第03讲 基本不等式（知识点+真题+ 5大高频考点+1类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 基本不等式 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 2 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 2 高频考点二：利用基本不等式比较大小 3 高频考点三：利用基本不等式求最值 4 角度1：利用基本不等式求积最大值 4 角度2：利用基本不等式求和最小值 4 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 5 角度4：“1”的妙用求最值 6 角度5：条件等式求最值 7 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 7 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 8 第四部分：典型易错题型 10 第一部分：基础知识 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 典型例题 例题1．（多选）（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）下列有关说法正确的是（   ） A．当时， B．当，时，恒成立 C．当时， D．当时，的最小值为 友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而造成错解，如本题A选项，当时，不满足“一正”这个前提；再如D选项，当且仅当，即等号成立，而。 例题2．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为2 C．函数的最小值为6 D．若，则的最大值为4 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高三上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 高频考点二：利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 高频考点三：利用基本不等式求最值 角度1：利用基本不等式求积最大值 典型例题 例题1．（24-25高三下·云南玉溪·开学考试）已知，，且，则的最大值为 ． 例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 角度2：利用基本不等式求和最小值 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 精练高频考点 1．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： 求在时的最小值． 例题2．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）的最大值为 . 方法总结：形如：或者解题时可以优先考虑换元法，换元时将低次式换元；令再带入二次式中，通过换元化繁为简。 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 3．（24-25高三上·全国·课后作业）求下列函数的最值． 已知，求的最小值． 4．（24-25高三上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； 角度4：“1”的妙用求最值 典型例题 例题1．（2025届安徽省皖江名校高三下学期5月联考数学试题）若，则的最小值是 ． 例题2．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南长沙·期中）已知，且，则的最小值是 ． 2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 3．（24-25高三下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 角度5：条件等式求最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 例题2．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值是 ． 2．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 典型例题 例题1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高三上·天津南开·期中）已知，若不等式恒成立，则的最大值是 . 精练高频考点 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 3．（24-25高三上·四川成都·期中）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 典型例题 例题1．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 例题2．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 精练高频考点 1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 2．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 3．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 第四部分：典型易错题型 备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等” 1．（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 基本不等式 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 3 高频考点二：利用基本不等式比较大小 6 高频考点三：利用基本不等式求最值 9 角度1：利用基本不等式求积最大值 9 角度2：利用基本不等式求和最小值 10 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 12 角度4：“1”的妙用求最值 14 角度5：条件等式求最值 17 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 18 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 22 第四部分：典型易错题型 25 第一部分：基础知识 1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 2、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 4、常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：基本不等式的内容及辨析 典型例题 例题1．（多选）（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）下列有关说法正确的是（   ） A．当时， B．当，时，恒成立 C．当时， D．当时，的最小值为 【答案】BC 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，，此时，A错； 对于B选项，当，时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，B对； 对于C选项，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，但，故，D错. 故选：BC. 友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而造成错解，如本题A选项，当时，不满足“一正”这个前提；再如D选项，当且仅当，即等号成立，而。 例题2．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．函数的最小值为2 C．函数的最小值为6 D．若，则的最大值为4 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式、基本不等式的内容及辨析 【分析】利用均值不等式求出最值判断ACD；利用均值不等式结合等号成立条件判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，令，则，而，当且仅当时取等号， 显然不能取到1，因此，B错误； 对于C，当，即时，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，，即，解得， 当且仅当，即时取等号，因此的最大值为4，D正确. 故选：ACD 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】作差法比较代数式的大小、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式的内容及辨析 【分析】用作差法可判断A，由基本不等式及取等号的条件逐一判断选项B、C、D. 【详解】对A，，当且仅当时等号成立； 对B，∵，∴，， 当且仅当时等号成立； 对C，∵，则，所以，， 则，当且仅当时等号成立； 对D，∵，∴， 当且仅当，即时等号成立， 而，因此中的等号取不到． 故选：ABC. 2．（多选）（23-24高三上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 高频考点二：利用基本不等式比较大小 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为可得，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以A错误； 对于B中，由，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C中，令，此时，所以C不正确； 对于D中，因为且， 可得，所以D正确. 故选：BD. 例题2．（多选）（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】A直接应用基本不等式判断；B由代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D利用基本不等式“1”的代换判断. 【详解】对于A，因为，且，所以， 则，当且仅当时等号成立，正确． 对于B，由，得，又，所以，则， 所以，当且仅当，即时等号成立，正确． 对于C，， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，错误． 对于D，由， 当且仅当，即时等号成立，正确． 故选：ABD 精练高频考点 1．（多选）（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据基本不等式判断ABD，由不等式性质判断C． 【详解】， ，所以， 当且仅当，即时等号成立，A错； ， 当且仅当，即 时等号成立，B正确； 由已知，，， 所以，C正确； 由已知，， ， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：BCD． 2．（多选）（24-25高三上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由基本不等式比较大小、条件等式求最值、指数幂的化简、求值 【分析】利用基本不等式判断A、B；应用基本不等式及指数幂的运算性质判断C、D. 【详解】A，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，即，正确； B，，当且仅当时等号成立， 因为，，所以，正确； C，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，错误； D，，当且仅当时等号成立， 所以，正确． 故选：ABD 高频考点三：利用基本不等式求最值 角度1：利用基本不等式求积最大值 典型例题 例题1．（24-25高三下·云南玉溪·开学考试）已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 精练高频考点 1．（2025·山东菏泽·二模）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C．4 D．16 【答案】B 【知识点】对数的运算、基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为. 故答案为：. 角度2：利用基本不等式求和最小值 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将变形为，设，根据基本不等式即可求解． 【详解】， 因为，所以，设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，解得， 故选：A． 例题2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 精练高频考点 1．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据已知得，进而有，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故答案为： 角度3：二次与二次（一次）的商式的最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值： 求在时的最小值． 【答案】． 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【详解】， 令，则， 所以，化为， 而，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 例题2．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）的最大值为 . 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 方法总结：形如：或者解题时可以优先考虑换元法，换元时将低次式换元；令再带入二次式中，通过换元化繁为简。 精练高频考点 1．（24-25高三上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 3．（24-25高三上·全国·课后作业）求下列函数的最值． 已知，求的最小值． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 4．（24-25高三上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； 【答案】（1）； 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 角度4：“1”的妙用求最值 典型例题 例题1．（2025届安徽省皖江名校高三下学期5月联考数学试题）若，则的最小值是 ． 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是9. 故答案为：9. 例题2．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 另解：令带入中画简得 则转化为： 当且仅当时，即即等号成立 总结：本题利用了凑配法和换元法，对于复杂的不易凑配的式子可以考虑换元法，换元法对思维要求更低。 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南长沙·期中）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 3．（24-25高三下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 角度5：条件等式求最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【知识点】条件等式求最值 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 例题2．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据已知得，进而有，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 2．（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 高频考点四：基本不等式的恒成立问题 典型例题 例题1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 例题3．（23-24高三上·天津南开·期中）已知，若不等式恒成立，则的最大值是 . 【答案】6 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】根据，，得到，利用“1”的代换转化为，再用基本不等式求解即可 【详解】因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以的最大值是. 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意可知，利用基本不等式中“1”的用法求出即可. 【详解】由不等式恒成立可知，只需小于等于的最小值． 由， 可得， 当且仅当，即时取等号， 的最大值为. 故选：C． 3．（24-25高三上·四川成都·期中）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可. 【详解】解：令，因为，则， 所以原不等式等价于在上恒成立； 令， 在时单调递减，在时单调递增， 所以当时， ， 若在上恒成立，则，所以. 故选：A 高频考点五：利用基本不等式解决实际问题 典型例题 例题1．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 例题2．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 精练高频考点 1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】求出，利用基本不等式可得答案. 【详解】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 2．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 3．（2026高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．当直角梯形的高为 cm时，用纸量最少（即矩形的面积最小）． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 当直角梯形的高为时，用纸量最少． 故答案为： 第四部分：典型易错题型 备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等” 1．（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 2．（多选）（24-25高三上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（   ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为3 C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为2 【答案】BC 【知识点】判断命题的真假、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：换元令，结合对勾函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：令，则，可知函数的最小值不为2，故A错误； 对于选项B：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为3，故B正确； 对于选项C：因为在内单调递增， 可知函数在内单调递增，且当时，， 所以函数的最大值为1，故C正确； 对于选项D：令，可得， 可知在内单调递增，且当时，， 所以函数的最小值为，故D错误； 故选：BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$