精品解析：2025年江苏省泰州市靖江市滨江学校中考三模数学试题

靖江市滨江学校2024～2025学年度第二学期三模测试 九年级数学 一、选择题 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：直接利用左视图的观察角度进而得出答案． 详解：如图所示： 左视图为：． 故选C． 点睛：此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 5. 不等式的非负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键．直接解不等式，进而利用非负整数的定义分析得出答案． 【详解】解：， 解得：， 则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个． 故选：D． 6. 如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作交延长线于点，连接、，由垂直平分半径，得到，，在中利用余弦的定义推出，则有，根据点C是弧的中点，得出，解求出、的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于点，连接、， 垂直平分半径， ，， ， 在中，， ， 点C是弧的中点， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． 故选：D． 7. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 8. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，综合运用提公因式法与平方差公式，因式分解的步骤一般是：先考虑提公因式法，其次考虑公式法，这是因式分解的两种基本的方法． 先提公因式，然后再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为______米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为x米， 根据题意得：，解得：， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为3米． 故答案为：3． 10. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 11. 若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：这个圆锥的母线长为， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 13. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线的性质，平移的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．过点D作轴，过点F作轴，轴，由题意可知：，设，可以推出，，列式计算即可得到k值． 【详解】解：如图，过点D作轴，过点F作轴，轴， 由题意可知：， 设， ， 的中点F， 是的中位线， ， ， ， 解得， ∵反比例函数图象在第一象限， ， 故答案为：3． 15. 如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，从而可利用线段差求得，再利用点B关于的对称点为F，求出，然后可求出，再根据平行线分线段成比例求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点B关于的对称点为F， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平行四边形的性质求解，根据成轴对称图形的特征进行求解，由平行截线求相关线段的长或比值，勾股定理，解题关键是根据平行截线求相关线段的长． 16. 如图，点I为的内心，，，，将平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接、，根据点为的内心，可得平分， 平分，再根据平移可得，，进而得到， ，根据等角对等边得到， ，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】连接、， ∵点为的内心， ∴平分， 平分， ∴， ， 由平移得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴ 故答案为：． 三、解答题 17. （1）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． （1）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得． （2）根据解分式方程的方法解答即可； 【详解】解： ， ∵且且， ∴当时， 则原式． （2）， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解． 故原方程无解． 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 【答案】（1）30；32 （2）B型号的无人飞行器的续航性能更优，理由： 虽然平均数相同，但从众数、中位数看B型号都优于A型号， ∴B型号的无人飞行器的续航性能更优． （3）195 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． （1）利用众数、中位数的定义进行计算即可； （2）根据求得的中位数，众数及平均数进行判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将A型号重新排列得：26，28，30，30，30，32，32，33，33，35； ∴； B型号重新排列得：25，28，28，30，32，32，32，33，34，36； ∴； 故答案为：30，32． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（架）， 答：这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有195架． 19. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是； （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 20. 如图，在中，，，． （1）的面积是____________； （2）尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、尺规作线段垂直平分线、圆切线的判定定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质、尺规作线段垂直平分线是解题的关键． （1）过点作于点，推出，，根据含角的直角三角形的性质，得出，根据勾股定理计算，推出，根据等角对等边得出，则，根据的面积，计算即可； （2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，延长，在延长线上截取，分别以点、为圆心，大于为半径画弧交于两点，连接两交点，作出线段的垂直平分线，和线段的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质，则，，以点为圆心，为半径作出，根据圆切线的判定定理，则与相切于点，故即为所求；过点作于点，连接，利用证明，推出，求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，． ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的， 如图，过点作于点，连接， ∵经过点，同时与相切于点，由（1）得，， ∴，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 21. 如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：（参考数据：，，，） 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角 从E处测得灯杆支架C处仰角 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的相关知识；作，垂足为，延长，作，垂足为，设，利用解三角形可得：，再利用列方程求解． 【详解】解：作，垂足为，延长，作，垂足为． ， ， 设， 则在中，． 在中，， 由题意得， ， ， 在中，， 即， 解得； 答：灯管支架的长度是． 22. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80％，年销售单价下降了20％． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】（1） （2）该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为 【解析】 【分析】本题考查了代数式的应用，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为，根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，2025年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， 2025年销售型汽车总额为亿元， 又∵2023年销售A型汽车总量为，年销售A型汽车单价为， ∴2023年销售型汽车总额为亿元， 填表如下： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为， 根据题意，得， 解得(舍去)， 答：该汽车企业型汽车这两年销售总额的年增长率为． 23. 如图，为的直径，点、在上，点是劣弧的中点，连接、、，是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，，结合，，结合为的直径，进一步证明即可； （2）求解，结合，，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“必胜”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的二次函数与互为“必胜”函数，求的值； （2）对于任意非零实数，点与点始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“必胜”函数． 求函数的图象的对称轴； 函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）k的值为，m的值为3，n的值为2 （2）①；②是，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及新定义，理解新定义是解题的关键． （1）根据非负性及新定义即可得出答案； （2）①根据新定义求出解析式，再求出对称轴即可； ②将解析式变形令求解即可得出答案． 【小问1详解】 由题意可知，，，， ∴，，． k的值为，m的值为3，n的值为2． 【小问2详解】 ①点与点始终在关于的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ， 对称轴为， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得：，， 过定点，． 25. 问题呈现 在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接得到且，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 【独立思考】（1）如图①，当的延长线经过点B时，求证：是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点作交正方形的对角线于点M，且经过边的中点N，判断与的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得． ①在图②中，求的长； ②绕点A旋转的过程中，直接写出点到的最大距离． 【答案】（1）证明见解答；（2）．证明见解答；（3）①的长为； ②点到的最大距离为． 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，根据旋转的性质可得，进而可证得，即可证得结论； （2）如图（2），过点作于点于点，过点作于点，利用正方形性质可证得，得出．由，可得．根据、、三点共线，可得在边上的高与在边上的高相等，即可推出结论； （3）①在中，运用勾股定理得，可得．在 中，运用勾股定理得．再由，即可求得答案； ②如图（3），过点作于点，当点、、三点共线时，点到的距离有最大值，运用等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 如图（1），设与交于点， 则， ， ， ， ∴是直角三角形； （2）解：． 理由如下：如图（2），过点作于点于点，过点作于点． ∵， ∴， 由（1）得． ∵交正方形的对角线于点， ， ∴是的平分线， ， ， ∵点是的中点， ， ∵， ， ， 在中，， ， ， 又 ∵， ， ∵、、三点共线， ∴在边上的高与在边上的高相等， ； （3）解：①如图（2）， ∵， 由（2）得， ． 在中，， ∴． 在中，． 由（2）得． ∴， ∴， 即的长为； ②点到的最大距离为． 解：如图（3），过点作于点，当点、、三点共线时，点到的距离有最大值， 由①得，又， ∴， ∴点到的距离有最大值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质等知识，由旋转得出点的运动路径是圆是解题的关键． 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． 【小问2详解】 解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或5． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖江市滨江学校2024～2025学年度第二学期三模测试 九年级数学 一、选择题 1. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的非负整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 8. 在实数范围内分解因式：______． 9. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为______米． 10. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 11. 若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的母线长为______． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第______象限． 13. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是．若函数的图象经过点和的中点，则的值是__________． 15. 如图，在中，，，垂足为E，点B关于的对称点为F，连接交于点H，若，则的长为________． 16. 如图，点I为的内心，，，，将平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 三、解答题 17. （1）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值； （2）解方程：． 18. 无人机产业已成为我国低空经济的新兴生产力．某公司对其内部研发的A，B两种型号的民用无人机的飞行续航时间进行测试，每个型号均测试10次，并对收集到的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．每次飞行测试的续航时间（单位：分钟）记录如下： A型号：26，33，28，30，30，32，30，32，35，34； B型号：25，32，28，30，28，33，32，36，32，34； b．将收集的数据整理成表格如下： 型号 平均数 众数 中位数 A 31 m 31 B 31 32 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的________，________； （2）根据以上数据，你认为哪种型号的无人机的续航性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）公司仓库有A型无人机150架，B型无人机200架，若将无人机续航时间不低于32分钟定为优秀，试估计这350架无人机中飞行续航时间达到优秀的共有多少架． 19. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 20. 如图，在中，，，． （1）的面积是____________； （2）尺规作图：请在图中作，使得经过点，同时与相切于点，则所作的的面积是____________． 21. 如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：（参考数据：，，，） 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角 从E处测得灯杆支架C处仰角 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度． 22. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了80％，年销售单价下降了20％． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 23. 如图，为的直径，点、在上，点是劣弧的中点，连接、、，是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“必胜”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的二次函数与互为“必胜”函数，求的值； （2）对于任意非零实数，点与点始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“必胜”函数． 求函数的图象的对称轴； 函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由． 25. 问题呈现 在正方形中，点E在边上，点F在边上，连接得到且，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 【独立思考】（1）如图①，当的延长线经过点B时，求证：是直角三角形； 【探究发现】（2）如图②，“求知”小组过点作交正方形的对角线于点M，且经过边的中点N，判断与的数量关系并给出你的理由； 【拓展探究】（3）“励志”小组在“求知”小组探究的基础上，测得． ①在图②中，求的长； ②绕点A旋转的过程中，直接写出点到的最大距离． 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结． ①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标； ②若，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $