的性质与判定 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，，对角线的垂直平分线交于，若的周长是8，则长为（    ） A．8 B．6 C．7 D．5 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（   ） A．8或12 B．8 C．10或14 D．10 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，的平分线交延长线于点E，，，则 ． 【题型二：利用平行四边形的性质求角度 】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，是“左侧通行”的交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，平分，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（上海市奉贤区2024--2025学年八年级下学期期末数学练习卷）将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是 【题型三：利用平行四边形的性质求周长 】 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，、相交于点，交于点，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（2024秋•西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　 　． 5．（2024秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 【题型四：利用平行四边形的性质求面积 】 1．（2024春•仓山区期中）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　） A． B． C．35 D． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 3．（2025·云南·模拟预测）如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，对角线交于点O，． (1)求的面积： (2)求的长． 【题型五：利用平行四边形的性质的证明 】 1．（2024·山东济南·一模）如图，在中，点F是中点，连接并延长交的延长线于点E． 求证：． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 3．（2025·山东济南·二模）如图，在中，点E、F在上，且，求证：． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，的对角线，相交于点，点、在上，且． 求证：． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知平行四边形，点E是对角线上的一点，，． 求证：． 【题型六：两平行线间的距离及其应用 】 1．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 3．（2024春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 4．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 5．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 【题型七：判断能否构成平行四边形 】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列四边形，根据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型八：平行四边形判定的条件 】 1．（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（    ） ①；②；③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2024下·安徽合肥·八年级统考期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 5．（2024下·黑龙江绥化·八年级统考期末）四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB DC时，四边形ABCD是平行四边形． 【变式5-2】（2023下·北京通州·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【题型九：平行四边形的判定的证明 】 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 2．（2025·湖北·二模）如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 3．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，，，平分，．求证：四边形是平行四边形． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 【题型一：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【题型二：平行四边形与平面直角坐标系的综合 】 1．（2024春•南平期末）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，OA＝2，∠AOB＝60°，OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·河南商丘·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是平行四边形，，，点A在x轴的正半轴上，将平行四边形绕点O逆时针旋转得到平行四边形，点C的对应点点D恰好落在x轴的负半轴上，且经过点C，则点E的坐标为 ． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得． (1)求直线解析式． (2)点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标． (3)在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标． 【题型一：利用平行四边形的性质与判定求解 】 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求线段长． 3．（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践： 问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点． 独立思考：（1）当时，求的度数； 实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长． 【题型二：利用平行四边形性质与判定证明 】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CFDE交AB于点F． (1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD． (2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 4．（2024上·北京海淀·八年级清华附中校考开学考试）如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 5．（2025八年级下·广东·专题练习）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，连接，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，连接、，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 平行四边形的性质与判定 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：利用平行四边形的性质求线段长 】 1．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，即可得到，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案. 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B. 3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在中，，对角线的垂直平分线交于，若的周长是8，则长为（    ） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，再根据的周长得出，即可求解． 【详解】解：在中，， ，， 垂直平分， ， 的周长是8， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在平行四边形中，，平分交于点E，平分交于点F，且，则的长为（   ） A．8或12 B．8 C．10或14 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．分两种情况：当与在有交点平行四边形内部有交点时，当与在有交点平行四边形外部有交点时，分别证明，，即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当与在平行四边形内部有交点时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图2所示，当与在平行四边形外部有交点时， 则； 综上所述，的长为8或12， 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，的平分线交延长线于点E，，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了平行四边形的性质，等角对等边，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行四边形的性质得到，，，然后等量代换求出，得到，进而求解即可． 【详解】∵在中， ∴，， ∴ ∵的平分线交延长线于点E ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：2． 【题型二：利用平行四边形的性质求角度 】 1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，是“左侧通行”的交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质等知识，推导出，并且求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而，则，求得，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，平分，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形对边平行得，结合角平分线得定义，求角解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴． ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边对等角，平行四边形的性质，根据等边对等角，求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，连结，过点作，垂足为．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据平行四边形对角相等可知，根据等边对等角可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据角的和与差可求的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（上海市奉贤区2024--2025学年八年级下学期期末数学练习卷）将一副三角板在平行四边形中按如图所示位置摆放，如果，那么的度数是 【答案】75度/ 【分析】本题考查平行四边形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是作辅助线构造平行关系，利用平行线性质和三角板角度计算角度． 过点作，利用平行线的性质，结合三角板已知角度，逐步推导求出答案． 【详解】解析：如图，过点作， ， 由题意得∶， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 【题型三：利用平行四边形的性质求周长 】 1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长， 故选：． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，、相交于点，交于点，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，，再根据垂直平分线的性质得，继而推出，再利用整体代入的思想并结合平行四边形的周长即可得出结论．解题的关键是掌握：平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形平行四边形，且、相交于点， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·海南儋州·期中）如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，求出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：， ， 以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F， ， ， ， ， ， 即， 故选C． 4．（2024秋•西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为　 　． 【答案】16cm． 【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm， ∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm， ∴AD+AB＝11cm， ∵AC，BD相交于点O且BD为5cm， ∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm）， 故答案为：16cm． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等． 5．（2024秋•黄浦区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 【答案】20． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE，AD＝2DF ∵BE＝2，DF＝3， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【题型四：利用平行四边形的性质求面积 】 1．（2024春•仓山区期中）一个平行四边形的一条边长为7，两条对角线的长分别是10和，则这个平行四边形的面积为（　　） A． B． C．35 D． 【答案】B． 【分析】根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形，据此即可求解． 【详解】解：设平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AC＝10，，AB＝7， ∴，， ∵， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴平行四边形ABCD的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等．证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·云南·模拟预测）如图，是平行四边形的中心，过点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系，中心对称图形的性质，勾股定理知识，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．根据平行四边形的中心对称性质可知，，根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：如图， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， 由勾股定理得， 即， 解得， ▱的面积， 是▱的中心， 阴影部分的面积为． 故选：A． 4．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点E作于点F，根据直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质以及平分可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D 5．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，对角线交于点O，． (1)求的面积： (2)求的长． 【答案】(1)48 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质和勾股定理先求出的长，再根据平行四边形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形的性质可得，然后利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， ∴． 【题型五：利用平行四边形的性质的证明 】 1．（2024·山东济南·一模）如图，在中，点F是中点，连接并延长交的延长线于点E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义得到，据此证明，得到，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点F是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知：如图，在平行四边形中，点G，H分别是的中点，点E，F在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形的性质得到，则，再由线段中点的定义证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点G，H分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（2025·山东济南·二模）如图，在中，点E、F在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，的对角线，相交于点，点、在上，且． 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质，得，因为，故，再证明，即可作答． 【详解】解：∵的对角线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，已知平行四边形，点E是对角线上的一点，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质证明，，则可证明得到． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ，， ∴， ，， ， ． 【题型六：两平行线间的距离及其应用 】 1．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 又∵CM⊥AB， ∴直线AB与CD的距离为CM的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AB与CD之间的距离是（　　） A．AE的长 B．MN的长 C．AB的长 D．AC的长 【答案】B． 【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵MN⊥CD， ∴平行线AB与CD之间的距离是MN的长， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2024春•馆陶县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直线MN交AB于点M，CD于点N，EF于点O．若直线AB和CD之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（　　） A．MN B．OE C．EF D．OF 【答案】C． 【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离． 【详解】解：因为直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直线EF也垂直于直线CD，则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长． 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，必定也垂直于平行于这条直线的直线． 4．（2024春•冷水滩区校级期末）在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【详解】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 5．（2024春•巴彦县期末）已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 【分析】作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，因此HFFE＝5． 【详解】解：如图，作FH⊥AB于H， ∵∠AEF＝135°， ∴∠FEH＝180°﹣∠AEF＝45°， ∴△FEH是等腰直角三角形， ∴HFFE， ∵EF＝10， ∴FH＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，即可求解． 【题型七：判断能否构成平行四边形 】 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列四边形，根据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、， ∴对边平行且相等， 四边形是平行四边形，符合题意； B、， ∴一组对边平行且另一组对边相等， ∴不能确定四边形是平行四边形，不符合题意； C、一组对边相等，不是平行四边形，不符合题意； D、， ∴一组对边平行不是平行四边形，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东聊城·期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·河北·模拟预测）如图，根据四边形中所标的数据，能判定为平行四边形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由第一个图可知，该四边形的一组对边平行另一组对边相等，所以该四边形不一定是平行四边形；由第二个图可知，该四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，所以该四边形一定是平行四边形；由第三个图可知，该四边形的一组对边相等，一组对角线被平分，所以该四边形不一定是平行四边形；由第四个图两个阴影部分三角形底相等，面积相等，所以高相等，补充两个三角形的高，构造直角三角形全等，可以推出两条对角线互相平分，所以该四边形一定是平行四边形；于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的判定，正确理解平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】第一个图形：一组对边平行另一组对边相等，不能判定； 第二个图形：根据四边形内角和可知，四边形邻角互补，所以两组对边分别平行，可以判定； 第三个图形：一组对边相等，一组对角线被平分，不能判定； 第四个图形： 过点B作交于点E，交于点F， ∵交于点E，交于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴, 又∵，即对角线互相平分，可以判定． 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键． 先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可． 【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，符合题意；     B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意； C. ，则第四个角为，所以一组对边平行，该四边形是梯形，不符合题意；     D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意． 故选A． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 【题型八：平行四边形判定的条件 】 1．（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定．当添加时，可证得，进而推出，，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】解：当添加时，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 而添加，，均无法证明四边形是平行四边形． 故选：D 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（    ） ①；②；③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及先证明，再得出，同理得证四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故①符合题意； ∵，， ∴仍证明不了， ∴无法得四边形是平行四边形， 故②不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴故③符合题意； 故选：B 4．（2024下·安徽合肥·八年级统考期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 【答案】AE=CF 【详解】试题分析：要证四边形ABCD是平行四边形，只要得出一组对边（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一个条件使得△ABE≌△CDF，由已知可得两三角形全等的条件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS证明△ABE≌△CDF． 试题解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF． 证明如下： ∵AE∥CF， ∴∠E＝∠F， 又BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，通过题目已有条件分析得出证明四边形ABCD为平行四边形只需证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键． 5．（2024下·黑龙江绥化·八年级统考期末）四边形ABCD中，如果AB=DC，当AB DC时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵两对边平行且相等的四边形是平行四边形，AB=CD ∴ABCD． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两对边平行且相等的四边形是平行四边形是解答本题的关键． 【变式5-2】（2023下·北京通州·八年级统考期中）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【答案】AE=CF（答案不唯一） 【分析】证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论． 【详解】添加条件为：， 理由：，， ， ， 四边形为平行四边形， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【题型九：平行四边形的判定的证明 】 1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的判定，平行线的判定与性质，由垂直定义可知，再通过等边对等角得，然后通过平行线的判定可得，最后由平行四边形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 2．（2025·湖北·二模）如图，在中，为上一动点，与关于点中心对称，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握中心对称图形的性质及平行四边形的判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求证 【详解】证明：∵与关于点中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 3．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，由平行线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ，即， ∵，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，，，平分，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形的全等证明，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型一：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案． 【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5） 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形． 4．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【题型二：平行四边形与平面直角坐标系的综合 】 1．（2024春•南平期末）如图，在平面直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴上，OA＝2，∠AOB＝60°，OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长CA交y轴于Q，由含30°角的直角三角形的性质得AQOA＝1，再由勾股定理得OQ，然后证∠AOP＝∠APO，则AP＝OA＝2，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长CA交y轴于Q， 则AQ⊥y轴， ∴∠AQO＝90°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOQ＝90°﹣∠AOB＝30°， ∴AQOA＝1， ∴OQ， ∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵四边形AOBC是平行四边形， ∴AC∥OB， ∴∠APO＝∠POB， ∴∠AOP＝∠APO， ∴AP＝OA＝2， ∴PQ＝AQ+AP＝1+2＝3， ∴P（3，）， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2025九年级下·河南商丘·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为，将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与平面，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，然后找到规律得到第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束，当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点，过点分别作轴的垂线，垂足为点，则，证明即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴12次为一个周期， ∵， ∴第2025次旋转结束相当于第9次旋转结束， ∵， ∴第9次逆时针旋转了，则相当于顺时针旋转了，此时点对应点记为点， 过点分别作轴的垂线，垂足为点，则， 由旋转得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴则第2025次旋转结束时，点B的坐标为， 故选：B． 3．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是平行四边形，，，点A在x轴的正半轴上，将平行四边形绕点O逆时针旋转得到平行四边形，点C的对应点点D恰好落在x轴的负半轴上，且经过点C，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转变换和平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，掌握相关知识点是解本题的关键．作轴于点G，即可求出F点坐标，从而可求出E点坐标． 【详解】解：作轴于点G， ∵平行四边形绕点O逆时针旋转得到平行四边形， ∴，，，，，， ∴， 又∵， ∴． ∴是等边三角形，，即旋转角为． ∴， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案是：． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中， ，，，将绕点B顺时针旋转得． (1)求直线解析式． (2)点P是第一象限直线上一点，当时，求点P的坐标． (3)在（2）的前提下，点N是直线上的点，点M是x轴上的点，当点B、P、M、N四点构成平行四边形时，请求出点M的横坐标． 【答案】(1)直线解析式为 (2) (3)的横坐标为 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是关键． （1）求出，，利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）连接，设，根据和，，列方程解方程即可得到答案； （3）设，，当，为对角线，当，为对角线，当，为对角线，分以上三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：过E作轴于K，如图： ∵ ，，， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，把，代入， 得：， 解得， ∴直线解析式为； （2）连接，如图： 设， ， ， ， ， 解得， ； （3）设，， 由，， 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ，此时，重合，不符合题意，舍去； 当，为对角线，同理可得， 解得， ，此时的横坐标为； 当，为对角线，同理可得， 解得， ，此时，重合，不符合题意，舍去； 综上所述，的横坐标为． 【题型一：利用平行四边形的性质与判定求解 】 1．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)96 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 2．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求线段长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形． （2）根据勾股定理可得，由等面积法得出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴， ∵, ∴, ∵， ∴． 3（2025·江西九江·三模）追本溯源 题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践： 问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点． 独立思考：（1）当时，求的度数； 实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长． 【答案】（1）（2）4 【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据，，推导出，再根据邻补角定义即可求解； （2）根据推导出 和全等，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质可知，进而得到点为中点，在中，根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得到的值，进而得到值即可； 【详解】解：（1），， ， ， ． 答：的度数为． （2）， ，， ， 、为对角线， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，，， ， ． 【题型二：利用平行四边形性质与判定证明 】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质证明，即可求解； （2）根据题意得到，，根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． 2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CFDE交AB于点F． (1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD． (2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)EF=CD成立，理由见解析 【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可； （2）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC． ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°． ∵△AED是等边三角形， ∴AD=DE，∠ADE=60°． ∴∠BDE=90°－∠ADE=90°－60°=30°． ∵CF∥DE， ∴∠BCF=∠BDE =30°． 在△BCF和△CAD中， ∵∠BCF=∠CAD =30°，∠B=∠ACB，BC=AC， ∴△BCF≌△CAD． ∴CF=AD． ∵AD=DE， ∴CF = DE． 又∵CF∥DE， ∴四边形EDCF是平行四边形， ∴EF=CD． （2）解：EF=CD成立．   理由： ∵CF∥DE， ∴∠BDE=∠BCF． ∵∠BDE +∠ADE =∠CAD+∠ACB， 由（1）知∠ADE=∠ACB=60°， ∴∠BDE =∠CAD， ∴∠BCF =∠CAD． 在△BCF和△CAD中， ∵∠BCF=∠CAD ，∠B=∠ACB，BC=AC， ∴△BCF≌△CAD． ∴CF=AD． ∵AD=DE， ∴CF = DE． 又∵CF∥DE， ∴四边形EDCF是平行四边形， ∴EF=CD． 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析； (2)见解析； (3)2． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合已知条件运用等量代换可得，即，进而的到，再结合即可证明结论； （2）先证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）先说明是等边三角形可得，再结合已知条件可得．；由平行线四边形的性质可得，，即；然后运用直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： ， ， 又∵， ． ， ， ∵， 四边形PCDG是平行四边形． （2）证明：，， ． ， 又， ． ． （3）解：如图：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴．． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ． 4．（2024上·北京海淀·八年级清华附中校考开学考试）如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案; （2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答； ② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答； 【详解】（1）， 证明： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ， （2）①当 时， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴； 故答案为； ②，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 、，    ∵ 为 的中点， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 5．（2025八年级下·广东·专题练习）已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，连接，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由可得，从而得出，再由平行四边形的判定可得结论； （2）①先证明，再证明，推出，可得结论； ②延长至N，使，联结、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，延长交于E，则，最后由勾股定理得出，最后可得结论． 【详解】（1）如图1， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①如图1， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ； ②如图2，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， 是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ； 四边形是平行四边形， ， ， ； 在与中， ， ， ，， ； 延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，， ， 在中， ， 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$