第04讲 基本不等式（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 基本不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 直接用基本不等式求和或积的最值 题型02 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 题型03 二次与二次（一次）的商式求最值 题型04 换元法求最值 题型05 两次应用基本不等式求最值 题型06 条件等式变形求最值 题型07 利用基本不等式比大小 题型08 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 02 核心突破提升练 01 直接用基本不等式求和或积的最值 1．已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 2．已知，，，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 02 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 4．设，若，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D．18 5．已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 6．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 03 二次与二次（一次）的商式求最值 7．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 8．设，则 （    ） A． B． C． D． 9．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 04 换元法求最值 10．已知，，，则的最大值为 ． 11．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 05 两次应用基本不等式求最值 13．已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 14．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 15．已知，，且，若的最小值为3，则 . 06 条件等式变形求最值 16．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的最大值是（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 07 利用基本不等式比大小 19．下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 21．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 08 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 22．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 23．已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 24．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．若，则当取得最小值时， . 2．已知一种治疗某种疾病的针剂注射到人体后，其主要成分在血液中的含量（单位：毫克）与注射时间（单位：时）的关系为，那么这种主要成分在血液中含量的最大值为（    ） A．2毫克 B．3毫克 C．4毫克 D．6毫克 3．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设为正实数，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知指数函数为增函数，且图象过点，则满足（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最大值5 C．当时，有最小值32 D．当时，有最小值2 9．已知（，且），，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 直接用基本不等式求和或积的最值 题型02 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 题型03 二次与二次（一次）的商式求最值 题型04 换元法求最值 题型05 两次应用基本不等式求最值 题型06 条件等式变形求最值 题型07 利用基本不等式比大小 题型08 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 02 核心突破提升练 01 直接用基本不等式求和或积的最值 1．已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值为. 故选：D 2．已知，，，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【详解】，，， ，当且仅当时，取等号． 则的最大值为0． 故选：A． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 02 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 4．设，若，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【详解】，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9． 故选：B． 5．已知非负实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 又因为非负实数，所以，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：B． 6．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：B． 03 二次与二次（一次）的商式求最值 7．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 8．设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 9．函数的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以 即函数的最大值是. 故选：C. 04 换元法求最值 10．已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 11．已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 12．已知，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 05 两次应用基本不等式求最值 13．已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 14．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 15．已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据整理可得，结合基本不等式运算求解即可. 06 条件等式变形求最值 16．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，，即， 于是， 当，即时取得等号， 即，时，的最小值为. 故选：C 17．已知 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：∵， ∴可设， ， ∴，代入所求式子得， ， 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为. 法二：设，， 代入已知等式得，， ∴ ， 其中，. ∴，所以的最小值为. 故选：D 18．已知，则的最大值是（    ） A．15 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【详解】利用公式 及可得： ， ， 所以代入已知式化简可得， 由观察可得：当，时，即成立， 此时， 所以①， 又②， ③， 则①②③可得： ， 所以 ， 故原不等式可化为：， 即，故， 此时当时等号成立，即的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点晴：本题的关键点在于寻求当分别为何值时，可能取得最大值，根据原式不易观察，所以先利用立方和公式和极化配方式把等式转化为只含有的一个等式，然后利用配方进行整理即出现含的式子，即可得出答案. 07 利用基本不等式比大小 19．下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A，取，则，故A错. 对于B，取，则，故B错.. 对于C，取，则，故C错. 对于D，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故选：D. 20．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则在上单调递减， 所以，所以，，， ， 所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可. 21．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，由基本不等式可得，， 故，即. 故选：A. 08 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 22．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 23．已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 又因为，可得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为，所以，可得，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 24．若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 1．若，则当取得最小值时， . 【答案】 【详解】根据指数函数值域可知， 则依题意得，而， 当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为：. 2．已知一种治疗某种疾病的针剂注射到人体后，其主要成分在血液中的含量（单位：毫克）与注射时间（单位：时）的关系为，那么这种主要成分在血液中含量的最大值为（    ） A．2毫克 B．3毫克 C．4毫克 D．6毫克 【答案】A 【详解】由，得，得，则． 由题意知，所以，故， 当且仅当，即时取等号， 所以，因此这种主要成分在血液中含量的最大值为2毫克. 故选：A． 3．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得：该设备年平均费用， ∵，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，， 又，所以. 故选：D. 5．设为正实数，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 由，且为正实数，所以， 于是，故， 所以，所以， 解得. 故选：A 6．某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，且，即， 又，所以，当且仅当时取等号，由，解得， 故当，时该同学的得分最高. 故选：A 7．设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则，，，则， 即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分. 设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）. 直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得， 所以，所以（负值已舍）. 所以. ，即，所以. 由知，，， 所以与均是单调减函数， 所以.所以A正确. 故选：A. 8．已知指数函数为增函数，且图象过点，则满足（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最大值5 C．当时，有最小值32 D．当时，有最小值2 【答案】C 【详解】因为为增函数，所以，又， 则， 所以， 所以，则， 当时，，故， 由对勾函数的性质知在上单调递增，故． 又由于单调递增，单调递减，且， 则，B，D错误． 当时，，故， 当且仅当时等号成立，A错误，C正确． 故选：C． 9．已知（，且），，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，首先，所以由基本不等式有，但是由于的单调性不能确定，故不能比较大小，故C错误； 对于D，由于，所以由基本不等式可得，故D正确. 故选：D. 10．一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗.铁匠老张准备用一个半径为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）.若该漏斗的容积为，且漏斗的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则当R最小时，球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面圆半径以及圆锥的高分别为， 故，所以， 由于， 当且仅当，即时等号成立， 故此时，, 设为球O的半径，则,解得, 故球的表面积为 故选：D    学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$