第05讲 复数 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第06讲：拓展一：基本不等式 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知复数为方程的两个解，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据一元二次方程的复数根的求解方法求得，再根据复数的除法运算求出，再求复数的模即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，或， 若， 则， 所以， 若， 则， 所以， 故选：B. 2．（2025·安徽合肥·三模）的虚部为（   ） A．1 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】， 故复数的虚部为1. 故选：A． 3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法，和复数的模长计算方法求解. 【详解】由，得，所以. 故选:A. 4．（2025·湖北·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的定义求出，再结合虚部的定义求解即可. 【详解】由，则，即， 则，所以的虚部为1. 故选：B. 5．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】通过复数乘法法则计算出复数，再根据复数与复平面内点的对应关系确定其坐标，最后根据坐标判断所在象限. 【详解】因为．所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 6．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 7．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. 二、多选题 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（     ） A． B． C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D．若，则的最小值是 【答案】AD 【知识点】利用椭圆定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B错误；由复平面中点的表示方法判断C；由复数模的几何意义求出复数对应的点的轨迹判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，，，等式不成立，故B错误； 对于C，设，若对应的点在第二象限， 则，，即对应的点位于第四象限，故C错误； 对于D，若， 则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且， 则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 其中 的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】复数的坐标表示 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替. 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 四、解答题 10．（24-25高三·山东菏泽·）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 11．（23-24高三·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【详解】（1）由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. （2）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 12．（23-24高二下·江苏·期中）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可； （2）利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可. 【详解】（1）设，，，由题意：① 计算，得② ①②联立，解得，得. （2）， 所以且，解得. B相遇高考 1．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. C素养提升 1．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值. 【详解】设，则， 所以，故，故， 故， 设，则，其中， 若，则； 若，则即， 故， 故，故， 故， 故选：C. 2．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 3．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义及直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以为圆心、1为半径的圆与点和所连线段的垂直平分线相切，设，， 则中点为，，所以垂直平分线的斜率为， 则垂直平分线的方程为，整理得， 由点到直线的距离公式有，即， 解得或， 故选：AC． 4．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲：拓展一：基本不等式 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知复数为方程的两个解，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·安徽合肥·三模）的虚部为（   ） A．1 B． C．8 D． 3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·湖北·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 7．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（     ） A． B． C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限 D．若，则的最小值是 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（24-25高三·山东菏泽·）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 11．（23-24高三·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 12．（23-24高二下·江苏·期中）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. B相遇高考 1．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． C素养提升 1．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 3．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$