第06讲：拓展一：基本不等式（知识点+ 7大核心方法）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第06讲：拓展一：基本不等式 目录 类型一：直接法 3 类型二：凑配法 3 类型三：分离法 4 类型四：换元法 5 类型五：常数代换“1”的代换 6 类型六：消元法 7 类型七：对钩函数 7 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、对钩函数： 对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等. 函数 （） 常考对钩函数 （） 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 5、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 基本不等式高频考点类型 类型一：直接法 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 精练高频考点 1．（2025高三下·湖南郴州·）函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．（24-25高三下·湖南长沙）已知，则函数的最小值是 ． 类型二：凑配法 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南湘潭）已知，则的最小值为 ． 例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. . 精练高频考点 1．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 类型三：分离法 典型例题 例题1．（24-25高三上·浙江杭州·期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 例题2．（24-25高三上·四川泸州·阶段练习）当时，求的最小值； 精练高频考点 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（1）当时，求的最小值； 2．（23-24高三上·河北沧州·期中）解答下列问题： 已知，求函数最小值． 类型四：换元法 典型例题 例题1．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 例题2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）解决下列问题： 求函数的最小值； 精练高频考点 1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 . 2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数（a，b为实数）过点 对于，有恒成立，求实数a的取值范围． 类型五：常数代换“1”的代换 典型例题 例题1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·青海·阶段练习）若正数满足，则的最小值是 . 类型六：消元法 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 精练高频考点 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 类型七：对钩函数 典型例题 例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ） A．2 B． C．3 D．4 例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：拓展一：基本不等式 目录 类型一：直接法 3 类型二：凑配法 4 类型三：分离法 6 类型四：换元法 8 类型五：常数代换“1”的代换 11 类型六：消元法 13 类型七：对钩函数 15 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、对钩函数： 对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等. 函数 （） 常考对钩函数 （） 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 5、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 基本不等式高频考点类型 类型一：直接法 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 【答案】16 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以. 精练高频考点 1．（2025高三下·湖南郴州·）函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式直接求最值即可. 【详解】由题：, 当且仅当时取等号，所以的最小值为9， 故选：D. 2．（24-25高三上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 3．（24-25高三下·湖南长沙）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式直接求函数的最小值. 【详解】当时，由基本不等式可知，当且仅当即时等号成立. 故函数的最小值是. 故答案为：. 类型二：凑配法 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南湘潭）已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 例题2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）10；（2）8 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； （2）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值是10. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为8. 精练高频考点 1．（24-25高二下·北京·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 类型三：分离法 典型例题 例题1．（24-25高三上·浙江杭州·期中）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】6， 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 例题2．（24-25高三上·四川泸州·阶段练习）当时，求的最小值； 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将代数式化为，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，的最小值为. 精练高频考点 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）（1）当时，求的最小值； 【答案】（1） 【知识点】由基本不等式证明不等关系、二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； 【详解】（1），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为. 2．（23-24高三上·河北沧州·期中）解答下列问题： 已知，求函数最小值． 【答案9. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】对函数进行配凑得，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为，， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为9. 类型四：换元法 典型例题 例题1．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可. 【详解】函数且的图象过定点， 则，所以， 由，得， 则 令，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 例题2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）解决下列问题： 求函数的最小值； 【答案】10. 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 精练高频考点 1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【解析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可. 【详解】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，将原式转化为，从而得出可用基本不等式的形式. 2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数（a，b为实数）过点 对于，有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】. 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将问题化为对恒成立，应用换元法及基本不等式求右侧在对应区间内的最大值，即可得参数范围. 【详解】∵，恒成立，即恒成立， ∴恒成立，又， ∴对恒成立，只需， 令，则， 则， 当且仅当，即，此时时等号成立， 所以实数a的取值范围时． 类型五：常数代换“1”的代换 典型例题 例题1．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意得，再用基本不等式解题即可. 【详解】由得， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】由， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：B． 2．（24-25高三上·青海·阶段练习）若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件可得，故展开，结合基本不等式求其最小值. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 类型六：消元法 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南大理·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 例题2．（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据求得和的关系式，进而代入到利用均值不等式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 类型七：对钩函数 典型例题 例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是（ ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】CD 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由根与系数的关系可求出，，再由基本不等式求出，结合双勾函数的单调性即可得出答案. 【详解】∵的解集为， ∴，且方程的两根为，， ∴，，∴，∵，，∴， ∴，即，当且仅当时取“=”， 故，而，对勾函数在上单调递增， ∴，∴的取值范围为. 故选：CD. 例题2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】分离参数后，结合函数单调性得参数范围． 【详解】，因此由得， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增， 时，，时，，因此时，的最大值是， 所以，即的范围是． 故答案为： 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】根据不等式可得，即可利用对勾函数的单调性求解。 【详解】因为正实数a，b满足，故，当且仅当时等号成立，， 由于函数在单调递减，故， 故答案为： 2．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知，若函数有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求平方和型目标函数的最值、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】令得到方程有实数根，将其看成关于的直线方程，则的最小值为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式得到，换元后由基本不等式和对勾函数得到最小值，得到答案. 【详解】令得，， 由题意可知，方程有实数根， 将关于的方程看成关于的直线方程， 则可视为直线上的点到原点的距离的平方， 其最小值即为原点到直线的距离的平方， 所以距离的平方 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 则，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：有实数根，将关于的方程看成关于的直线方程，则可视为直线上的点到原点的距离的平方，其最小值即为原点到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式进行求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$