第03讲 平面向量的数量积 ( 精练+相遇真题）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲 平面向量的数量积 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 3．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高三下·河南·阶段练习）已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为钝角 11．（2025高三·全国·专题练习）已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足，则 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 13．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围． 14．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． B相遇高考 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．    C素养提升 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，斜边为的中点，于D，则的最大值为 ．   2．（2025高三·全国·专题练习）设点是的外心，，，，则的取值范围为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则的夹角的最小值是 ． 4．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量的数量积 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量，再应用投影向量公式计算求解. 【详解】，则向量， 则在的投影向量为， 故选:A． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知空间四点满足，，，，则的值（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有四个 D．有无穷多个 【答案】A 【分析】利用向量的加法和点积公式进行推导 【详解】通过观察有， 又，则， 两边平方得， 则， 故 ， 即， 所以只有一个值0． 故选：A． 3．（24-25高一下·北京大兴·期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出；再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求解. 【详解】由，可得： 因为， 所以. 又因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的模. 故选：C. 4．（24-25高三上·山西太原·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 5．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【详解】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 6．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，求出即可求出向量在上的投影向量. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，再根据投影向量的定义求解. 【详解】因， 则，， 故在上的投影向量为. 故选：D. 9．（多选）（24-25高三下·河南·阶段练习）已知向量，则（    ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．若，则 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AC. 10．（多选）（2025·全国·模拟预测）设向量，满足，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为钝角 【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，垂直的坐标表示，向量夹角的坐标公式即可判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，， 所以，与不垂直，故B错误； 对于C，，，，， ，所以与夹角为，故C正确； 对于D，，与的夹角不为钝角，故D错误； 故选：AC． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足，则 ． 【答案】3 【分析】解法1、由，直接进行数量积运算即可；解法2、利用极化恒等式计算. 【详解】解法1：如图，， 则． 解法2：如图，为的中点，． 故答案为：3. 12．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围． 【答案】． 【分析】思路1：运用转化法把和进行拆分然后转为为其他数量积问题； 思路2：直接运用极化恒等式求解. 【详解】解法1：如图，设为的中点，插入分点，则有： ， 即的取值范围为．      解法2：运用极化恒等式，易得． 14．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或. B相遇高考 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 4．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    C素养提升 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，斜边为的中点，于D，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】结合图象，，再利用数量积的几何意义，设，则，最后利用均值不等式求最值. 【详解】如图，易知： ， 因为在方向上的投影向量为，且在中， 所以， 在方向上的投影向量为，所以， 设，则 ， 当且仅当，即时等号成立，故所求的最大值为． 故答案为：    2．（2025高三·全国·专题练习）设点是的外心，，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过作出辅助线，将向量进行转化，利用中点性质将向量用已知边向量表示，再根据数量积的几何意义最后结合已知条件求出取值范围. 【详解】如图，过点作、，垂足分别为、， 点是的外心，、分别是、的中心, ， 由得，从而， 的取值范围为 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则的夹角的最小值是 ． 【答案】 【分析】解法1：设的夹角为，，，由推得，即得，结合，代入计算可得在上恒成立，由求得即得其最小值；解法2：由可得恒成立，只需，即，即，化简得在上恒成立，同法求得. 【详解】解法1：设的夹角为，，，由可得， 两边取平方，可得， 即，该式对任意恒成立， 所以，即， 从而，计算整理得：，该式对任意的恒成立， 所以，得，因，则． 故所求最小值为． 解法2：易知，，则， 即恒成立，故只需，即恒成立．因， ，则有， 即，由得，因， 所以．故所求最小值为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. (1)已知向量，求； (2)设向量，且，证明：； (3)已知向量，若，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解； （2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可； （3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解. 【详解】（1）设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. （2）设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3）由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 5．（23-24高一下·云南昆明·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)①，②7 (3)9 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； （2）①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 （3）由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $$