第01讲 函数的概念及其表示 ( 精练）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第01讲 函数的概念及其表示 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·期中）在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 2．（24-25高三上·河南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川广元·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 7．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 三、填空题 9．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 10．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 12．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)证明：为一次函数. (2)若，求的值. 13．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． B素养提升 1．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是 5．（24-25高三上·湖南邵阳·期末）已知，若存在实数a（且），，当时，都有，则实数b的取值范围为 . 6．（24-25高三上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·广东潮州·期中）在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，即可判断选项. 【详解】根据函数的定义可知，任何一个值只能对应唯一的值，（1）（2）（3）不满足, 故选：D 2．（24-25高三上·河南·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据对数函数的真数大于零和分式函数的分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知解得且， 所以函数的定义域为． 故选：D 3．（24-25高三上·四川广元·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】作出函数的图象，由图象得到的单调递增区间，根据条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围. 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】依题意得，解出该不等式组即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为. 故选：A. 6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 【答案】C 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】由构造方程法可先求出解析式，再求出的值. 【详解】由题意得，因为， 所以对于任意，， 联立消去可得， ， 所以， 故选：C. 7．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 二、多选题 8．（24-25高三上·四川绵阳·期末）若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意； 当时，，对称轴为， 因为二次函数的值域是，且， 所以有，因此选项AB正确， 若且，所以由二次函数的对称性可得， 因此选项C不正确； 由，因为，当且仅当时取等号， 所以选项D正确， 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【知识点】已知函数值求自变量或参数 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 10．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【详解】若函数的定义域为，则对任意恒成立．当时，不等式化为，恒成立；当时，需满足，解得．综上所述，实数a的取值范围是． 四、解答题 11．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值. 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】将多项式化简计算，利用基本不等式计算可得当时，有最大值为. 【详解】易知； 当时，；当时，. 易知， 当且仅当，即时，等号成立. 可得. 故当时，有最大值. 12．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)证明：为一次函数. (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）应用换元法求原函数解析式，即可证； （2）由（1）所得解析式，根据已知将相关参数代入得方程，即可求解. 【详解】（1）令，得，则， 所以，故为一次函数. （2）因为，所以， 整理得，解得. 13．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式： （1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）已知是一次函数且，求的解析式； （4）已知满足，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）设，由换元法可得出答案. （2）由，由配凑法可得答案. （3）可设，利用待定系数法可得答案. （4）将用替换,由方程消元法可得答案. 【详解】（1）（换元法）设，则． 所以，所以． 即． （2）（配凑法）因为， 又当时，（当且仅当时取“”）， 当时，（当且仅当时取“”）， 所以． （3）（待定系数法）因为是一次函数，可设， 所以. 即，所以 解得 所以的解析式是． （4）（方程组法）因为，① 所以将用替换，得，② 由①②解得． B素养提升 1．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】用代换得，即可求目标函数值. 【详解】由题设，故. 故选：C 2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数新定义、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）定义设函数，记函数，且函数在区间上的值域为，则区间的长度的最大值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】D 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【详解】令，则，解得，所以则的图象如图： 又，且函数在区间上的值域为，当时，；当时，，所以当时，区间的长度取得最大值，最大值为2． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对上的任意实数，（），恒有成立，那么实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据是上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案. 【详解】因为函数满足对上的任意实数，（）， 恒有成立，所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高三上·湖南邵阳·期末）已知，若存在实数a（且），，当时，都有，则实数b的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】先根据题干构造函数，再利用分段函数的单调性即可求得结果. 【详解】由，得（假设）， 设， 由题意得存在a使在R上为增函数， 故，故， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分段函数的单调性需要：（1）当时，函数单调递增， （2）当时，函数单调递增，（3）在断开点时，函数也是单调递增.列出等式即可求得结果. 6．（24-25高三上·云南昭通·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）由可得答案； （2）即函数值域包含所有的正数，据此可得答案. 【详解】（1）因的定义域为，则， 则或； （2）因的值域为，则的值域包含所有正数. 则. 学科网（北京）股份有限公司 $$