第03讲 导数与函数的极值、最值（知识点+真题+6大高频考点+1类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 3 高频考点二：求已知函数的极值（点） 4 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 5 高频考点四：求函数的最值（不含参） 5 高频考点五：求函数的最值（含参） 6 高频考点六：根据函数的最值求参数 8 第四部分：典型易错题型 9 第一部分：基础知识 1、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 典型例题 例题1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 例题2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数及其导函数均为上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．是的极小值点 B．0是的极大值点 C．是的最大值 D． 精练高频考点 1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A．在上单调递减 B．在处取得极小值 C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 高频考点二：求已知函数的极值（点） 典型例题 例题1．（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（   ）． A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 例题3．（24-25高三下·内蒙古包头·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 精练高频考点 1．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的极小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ． 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A．B． C． D． 例题2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（    ） A． B．8 C． D．12 例题3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 精练高频考点 1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 高频考点四：求函数的最值（不含参） 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）函数的最小值为 ． 例题2．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 精练高频考点 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 高频考点五：求函数的最值（含参） 典型例题 例题1．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 例题2．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 精练高频考点 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 高频考点六：根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 例题3．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 精练高频考点 1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 2．（2025·河北·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 第四部分：典型易错题型 备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 导数与函数的极值、最值 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 5 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 5 高频考点二：求已知函数的极值（点） 8 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 10 高频考点四：求函数的最值（不含参） 13 高频考点五：求函数的最值（含参） 15 高频考点六：根据函数的最值求参数 19 第四部分：典型易错题型 24 第一部分：基础知识 1、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3、函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 第二部分：高考真题回顾 1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数图象与极值（点）、最值的关系 典型例题 例题1．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（   ） A．当时，取得最小值 B．在上单调递增 C．当时，取得极大值 D．在上不具备单调性 【答案】C 【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点和最值，进而确定正确选项. 【详解】由图可知，在区间上,单调递减； 在区间上,单调递增. 所以当时，取不到最小值，当时，取得极大值. 所以ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 例题2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数及其导函数均为上的连续函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．是的极小值点 B．0是的极大值点 C．是的最大值 D． 【答案】C 【分析】讨论的范围，进而由图可得与0的关系，进而可知的单调性和极值点. 【详解】对于A，根据题意，当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则，所以在上单调递减， 且，所以是的极大值点，故A错误； 对于B，由上分析，0不是的极值点，故B错误； 对于C，因是的极大值点，又，故是的最大值，故C正确； 对于D，由于是的最大值，所以，故D错误． 故选：C． 精练高频考点 1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A．在上单调递减 B．在处取得极小值 C．有2个极值点 D．有极大值，没有极小值 【答案】D 【分析】利用导函数的图象得出导函数的正负，得出函数的单调区间，即可知为的极大值点，无极小值点，可判断得出结论. 【详解】由图可知在上恒成立，则在上单调递增，A错误． 因为在上恒成立，在上恒成立， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值，没有极小值，B和C错误，D正确． 故选：D 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知， 当时，当时，当时，当或时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点， 因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 综上可知ABD错误，C正确. 故选：C 高频考点二：求已知函数的极值（点） 典型例题 例题1．（24-25高三下·河北衡水·阶段练习）已知函数是奇函数，则的极小值是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】由奇函数可求得，可得，求导可求得极小值. 【详解】易得的定义域为，且为奇函数， 故， 对应相等可得，故，， 令，即，解得或；令，即，解得； 则在，上单调递增，在上单调递减，故的极小值是． 故选：D． 例题2．（24-25高二下·北京·期中）设函数，则（   ）． A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】A 【分析】求导，即可根据单调性求解. 【详解】由可得， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故为的极大值点， 故选：A 例题3．（24-25高三下·内蒙古包头·阶段练习）已知函数在处取得极值，其中b为常数，则的极大值点为 . 【答案】/0.5 【分析】根据处取得极值，利用导数为0，求出，再列表得出函数的极值点. 【详解】因为， 所以，∴， 则， 、随x的变化情况如下表： x 1 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为， ∴的极大值点为. 故答案为： 精练高频考点 1．（24-25高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）函数的极小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求导分析函数单调性即可求出极小值. 【详解】， 令或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极小值为. 故选：D. 2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：B 3．（24-25高二下·重庆·期中）函数的极大值点为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，进而求出其极大值点. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为1. 故答案为： 高频考点三：根据函数的极值（点）求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合题意得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 例题2．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数在处取得极大值6，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而验证，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极大值点，故，所以. 故选：C 例题3．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 精练高频考点 1．（24-25高三下·江西·阶段练习）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 因为函数存在极值点，则满足， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，得到，根据条件有，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由题有，得到，所以， 得到，当且仅当时，取等号， 故选：D. 3．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得. 【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根. 即存在唯一变号根，设，， 函数在上单减；在上单增，在上单减； 当时，；当时，；则实数a的取值范围为. 故答案为：. 高频考点四：求函数的最值（不含参） 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】求导确定函数单调性即可求解. 【详解】，令得． 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 故答案为： 例题2．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 精练高频考点 1．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，求出其极大值、极小值以及、的值，比较大小后可得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 则得，故. （2）令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，的极大值为，极小值为， 又因为，， 因此，函数在区间上的最大值为，最小值为. 高频考点五：求函数的最值（含参） 典型例题 例题1．（2025·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【分析】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【详解】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 例题2．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 精练高频考点 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程； （2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值. 【详解】（1），则， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 则，， 因为，则恒成立，所以函数在上单调递减， 所以. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）由，求解即可； （2）通过，，讨论函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，， 令，解得或 当变化时，和的变化情况如表所示： 0 4 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为. （2），令，解得或 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递增， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 当时， 若，则，所以在区间上单调递减； 此时 综上所述，当时，； 当时，； 当时， 高频考点六：根据函数的最值求参数 典型例题 例题1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可得，求函数的导函数，分，，，结合导数分析函数在上的单调性，再结合条件确定的范围. 【详解】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 例题2．（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 例题3．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可. （2）利用分离参数法得到，再构造，利用导数得到，最后确定的取值即可. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）若函数在上的最小值为， 则对于恒成立，且存在使得等号成立， 得到恒成立，即对于恒成立， 令，则恒成立，而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到，故. 精练高频考点 1．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是 . 【答案】1 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 2．（2025·河北·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符题意舍去； 当时，由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足，则； ②当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，不符题意舍去. 所以. 3．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【答案】(1)极大值为：，极小值 (2)或. 【分析】（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间； （2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值，， 当时，，， ，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 极大值为：，极小值， （2）当时，由，可知， ，， 易知当时，，当时，， 所以，在单调递增，在单调递减， 此时最大值为，不符合题意， 当时，由，得到， 所以， 令，，， 因为在处取得极值，所以， 当时，易得在上恒成立， 在上单调递减； 所以在区间上的最大值为， 令，解得， 当，； 当时，易得在恒成立， 在上单调递增， 所以，解得，符合； 当时， 由得，由得 所以在上单调递减，上单调递增， 所以最大值2可能在或处取得，而， 所以， 解得，与矛盾 当时，可以在恒成立， 所以在单调递减， 所以最大值2可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 第四部分：典型易错题型 备注：已知函数极值（点）求参数，忽视了回代检验答案 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数，当时，有极大值，则（   ） A． B． C．0 D．或1 【答案】A 【分析】求出导函数，由导数在极值点处的函数值为零可求或，检验后可得参数的值. 【详解】由题知在时取得极大值， ，解得或， 当时，， 由，在区间上单调递增； 由在区间上单调递减． 此时在时取得极大值，满足题意， 当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去． ． 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解. 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$