第01讲 函数的概念及其表示 （知识点+真题+ 5大高频考点+2类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：函数的概念 3 高频考点二：函数定义域 5 角度1：具体函数的定义域 5 角度2：抽象函数定义域 7 角度3：已知定义域求参数 8 高频考点三：函数解析式 10 角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 10 角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 12 角度3：待定系数法 13 角度4：方程组消去法 16 高频考点四：分段函数 17 角度1：分段函数求值 17 角度2：已知分段函数的值求参数 19 角度3：分段函数值域（最值）问题 20 高频考点五：函数的值域 23 角度1：二次函数求值域 23 角度2：分式型函数求值域 25 角度3：根式型函数求值域 27 角度4：根据值域求参数 29 第三部分：典型易错题型 31 第一部分：基础知识 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 5、高频考点结论 5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式型函数：分母不等于零. (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. (5)(且)，，的定义域均为. (6)(且)的定义域为. (7)的定义域为. 5.2函数求值域 （1）分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为： ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. （2）换元法： 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． （3）基本不等式法和对勾函数 （4）单调性法 （5）求导法 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数的概念 典型例题 例题1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 例题2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（   ）    A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】D 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义，且定义域为，值域为，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系， 所以②正确； 对于③中，函数的定义域为集合，值域不是集合，所以③不正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：D. 精练高频考点 1．（24-25高三上·甘肃庆阳·期中）下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】作直线，，通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 2．（多选）（24-25高三上·黑龙江·期中）已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（   ） A．，，：2倍 B．，，：2倍 C．，，：开平方 D．，，：平方 【答案】ABD 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：因为，符合题意，故AB正确； 对于C：因为，不符合函数定义，故C错误； 对于D：因为，符合题意，故D正确； 故选：ABD. 高频考点二：函数定义域 角度1：具体函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据二次根式被开方数大于等于零及分母不为零可得函数的定义域. 【详解】由题意得，，解得或， ∴函数的定义域为. 故选：C. 例题2．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 2．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据分母不等于零和被开方数大于等于零列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 角度2：抽象函数定义域 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解. 【详解】由于的定义域为，故， 因此的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故选：C 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】先求得的范围，进而可得的定义域为，利用，进而求得函数的定义域. 【详解】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 故答案为：． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】（1）由括号内范围相同求解即可； （2）定义域为自变量的范围，先求出范围，再求的范围即可； 【详解】（1）由题意，，则， 解得或， 因此函数的定义域为． （2）由题意，的定义域为，即， 所以有，， 故函数的定义域为． 角度3：已知定义域求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】先由题设得在上恒成立，再由一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算即可得解. 【详解】由题意可知在上恒成立， 则， 所以满足题意的实数a的取值范围为. 故答案为：. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）根据条件，将问题转化成无解，再分和两种情况讨论，即可求出结果； （2）根据条件，将问题转化成的解集为，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的定义域为，又有意义需， 所以无解；当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得． 综上实数． （2）因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 2．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数的定义域为R，则函数的值域为 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由题意在R上恒成立，求得，再结合指数函数、分式型函数的性质求的值域. 【详解】由题设知，在R上恒成立， 所以，则，故， 所以在上单调递增，故. 故答案为： 高频考点三：函数解析式 角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域. 【详解】因为， 且，所以． 故选：D. 例题2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式. 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】应用配凑法得出解析式. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】通过换元法即可求解； 【详解】利用换元法令求解析式即可． 令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 例题2．（23-24高三上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令求解析式，注意的取值范围． 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 角度3：待定系数法 典型例题 例题1．（24-25高三上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 例题2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论. 【详解】因为是一次函数， 可设， 因为， 所以， 即， 所以，解得， 所以的解析式是． 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 2．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）设，利用待定系数法确定函数解析式； （2）将原式中的x与互换，建立方程组，求解即可. 【详解】（1）由题意，设 因为， 所以， 即， 由恒等式性质，得， 解得， 则所求函数解析式为. （2）因为，将原式中的x与互换，得， 于是得关于的方程组：， 解得. 角度4：方程组消去法 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南大理·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】先将已知等式中的与替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得. 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 例题2．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 2．（24-25高三上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 高频考点四：分段函数 角度1：分段函数求值 典型例题 例题1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据给定条件，依次判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 例题2．（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案. 【详解】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A 精练高频考点 1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 2．（2025·广西河池·二模）已知，求 . 【答案】9 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】， 又. 故答案为： 角度2：已知分段函数的值求参数 典型例题 例题1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【答案】D 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】对实数a分情况讨论列出等式即可得到结果. 【详解】当时，因为，得到，解得：, 又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去； 当时，由，得到，解得：， 综上：实数a的值为 故选：D 例题2．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 精练高频考点 1．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 【答案】8 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数的运算 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 2．（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 . 【答案】2 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数幂的运算 【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可. 【详解】由题意知，当时，，解得； 当时，，解得，与矛盾，此时无解. 所以. 故答案为：2 角度3：分段函数值域（最值）问题 典型例题 例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 例题2．（多选）（24-25高三上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】ACD 【知识点】求对数函数的最值、根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值 【分析】分类讨论，结合二次函数的性质求出的取值范围即可得解. 【详解】当时，，此时函数无最小值； 当时，， 若时，则，此时函数有最小值； 若时，则的对称轴为， 在上先增后减，没有最小值； 若时，的对称轴为， 当时，要使函数有最小值， 则即可，解得. 当时，要使函数有最小值， 则，无解. 综上，，所以实数的值可以是. 故选：ACD 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求对数函数在区间上的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据二次函数、对数函数的性质及已知可得，进而有，结合分段函数解析式求的范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为2， 由在上单调递增，值域为， 所以要使有最小值，则有，即，则， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 故答案为： 高频考点五：函数的值域 角度1：二次函数求值域 典型例题 例题1．（2025高二下·湖南郴州）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】利用配方法可求出原函数的值域. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：D. 例题2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，求当时，的最大值． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得的最大值的表达式. 【详解】二次函数开口向上， ， 当时，， ； 当时，， ， 综上有 精练高频考点 1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 2．（2025高三上·河北保定·专题练习）二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10 (1)求函数的解析式； (2)设，当时，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】（1）根据根计算求参，再结合最大值是10，即可求出解析式； （2）分类讨论结合单调性计算得出最小值. 【详解】（1）二次函数有两实数根分别为0，4，所以， 所以，所以二次函数为，对称轴为， 当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为， 当时，当时，最大值为，所以，所以当时函数解析式为. （2）当时函数解析式为，开口向上，对称轴为， 当时，时，函数单调递减，当时，， 当时，时，函数单调递减，时，函数单调递增，当时，， 当时，时，函数单调递增，当时，； 角度2：分式型函数求值域 典型例题 例题1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法求解. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以函数的值域为. 故选：D. 例题2．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 3．（2025高三全国·专题练习）已知函数，求的取值范围． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】分离常数后，结合函数单调性即可求解. 【详解】，容易知道函数在上单调递减， 所以或. 所以的取值范围为. 角度3：根式型函数求值域 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的值域为，则实数的值为 . 【答案】13 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 令（），则， 所以，开口方向向下，对称轴为， 所以在单调递减， 故当时，有最大值，最大值为，解得. 故答案为：13. 精练高频考点 1．（24-25高三上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 角度4：根据值域求参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 精练高频考点 1．（23-24高三上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 2．（23-24高三上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据题意，先求得函数和交点坐标，然后分别画出两个函数图像，结合图像，即可得到结果. 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 第三部分：典型易错题型 备注：求函数解析式容易忽略定义域 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】化简得，由，得，即可得的解析式. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以的解析式为：. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求对数函数的解析式 【分析】利用换元法即可得到函数解析式. 【详解】令，因为，则， ，，， 则. 故答案为：. 备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：函数的概念 3 高频考点二：函数定义域 4 角度1：具体函数的定义域 4 角度2：抽象函数定义域 4 角度3：已知定义域求参数 5 高频考点三：函数解析式 6 角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 6 角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 6 角度3：待定系数法 7 角度4：方程组消去法 8 高频考点四：分段函数 8 角度1：分段函数求值 8 角度2：已知分段函数的值求参数 9 角度3：分段函数值域（最值）问题 9 高频考点五：函数的值域 10 角度1：二次函数求值域 10 角度2：分式型函数求值域 10 角度3：根式型函数求值域 11 角度4：根据值域求参数 11 第三部分：典型易错题型 12 第一部分：基础知识 1、函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、同一（相等）函数 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 3、函数的表示 函数的三种表示法 解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 4、分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 5、高频考点结论 5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式型函数：分母不等于零. (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. (5)(且)，，的定义域均为. (6)(且)的定义域为. (7)的定义域为. 5.2函数求值域 （1）分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为： ，再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. （2）换元法： 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． （3）基本不等式法和对勾函数 （4）单调性法 （5）求导法 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数的概念 典型例题 例题1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 例题2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系的有（   ）    A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 精练高频考点 1．（24-25高三上·甘肃庆阳·期中）下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·黑龙江·期中）已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（   ） A．，，：2倍 B．，，：2倍 C．，，：开平方 D．，，：平方 高频考点二：函数定义域 角度1：具体函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域是 . 角度2：抽象函数定义域 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． 角度3：已知定义域求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数的定义域为R，则函数的值域为 高频考点三：函数解析式 角度1：凑配法求解析式（注意定义域） 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数满足，求函数的解析式． 角度2：换元法求解析式（换元必换范围） 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·河南商丘·期中）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 角度3：待定系数法 典型例题 例题1．（24-25高三上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知是一次函数且，求的解析式． 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 2．（24-25高三上·安徽芜湖·期中）根据下列条件，求的解析式. (1)是一次函数，且满足； (2). 角度4：方程组消去法 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南大理·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 精练高频考点 1．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 2．（24-25高三上·云南文山·期中）已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 高频考点四：分段函数 角度1：分段函数求值 典型例题 例题1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．2024 精练高频考点 1．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 2．（2025·广西河池·二模）已知，求 . 角度2：已知分段函数的值求参数 典型例题 例题1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 例题2．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 精练高频考点 1．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 2．（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 . 角度3：分段函数值域（最值）问题 典型例题 例题1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高三上·浙江温州·期末）若函数存在最小值，则实数的值可以是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 精练高频考点 1．（24-25高三·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 2．（24-25高三上·上海普陀·期末）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 高频考点五：函数的值域 角度1：二次函数求值域 典型例题 例题1．（2025高二下·湖南郴州）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，求当时，的最大值． 精练高频考点 1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·河北保定·专题练习）二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10 (1)求函数的解析式； (2)设，当时，求函数的最小值. 角度2：分式型函数求值域 典型例题 例题1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 3．（2025高三全国·专题练习）已知函数，求的取值范围． 角度3：根式型函数求值域 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）的值域为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数的值域为，则实数的值为 . 精练高频考点 1．（24-25高三上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 角度4：根据值域求参数 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（23-24高三上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东·期中）若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 第三部分：典型易错题型 备注：求函数解析式容易忽略定义域 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“”的取值范围叫定义域 1．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$