第03讲 基本不等式 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 基本不等式 A夯实基础 B相遇高考（模拟） C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 2．（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 7．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）当时，函数的最大值为 ． 10．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 四、解答题 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. 12．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，，求的最大值． B相遇高考（模拟） 1．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 3．（多选）（2024·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . C素养提升 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 3．（24-25高三下·河南·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 基本不等式 A夯实基础 B相遇高考（模拟） C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 2．（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答． 【详解】当，即时，恒有，即过定点， 因为，所以点在上， 则，且， 于是得， 当且仅当，即时取＂＂，由且得：， 所以当时，取得最小值8． 故选：C 3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】根据对数的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 所以 ，当且仅当，即、时等号成立. 故选：A 4．（2025·湖南·三模）已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意得出，且，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，，且有，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 7．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】条件等式求最值 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】求指数函数在区间内的值域、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析求解. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，由，，得，， 则， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，，得， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）当时，函数的最大值为 ． 【答案】3 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故答案为：. 10．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 【答案】3 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由题意得，则原式可化简为，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将题干进行配凑，再求解，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 四、解答题 11．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）10；（2）8 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； （2）将变形为，利用基本不等式即可求得结果； 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值是10. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值为8. 12．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，，求的最大值． 【答案】3 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】法一：由已知可得，利用换元法令，则得，解出，即可求得的最大值； 法二：由已知可得，则，再利用基本不等式即可求得的最大值． 【详解】法一：因为，，， 则，， 令，，，即， 解得，，， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． 法二：因为，，，则， ， 当且仅当，即，时取等号， 的最大值为3． B相遇高考（模拟） 1．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 2．（多选）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D. 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6，故B错误； 因为，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为2，故C错误； 可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 3．（多选）（2024·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小、对数的运算 【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，，则，故A正确； B.，当且仅当时等号成立，故B正确； C. ，当时等号成立，故C错误； D.因为，，故D正确. 故选：ABD 4．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值. 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： C素养提升 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，由此式可得不等式，当且仅当时等号成立．利用此不等式求解以下问题：设，则的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【详解】由已知可得，而，所以，所以，故的值不可能为2． 2．（多选）（2025·四川·三模）已知集合，则称集合为分集．下列说法正确的是（   ） A．当时，是唯一的分集 B．对任意，总存在至少一个分集 C．若是分集，则 D．若是分集，则 【答案】AD 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积的最大值、集合新定义 【分析】根据分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值范围等逐一判断即可. 【详解】由得，当且仅当时等号成立. 即 对于A， 当时，则，又，故，故A正确； 对于B，时，，不符合，故B不正确； 对于C， 当时，，所以，故C不正确； 对于D，当时，， 又，所以，解得，.故D正确. 故选：AD. 3．（24-25高三下·河南·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)3； (2)证明见解析； (3). 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、数量积的运算律、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求解. （2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证. （3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，，，得， 解得，，， 所以. （2）由，得， 则， ， 所以. （3）由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$