第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 目录 高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 1 高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 5 高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 9 高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 11 高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 18 高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 21 高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 27 高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 34 高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 42 高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 例题2．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解； （2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 为纯虚数，， 解得. （2）设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. 例题3．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，． (1)若，求； (2)若在方向上的投影数量为1，求m的值； (3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围． 【答案】(1)18 (2) (3)，且． 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标运算得解； （2）根据投影向量的数量的概念求解即可； （3）转化为数量积为正，且不同向共线即可得解. 【详解】（1）若，则，故， 所以． （2）在方向上的投影数量是，， 若在方向上的投影数量为1，则，解得． （3）若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 由，所以，解得， 由，不共线，所以，解得， 综上，m的取值范围为，且． 精练高频考点 1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 2．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． (1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标表示共线计算即可； （2）结合坐标计算数量积利用坐标表示向量的夹角计算即可. 【详解】（1）设，则， 故， 得 ∴∴． （2）由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则 解得 则的取值范围为． 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，，. (1)若向量与共线，求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值； （2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，从而可得不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 由向量与共线，得， 解得 （2）由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线， 则， 解得，即的取值范围为 高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0且不反向，由此列出不等式求解即可. 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 例题2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】当与共线时，，， 此时与方向相反，夹角为180°，所以要使与的夹角为钝角， 则有，且与不反向.由得， 由与不反向得， 所以的取值范围是. 例题3．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知向量，． (1)当且时，求； (2)当，与夹角为钝角，求x范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据数量积为负即可求解. 【详解】（1），，则，， 由于可得， 由于，故， 此时，，故，则， （2），， 由，可得，解得， 由可得， 故当与夹角为钝角时，则且 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的夹角为钝角，由且与不共线求得的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断.. 【详解】由已知可得，由可得，解得， 所以由与的夹角为钝角可得解得，且. 因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立； 当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立. 综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B． 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量夹角公式可得，再借助向量模长定义计算即可得； （2）两向量夹角为钝角，可得两向量数量积为负且不共线，计算即可得. 【详解】（1）向量，，可得，，且， 因为与的夹角为，可得， 解得或（舍）， 所以，则， 所以； （2）由向量，， 可得，， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值集合为． 3．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，向量． (1)若，求与的夹角； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到与的夹角； （2）根据与的夹角为钝角得到且不反向共线，然后求即可. 【详解】（1）当时，，，与的夹角为. （2）因为与的夹角为钝角，所以，解得， 当与反向共线，即时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 4．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，． (1)①若，求；②若，求； (2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 【答案】(1)①或；②或 (2) 【分析】（1）根据向量平行，垂直可构造方程求得； （2）根据向量夹角与数量积的关系可构造不等式求得结果. 【详解】（1），， ①若，则，即，解得或； ②若，则，解得或. （2）由，解得或， 又时，或， 若向量与的夹角为钝角，则或或， 故的取值范围为. 高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 例题2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， ， 故当时，的取最小值. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知：，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量与的夹角为，由可得，进而结合平面向量的运算律可得，进而根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】设向量与的夹角为， 由，得， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据投影得到，，确定，计算得到答案. 【详解】在方向上的数量投影为，故， ，，（）， ，故的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高一下·海南海口·期末）已知向量满足：，且． (1)求向量与的夹角； (2)设向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件，利用数量积的运算，得到，再利用夹角公式，即可求解； （2）根据条件，利用数量积的运算得，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，得到， 所以，又，则； （2）因为，则， 所以当时，取得最小值，最小值为. 高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值． 【详解】设，共起点， 由可得得， 如图终点在直径的圆上， 设中点为，，夹角为， 因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1. 故选：D.    例题2．（2025高一·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算及数量积和模长关系计算结合圆的性质求解. 【详解】如图，设，，，．    由极化恒等式得，求得， 所以，所以． 设，，则， 点在以点为圆心，半径为的圆上，所以， 即， 故选:A． 例题3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式可得，根据向量的坐标运算，利用，可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，求得圆心到原点的距离为，从而可得答案． 【详解】已知是两个单位向量，且， 则， 则，则， 设分别是轴与轴正方向上的单位向量， 则，，， 设，则， 因为， 所以， 故中，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 圆心到原点的距离为， ． 故选：B． 例题4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】设，，分析可知点在直线上，点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点， 由可知：点在直线上，点在直线上， 由，可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 则， 可知当且仅当点为，且点为时，取到最小值1. 故答案为：1. 【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解. 精练高频考点 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】将的起点固定为同一点，根据投影向量的定义可知向量与的终点与向量所在直线的关系，从而表示出，再结合图形关系分析判断即得. 【详解】不妨固定的起点为同一点， 因为，所以在方向上的投影向量恰为，即投影向量的模为， 所以向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图）， 因为，则，即， 同理可得向量的终点在过的终点且垂直于的直线上（如图） 又，所以，所以，，可以围成如图所示直角三角形， 故当且仅当平行于时，即两直线之间的距离，此时取得最小值. 故选：D 2．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图示，确定点的轨迹，然后根据图形确定的最小值. 【详解】如图，设，，，． 由得，即， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 过点作的垂线，垂足为，又，,则 所以的最小值为． 故选：C． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由极化恒等式转化得，利用投影向量的模，通过，求得的范围即可． 【详解】如图，取，因为，，所以可构造平行四边形， 由投影向量的模可知的终点分别在垂直于的直线上，且， 所以，． 由极化恒等式可得，所以， 即，当与同向时等号成立． 故答案为：. 4．（23-24高一下·北京·期中）与是两个单位向量，，则当 时，取得最小值． 【答案】/0.5 【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出与夹角为，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解，或也可通过作图探究最小值. 【详解】法一：因为与是两个单位向量，， 所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为， 将、放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以当 ，取得最小值为. 故答案为：. 法二：因为与是两个单位向量，， 所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为， 将、与放置共起点位置，如图所示： 则终点始终在过终点且平行于所在直线上， 且当与垂直时取得最小值为， 此时，即. 故答案为：. 高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 典型例题 例题1．（24-25高三下·海南·阶段练习）设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合向量三角不等式即可求得答案. 【详解】由题意得， 当和方向相反时等号成立， 若不共线，则设，则，无解； 故此时共线，设， 则由可得， 则，两边平方解得或， 当时，和方向相同，舍去，故， 即得，，此时的最大值为， 故选：C 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，由得，作出图像，得，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】由得， 建立平面直角坐标系，设，标出各点坐标，如图1， 则有， 即， 整理得，即． 画出图形，如图2，则， 所以．      【点睛】 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，再结合向量绝对值不等式即可得到答案. 【详解】如图，由题意可设，，则， 因为，再结合向量绝对值不等式， 则当与同向时，此时最大，为， 当c与反向时，此时最小，为.    故答案：. 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 6 【分析】利用向量三角不等式以及基本不等式即可求解. 【详解】解：， 且， ，当且仅当与反向时取等号. 此时的最小值为6. ， ，当且仅当时取到等号， 所以的最大值为2. 故答案为：6；2. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的值，然后求出的值，最后求出所求结果. 【详解】因为，，为单位向量，有，得， 由，得， 得，所以， 又，所以， 而， 则 当且仅当与方向相反时“＝”成立 所以的最小值为． 故答案为：. 高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 典型例题 例题1．（2024·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C 例题2．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由向量的坐标运算及模的运算求出关于变量的表达式， 再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】解：设，则，所以，， 所以，所以 ， 令，则 . 当时，取得最大值； 当时，取得最小值； 故的取值范围是. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算及模的运算、三角函数值域的求法，属中档题. 例题3．（23-24高一下·福建福州·期中）平面向量满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知条件设出的坐标，画出图形，表示点到点和的距离和等于，由此可判断点在线段上，设，得表示，然后利用对称和平面向量模的坐标公式可得结果． 【详解】由，则， 设，设， ，， 因为， 所以，设， 则表示，而， 所以点在线段上， ， 设，则表示， 设点关于的对称点为，则点的坐标为， 由图可知的最小为的长，则， 则， 所以的最小值为， 故答案为：．    精练高频考点 1．（2023高三·全国·专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．, D．, 【答案】A 【分析】令，，，,，应用向量线性运算坐标表示得到坐标，坐标公式求模，设，应用辅助角公式及正弦型函数性质求范围即可. 【详解】设，，，设，,， 所以， 所以， 设，,，则，其中，所以， 所以,，故,， 所以,，即,. 故选： 2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设出，用表示出，结合三角函数的知识可求最大值. 【详解】解：当与重合时，，此时，； 当与不重合时，设，， 因为，所以， ，， ， ， ， 所以当，即时，取得最大值3. 综上可知的最大值为3. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可知单位向量的夹角为，解法1、设，根据可得，利用几何意义即可求解；解法2、设，，由代入可得，再利用零点存在定理即可；解法3、设，为的中点，根据极化恒等式，再根据几何意义可解. 【详解】设， 则 所以，解得，即单位向量的夹角为， 解法1：设，，， 则， 得， 整理得， 即， 所以． 解法2：设，，由， 得， 即， 从而有即 得． 解法3：极化定理法 设，为的中点，则， 则有：， 解得，所以点在以为圆心、为半径的圆上运动， 如图，则，所以． 故答案为：. 高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的几何意义可解问题. 【详解】过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示： 其中，故， 当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时， ， 综上所述，. 故选：D. 例题2．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 例题3．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 例题4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由得，根据正弦定理、余弦定理化简可得的外接圆半径为，根据向量数量积几何意义可知当点与点重合时，有最小值. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在平面四边形中，已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件可得，推出四点共圆，化简得，利用向量数量积的几何意义，要求的最小值，即求在方向上的投影的数量的最小值，结合图形，可得当点在劣弧的中点位置时，投影的数量最小，即可求得的最小值 【详解】 由，，，可得， 故，又，所以， 以为直径作圆，则四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 于是，， 又表示在方向上的投影的数量， 由图可知，当点在劣弧的中点位置时，投影的数量最小， 此时，连接交于点，则，故， 即的最小值为， 故的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解. 【详解】由，得取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为. 故选：C 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量数量积的几何意义，数形结合求得答案. 【详解】过点作直线，交于点，，如图， ， 其中是在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 观察图形知，当点在线段上时在直线上投影的数量最大， 而，由对称性知，， 在中，，由，解得， 则，所以的最大值为. 故答案为： 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据向量数量积的几何意义， 等于在上的投影与的数量积，依据正八边形性质，作出在上的投影再求解即可． 【详解】 如图，根据向量数量积的几何意义， 等于在上的投影与的数量积， 因为正八边形，所以每个内角为， 所以，即在上投影为， 当在上时， 设与交点为，为等腰直角三角形， 则最小为； 同理： 最大为， 所以的取值范围是． 故答案为： ． 高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 典型例题 例题1．（2025高一·全国·专题练习）如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则点的坐标，再应用数量积的运算律计算结合辅助角公式应用正弦函数值域求解即可. 【详解】设，则，， 由题意可得， ， 所以 ，其中， 所以的最大值为． 故选:B． 例题2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 . 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据已知条件可得点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称，设出坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系， 因为八边形是正八边形，所以，则. 因为，则. 由题意知，点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称， 设，则， 则，， 所以 ， 其中， 当时，为最大值. 故答案为：. 例题4．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题设，取，结合平面向量基本定理，可得为等腰直角三角形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可． 【详解】取，连接，如图所示， 则， 设，则B，D，E三点共线， 由，可知当时，有最小值， 故，即为等腰直角三角形， 以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，设，， 则，， 故， 故当时，可得的最小值是 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，建立平面直接坐标系，得直线的方程为，设点，利用数量积的坐标运算得，最后由二次函数即可求解. 【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则， 所以直线的方程为，设点， 所以， 所以， 当时，的最小值为：. 故答案为：. 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】证明出，可得出，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为，，，故， 所以， 故， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，故， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知M、N分别是四边形的边，的中点． (1)求证：； (2)若四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点，求证：； (3)若四边形是边长为2的正方形，点E是边上的动点，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）结合图形，利用向量的加减数乘等运算和题设条件即可证得； （2）通过建系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的充要条件即可证明； （3）设，则得,利用向量的坐标计算数量积，再根据,即可确定的最大值. 【详解】（1）如图（1）， ． （2）以点A为坐标原点建立如图（2）所示的平面直角坐标系，依题意， 有，，，，，， 则，，由，可得． （3）由（2），设，，则，，，， 因为，所以当时，的最大值为4． 高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 例题2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量等式结合图形判断点为线段上的一点，将等式两边取平方，化简得，求得，再将利用向量的线性运算和数量积运算，化简后即可求得其范围. 【详解】    如图，因点在圆内，且满足， 由平面向量基本定理，可知点为线段上的一点， 因，且是的一条直径， 将等式两边取平方： ，因，则. 由图知，， 故的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 3．（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    【答案】 【分析】根据向量的加减法化简，结合模长及数量积的运算律计算求解. 【详解】如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是.      学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 拓展一：平面向量的拓展应用 目录 高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 1 高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 3 高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 4 高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 5 高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 6 高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 7 高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 8 高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 10 高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 11 高频考点一：平面向量夹角为锐角问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 例题3．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知平面向量，，． (1)若，求； (2)若在方向上的投影数量为1，求m的值； (3)若，的夹角为锐角，求m的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． (1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，，. (1)若向量与共线，求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 高频考点二：平面向量夹角为钝角问题 典型例题 例题1．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 例题3．（24-25高一下·天津南开·阶段练习）已知向量，． (1)当且时，求； (2)当，与夹角为钝角，求x范围． 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数取值的集合． 3．（24-25高一下·广西南宁·期中）已知向量，向量． (1)若，求与的夹角； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 4．（23-24高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知平面向量，，． (1)①若，求；②若，求； (2)若向量与的夹角为钝角，求x的取值范围． 高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 例题2．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为 . 精练高频考点 1．（24-25高三上·河南南阳·期中）已知：，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ． 3．（24-25高一下·海南海口·期末）已知向量满足：，且． (1)求向量与的夹角； (2)设向量，求的最小值． 高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ） A．4 B． C．2 D．1 例题2．（2025高一·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 例题3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 精练高频考点 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知平面向量满足，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是平面向量，是单位向量，若满足，，，则的最小值是 ． 4．（23-24高一下·北京·期中）与是两个单位向量，，则当 时，取得最小值． 高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法） 典型例题 例题1．（24-25高三下·海南·阶段练习）设是非零向量，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，，，，，求的取值范围． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ． 高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法） 典型例题 例题1．（2024·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 例题2．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 . 例题3．（23-24高一下·福建福州·期中）平面向量满足，且，则的最小值为 ．    精练高频考点 1．（2023高三·全国·专题练习）已知平面向量，，满足，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C．, D．, 2．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则的最大值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D． 3． （2025高三·全国·专题练习）已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是 ． 高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 例题3．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 . 例题4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在平面四边形中，已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为是线段的中点，为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为 . 4．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是 ． 高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法）） 典型例题 例题1．（2025高一·全国·专题练习）如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 例题3．（24-25高一下·福建福州·期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为 . 例题4．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 . 精练高频考点 1．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知在平面四边形中，，，，，若为边上的动点，则的取值范围为 . 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知M、N分别是四边形的边，的中点． (1)求证：； (2)若四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点，求证：； (3)若四边形是边长为2的正方形，点E是边上的动点，求的最大值． 高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法） 典型例题 例题1．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 例题2．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位圆上的两点，为圆心，且，是的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 3．（25-26高一·全国·假期作业）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围.    学科网（北京）股份有限公司 $$